【中考冲刺】2021年福建省厦门市中考数学模拟试卷(附答案)

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2021年福建省厦门市中考数学模拟试卷（附答案）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．一组数据，1，2，3，4，3的众数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．下列方程中有两个相等实数根的是（ ） A ．()()110x x -+= B ．()()110x x --= C ．()2
14x -=
D ．()10x x -=
3．不等式组21
1x x ≥-⎧⎨>-⎩
的解集是（ ）
A ．1x >-
B ．1
2
x >-
C ．2
1x ≥-
D ．112
x -<≤-
4．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到
ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）
A ．110°
B ．90°
C ．70°
D ．20°
5．一个扇形的圆心角是120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ） A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．6π
6．为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（ ）
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
7．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接BF ，BE ，则关于BFE 外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A ．在ABF 内
B ．在BFE △内
C ．在线段BF 上
D ．在线段B
E 上
8．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m 个人，则第二轮被传染上流感的人数是（ ） A ．1m +
B ．()2
1m +
C ．()1m m +
D ．2m
9．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝()MN 向右水平拉直（保持M 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝N 端的位置最接近的是（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
10．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是______． 12．若3x =是方程230x bx -+=的一个根，则b 的值为______． 13．抛物线()2
312y x =-+的对称轴是______． 14．如图，AB 是
O 的直径，点C 在O 上，点D 在AB 上，AC AD =，OE CD
⊥于E ．若84COD ∠=︒，则EOD ∠为______．
15．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，B ()
，OA AB =，30AOB ∠=︒，把OAB 绕点B 顺时针旋转60°得到MPB △，点O ，A 的对应点分别
为M (),a b ，P (),p q ，则-b q 的值为______．
16．已知抛物线265y x x =-+-的顶点为P ，对称轴l 与x 轴交于点A ，N 是PA 的中点．M (),m n 在抛物线上，M 关于直线l 的对称点为B ，M 关于点N 的对称点为C ．当13m ≤≤时，线段BC 的长随m 的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应m 的取值范围）
三、解答题
17．解方程：2250x x --=
18．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径作O ，过点O 作//OD BC 交AC
于D ，45ODA ∠=︒． 求证：AC 是
O 的切线．
19．先化简，再求值：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭
x x x x x ，其中1
2=x ． 20．2018年某贫困村人均纯收入为3000元，对该村实施精准扶贫后，2020年该村人均纯收入达到5070元，顺利实现脱贫．这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？ 21．某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为15W 的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了30W 的节能灯．每盒中混入30W 的节能灯数如表：
（1）平均每盒混入几个30W 的节能灯？
（2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件A 为：该盒中没有混入30W 的节能灯，求事件A 的概率．
22．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，其中>BD AC ．把AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △（点A 的对应点为E ），旋转角为α（α为锐角）．连接DF ，若EF OD ⊥．
（1）求证：∠=∠EFD CDF ；
（2）当60α=︒时，判断点F 与直线BC 的位置关系，并说明理由．
23．已知抛物线()()2=--y x x b ，其中2b >，该抛物线与y 轴交于点A ． （1）若点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
b 在该抛物线上，求b 的值； （2）过点A 作平行于x 轴的直线l ，记抛物线在直线l 与x 轴之间的部分（含端点）为图象L ．点M ，N 在直线l 上，点P ，Q 在图象L 上，且P 在抛物线对称轴的左侧．设
点P 的横坐标为m ，是否存在以M ，P ，Q ，N 为顶点的四边形是边长为1
12
m +的
正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m （如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h 后达到最高潮位，此最高潮位维持1h ，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．
该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表所示．（在涨潮的5h 内，该变化关系近似于一次函数）
（1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间t （06t ≤≤，单位：h ）的函数解析式；
（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示：
现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．
25．在ABC 中，∠B=90°，D 是ABC 外接圆上的一点，且点D 是∠B 所对的弧的中点．
（1）尺规作图：在图中作出点D ；（要求不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图，连接BD ，CD ，过点B 的直线交边AC 于点M ，交该外接圆于点E ，交CD 的延长线于点P ，BA ，DE 的延长线交于点Q ，DP DQ =． ①若AE BC =，4AB =，3BC =，求BE 的长；
②若)=
2
+DP AB BC ，求PDQ ∠的度数
参考答案
1．C 【分析】
根据众数的定义进行判断即可得解． 【详解】
解：∵在这组数据中，3出现的次数最多 ∴这组数据的众数是3． 故选：C 【点睛】
本题考查了众数的定义，熟记众数的定义是解本题的关键． 2．B 【分析】
A.根据因式分解法解出一元二次方程的两个根，即可解题；
B. 根据因式分解法解出一元二次方程的两个根，即可解题；
C.根据直接开平方法解出一元二次方程的两个根，即可解题；
D. 根据因式分解法解出一元二次方程的两个根，即可解题． 【详解】 A.
()()110x x -+=
121,1x x ∴==-
故A 错误； B.
()()110x x --=
121x x ∴==
故B 正确； C.
2
14x =
12x ∴-=±
123,1x x ∴==-
故C 错误； D.
()10x x -=
120,1x x ∴==
故D 错误， 故选：B ． 【点睛】
本题考查解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．C 【分析】
先求出2x≥-1的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】
解：211x x ≥-⎧⎨
>-⎩①
②
解不等式①得，2
1x ≥-
， 解不等式②得，x>-1， ∴不等式组的解集为：2
1x ≥- 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．B 【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠BAD=90︒， 由旋转得ADE ≌ABF ， ∴∠FAB=∠EAD ，
∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ， ∴∠FAE=∠BAD=90︒，
∴旋转角的度数是90︒，
故选：B．
【点睛】
此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．5．C
【分析】
根据扇形面积公式S扇形＝
2
360
n rπ
，代入数据运算即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，n＝120°，r＝3，
S扇形＝
2
360
n rπ
＝
2
1203
360
π
⨯⨯
＝3π，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．
6．A
【分析】
根据树状图展示的所有结果，找出恰好1个白球和1个黑球所占结果．
【详解】
由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果，
其中恰好1个白球和1个黑球只有1种结果．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是树状图的知识点，根据树状图展示的所有结果，找到符合条件的结果数是解题的关键．
7．D
【分析】
先判断BFE的形状，再确定外心的位置．
【详解】
解：∵正六边形的每一个外角都是
360606
︒
=︒， ∴正六边形的每一个内角都为18060120︒-︒=︒，
120A AFE ∴∠=∠=︒,
在正六边形ABCDEF 中，AB=AF ，
()1
180120302
AFB ABF ∴∠=∠=
︒-︒=︒， 1203090BFE AFE AFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
BFE ∴是直角三角形， BFE ∴的外心是BE 的中点，
故选：D 【点睛】
本题考查了正六边形的性质，三角形外心（三角形外接圆的圆心），等腰三角形的性质及直角三角形的判定，明确锐角三角形的外心在三角形的内，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部是解题的关键． 8．C 【分析】
先求出第一轮传染后得病的人数，进而可求出第二轮被传染上流感的人数． 【详解】
解：∵平均一个人传染了m 个人， ∴第一轮传染后得病的人数为(m+1)人， ∴第二轮被传染上流感的人数是()1m m +． 故选C ． 【点睛】
本题考查了列代数式，正确得出第一轮传染后得病的人数是解答本题的关键． 9．A 【分析】
根据“径一周三”的古率计算出半圆的周长即可． 【详解】
解：∵半圆的直径是1，
∴由“径一周三”知圆的周长，
∴半圆的周长为3
2
，
∴拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了阅读与推理，解答此题的关键是读懂题意．
10．B
【分析】
把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断. 【详解】
设喷头在点P，则A(6，0)，B（3，0）；C（3，3）；D（4.5；1.5）；P（14，0）
则AP=14-6=8m<10m，故A需调整；
BP=14-3=11m>10m，故B不需调整；
=，不需调整；
=<10m，故D需调整；
故选：B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.
11．1 6
【分析】
弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出向上一面的点数是1的概率．【详解】
由概率公式：P（向上一面的点数是1）＝1
6
．
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12．4
【分析】
将x=3代入解方程即可．
【详解】
将3x =代入方程230x bx -+=，
得9-3b+3=0，
解得b=4，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解方程，正确计算是解题的关键．
13．x=1
【分析】
直接根据二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：抛物线()2
312y x =-+的对称轴是x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】
本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k
的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x =h ．
14．21︒
【分析】
根据圆周角和圆心角关系，得CAD ∠；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得ADC ∠；再根据直角三角形两锐角互余，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵84COD ∠=︒ ∴1422
CAD COD ∠=∠=︒ ∵AC AD =
∴ACD ADC ∠=∠
∴180180426922
CAD ADC ︒-∠︒-︒∠===︒ ∵OE CD ⊥
∴90OED ∠=︒
∴90906921EOD ODE ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故答案为：21︒．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
15．1
【分析】
过点A 作AD OB ⊥于点D ，根据题意，结合30°角的正切值解得AD 的长，再由旋转的性质解得OA=OB=2，PB=AB=2及60ABP ∠=︒，在Rt MDB 中，利用勾股定理解得MD 的长，继而解题即可．
【详解】
如图，过点A 作AD OB ⊥于点D ，
OA AB =，()
B ，
12OB OD BC ∴==30AOB ∠=︒，
tan301AD OD ∴=⋅︒=
2OA AB ∴==，
把OAB 绕点B 顺时针旋转60°得到MPB △，
M ∴点恰巧落在直线AD 上，
60ABP ∴∠=︒
,2PB OB PB AB ∴⊥==
2q ∴=
在Rt MDB 中，
MB OB DB ===
由勾股定理得，3MD =
3b ∴=
321b q ∴-=-=
故答案为：1．
【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．当13≤<m BC 的长随m 的增大而减小；当33<≤m 时，BC 的长随m 的增大而增大．
【分析】
根据函数关系式求出顶点坐标和对称轴方程，得到点A 坐标，根据M 与C 关于N （3，2）对称求出点C ，最后根据BC 的取值确定m 的取值即可．
【详解】
解：265y x x =-+-=2
(3)4x --+
则P(3,4)
∴A （3，0）
∴N （3，2）
如图，
由图知，BC 的长随着m 的增大先减小，后增大，
∵(,)M m n
∴(6,)B m n -
∵M 与C 关于N （3，2）对称 ∴3222
m c m c x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
解得=4c c
x b m y n -⎧⎨=-⎩ ∴C (6,4)m n --
∴|4||42|BC n n n =--=-
∵13m ≤≤
∴4o n ≤≤
当n=2时，BC 最小值=0
，此时3m =当n=0或4时，BC 最大值=4，此时m=1或3，
所以，当13≤<m 时，BC 的长随m
的增大而减小；当33≤m 时，BC 的长随m 的增大而增大．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，对称性，求出BC 的取值是解本题的关键．
17．121,1x x ==
【分析】
利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．
【详解】
2250x x --=
x 2−2x ＋1＝6，
那么（x−1）2＝6，
即x−1＝，
则121,1x x ==.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是注意使用配方法是要保证不改变原方程．
18．证明见解析
【分析】
根据平行线及三角形内角和定理可求得90BAC ∠=︒，又AB 是O 的直径，根据切线的定义可得结论
【详解】 证明：//OD BC ，
∴45∠=∠=︒C ODA ．
AB AC =，
∴45ABC C ∠=∠=︒．
∴18090∠=︒-∠-∠=︒BAC ABC C ．
∴AB AC ⊥．
AB 是O 的直径，
∴AC 是O 的切线．
【点睛】
本题考查了圆的切线的证明、平行线及三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想进行合理转化是解决本题的关键
19．121x -
【分析】
根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】 解：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭
x x x x x ()21421-+-+=÷x x x x x x 22141+-=÷x x x x ()()
212121+=⋅-+x x x x x 121
=-x ，
当12
=x 时，
原式1
1212=⎫-⎪⎭
=
4
=． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算以及二次根式的运算，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
20．30%
【分析】
根据每年的平均增长率一样，列出相应的关系式，再解一元二次方程、检验即可．
【详解】
解：设这两年该村人均纯收入的年平均增长率为x ，依题意得：
()2
300015070x += ()25071300
x += 1 1.69x +=±
解方程，得：1 2.3x =-（不合题意，舍去），20.3x =．
答：这两年该村人均纯收入的年平均增长率为0.3．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）1；（2）
725 【分析】
（1）根据图表，直接用混入的30W 的节能灯的个数除以50，求平均数即可；
（2）已知没有混入30W 的节能灯的盒数为14,14除以50即为事件A 的概率．
【详解】
解：（1）01412529314150
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 1=， 答：平均每盒混入30W 的节能灯的个数为1；
（2）已知没有混入30W 的节能灯的盒数为14，
则()14=50P A 7=25
， 答：事件A 的概率为
725． 【点睛】
本题考查平均数以及概率的求解，属于基础题，掌握平均数以及概率的求解方法是解决本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）点F 在直线BC 上，理由见解析
【分析】
（1）解法一：利用旋转的性质得到OF=OD ，推出=ODF OFD ∠∠，根据菱形的性质得到=EFO CDO ∠∠，即可得到结论；
解法二：连接ED ，CF ，证明EOD COF △△≌推出CF ED =，利用SSS 证明
CFD EDF △△≌，即可推出结论；
（2）解法一：连接CF ，证明FOD 是等边三角形，得到60OFD ODF ∠=∠=︒，
OD FD =，证明ODC FDC △△≌
，得到OCD FCD ∠=∠，根据菱形的性质求出BCO DCO ∠=∠，903060OCD ∠=︒-︒=︒，即可得到结论；
解法二：证明FOD 是等边三角形，得到60ODF ∠=︒，OD FD =，推出EO ED =，证明ODC FDC △△≌得到∠OCD=∠DCF ，DOC DFC ∠=∠，利用菱形的性质求出
90DFC ∠=︒．
，根据四边形内角和求出36029060120OCF ∠=︒-⨯︒-︒=︒，由60OCB ∠=︒求得180BCF OCB OCD FDC ∠=∠+∠+∠=︒，得到结论．
【详解】
（1）解法一 证明：AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △，
∴AOD EOF △△≌，FO DO =．
∴=ADO EFO ∠∠，=ODF OFD ∠∠．
四边形ABCD 是菱形，
∴DA DC =，AC BD ⊥．
∴=ADO CDO ∠∠，
∴=EFO CDO ∠∠，
∴ODF CDO OFD EFO ∠-∠=∠-∠，
∴CDF EFD ∠=∠．
解法二：
证明：连接ED ，CF ．
AOD △绕点O 顺时针旋转得到EOF △，
∴AOD EOF △△≌，AO EO =，FO DO =，=AOD EOF ∠∠．
∴EF AD =．
四边形ABCD 是菱形，
∴CD AD =，AO CO =，AC BD ⊥．
∴CD EF =，EO CO =，=AOD COD ∠∠．
∴EOF COD ∠=∠．
∴=EOF FOD COD FOD ∠-∠∠-∠．
∴=EOD COF ∠∠．
∴EOD COF △△≌．
∴CF ED =．
FD DF =，
∴CFD EDF △△≌．
∴CDF EFD ∠=∠．
（2）解法一
解：当60α=︒时，点F 在直线BC 上，理由如下： 连接CF ．
由（1）得，FO DO =， 又60FOD α∠==︒，
∴FOD 是等边三角形．
∴60OFD ODF ∠=∠=︒，OD FD =． FOD 是等边三角形，EF OD ⊥，
∴1302
EFD OFD ∠=∠=︒． ∴30CDF EFD ∠=∠=︒．
∴30ODC ODF CDF ∠=∠-∠=︒．
∴ODC CDF ∠=∠．
CD CD =，
∴ODC FDC △△≌．
∴OCD FCD ∠=∠．
四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，BC DC =．
∴90COD ∠=︒，BCO DCO ∠=∠．
∴903060OCD ∠=︒-︒=︒．
∴60FCD ∠=︒，60BCO ∠=︒．
∴180BCF OCB OCD FCD ∠=∠+∠+∠=︒． ∴点F 在直线BC 上．
解法二：
当60α=︒时，点F 在直线BC 上，理由如下：
由（1）得，FO DO =． 又60FOD α∠==︒，
∴FOD 是等边三角形．
∴60ODF ∠=︒，OD FD =． FOD 是等边三角形，EF OD ⊥，
∴EF 平分OD ．
∴EF 垂直平分OD ．
∴EO ED =．
由（1）得，EOD COF △△≌．
∴EO CO =，ED CF =．
∴OC=CF ．
∴ODC FDC △△≌．
∴∠OCD=∠DCF ，DOC DFC ∠=∠．
四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，BC DC =．
∴90DOC ∠=︒，OCB OCD ∠=∠．
∴90DFC ∠=︒．
∴在四边形OCFD 中，36029060120OCF ∠=︒-⨯︒-︒=︒．
∴60OCD FCD ∠=∠=︒．
∴60OCB ∠=︒．
∴180BCF OCB OCD FDC ∠=∠+∠+∠=︒．
∴点F 在直线BC 上．
【点睛】
此题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，四边形的内角和，熟记菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
23．（1）b=4；（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）把点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
b 代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据已知求出A 点纵坐标是2b ，再用m 表示P 、M 坐标，利用正方形边长是112
m +，得到b 与m 的关系，再代入解析式即可．
【详解】
（1）解：把点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
b 代入()()2=--y x x b ，得112022b b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得10b =，24b =．
因为2b >，所以4b =．
（2）解法一：
解：当0x =时，()()0202y b b =--=．
所以点A 坐标为()0,2b ．
在正方形PQNM 中，////PQ MN x 轴，////PM QN y 轴．
可设点M 坐标为(),2m b ．
又因为正方形PQNM 边长为112m +，即112
MP PQ m ==+， 所以点P 的坐标为1,212m b m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，且02m ≤≤， 112
Q x m m =++． 因为抛物线的对称轴为22b x +=
， 所以2Q x b m =+-． 所以1212
b m m m +-=++．
所以512
b m =-． 所以点P 的坐标为9,32m m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
-． 因为点P 在抛物线上，把9,
32m m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭-代入()()2=--y x x b ，得 ()5921322
m m m m ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭． 解得123
m =，21m =-． 因为02m ≤≤，所以123
m =
． 当23m =时，55221122233b m =-=⨯-=<． 所以不存在边长为112
m +的正方形PQNM ． 解法二：
解：当0x =时，()()0202y b b =--=，
所以点A 坐标为()0,2b ．
在正方形PQNM 中，////PQ MN x 轴，////PM QN y 轴．
可设点M 坐标为(),2m b ．
又因为正方形PQNM 边长为112m +，即112
MP PQ m ==+， 所以点P 的坐标为1,212m b m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，且02m ≤≤， 112
Q x m m =++． 因为抛物线的对称轴为22b x +=
， 所以2Q x b m =+-． 所以1212b m m m +-=+
+． 所以2255
m b =+．
所以点P 的坐标为2296,5
555b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 因为点P 在抛物线上，把点P 的坐标代入()()2=--y x x b ，得
2222962555555b b b b ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
． 解得1223b =<，2722
b =-<． 所以不存在边长为112
m +的正方形PQNM ． 同理，当M 、N 两点的位置互换后，也不存在边长为112
m +的正方形．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上的点的坐标的特征和正方形的存在性问题，利用已知条件，表示抛物线的点的坐标，再代入解析式是解题关键．
24．（1）当05t ≤≤时，45
h t =
；当56t <≤时，4h =；（2）能，理由见解析 【分析】
（1）设桥下水位上涨的高度h 关于涨潮时间t 的函数解析式为h mt n =+，利用待定系数法求解即可；
（2）设抛物线解析式为y ＝ax 2+k ，利用待定系数法求得二次函数的解析式，求出最高潮位，比较即可得出结论.
【详解】
（1）当015≤≤时，由题可设桥下水位上涨的高度h 关于涨潮时间t 的函数解析式为h mt n =+．
当1t =时，45h =；当2t =，85
h =． 可得：45825m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
， 解得：450
m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以，当05t ≤≤时，45
h t =；当56t <≤时，4h =． （2）以抛物线的对称轴为y 轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x 轴建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为：2y ax k =+()0a <．
由（1）可得：当0t =时，0h =，此时桥下水面宽为100；当45t =
时，1h =，此时桥下
水面宽为
所以抛物线过点()50,0
，()
． 可得：2500024001a k a k +=⎧⎨+=⎩
， 解得：110025
a k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以2125100
y x =-+ ()5050x -≤≤． 当10x =时，24y =．
在最高潮位时，4151924+=<．
答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）答案见解析；（2）①5；②60°
【分析】
（1）点D 是∠B 所对的弧的中点，即作B 的平分线，所作直线与圆的交点即为D 点； （2）①由AE BC =得到BAE ABC =，BE AC =，运用勾股定理求出边长即可； ②如图，连接AD ，依题意可知AC 为直径，再证明45ACD CAD ∠=∠=︒，把ADB △绕点D 逆时针旋转90°，则点A 与点C 重合，B 对应点为点F ，得到B ，C ，F 三点共线，
证明BDF 为等腰直角三角形，2
DB DF BF ==，再依据条件证明DP DQ BD ==，BE 为直径，四边形ABCE 为矩形，MAB BDC ∠=∠，设P α∠=，则2ABM α∠=，则45ABM PBD ABD ∠+∠=∠=︒，解得15α=︒，最后根据
180PDQ BDQ BDC ∠=︒-∠-∠求出最终结果．
【详解】
解：（1）作B 的平分线，如图点D 即为所求．
（2）①AE BC =，
∴AE AB BC AB +=+，即BAE ABC =，
∴BE AC =，
在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒， ∴
5AC =．
∴5BE =；
②如图，连接AD ，
90ABC ∠=︒，∴AC 为直径，
∴90ADC ∠=︒，
D 是
AC 中点，∴AD DC =，
∴AD DC =，45ABD DBC ∠=∠=︒，
∴45ACD CAD ∠=∠=︒，
把ADB △绕点D 逆时针旋转90°，则点A 与点C 重合，B 对应点为点F ，
则有BAD DCF ∠=∠，90BDF ∠=︒，FC AB =，
四边形ABCD 为ABC 外接圆的内接四边形，
∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∴180DCF BCD ∠+∠=︒，
∴B ，C ，F 三点共线，
∴BF BC FC BC AB =+=+，
90BDF ∠=︒且45DBC ∠=︒，
∴45DBC F ∠=∠=︒，222DB DF BF +=，
∴2
DB DF BF ==，
∴()22
BD BF AB BC ==+，
)
2PD AB BC =
+，且DP DQ =， ∴DP DQ BD ==，
∴P PBD ∠=∠，45Q QBD ∠=∠=︒，
∴2BDC P ∠=∠，90QDB ∠=︒．，
∴BE 为直径，
∴90BAE ∠=︒，
连接AD ，EC ，则有90AEC ∠=︒．
∴四边形ABCE 为矩形，
∴AC BE =，2AC MC =，2BE MB =．
∴MA MB =．
∴MAB ABM ∠=∠．
BC BC =，
∴MAB BDC ∠=∠．
设P α∠=，则2ABM α∠=．
45ABM PBD ABD ∠+∠=∠=︒．
∴245αα+=︒．
∴解得15α=︒．
∴30BDC ∠=︒．
DP DQ =．
∴DB DQ =．
∴45Q QBD ∠=∠=︒．
∴90BDQ ∠=︒．
∴180180903060PDQ BDQ BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，难度比较大，涉及圆的基本性质、圆周角、矩形证明、勾股定理、旋转等问题，需要有充分的空间想象能力和数形结合能力，根据题意做出辅助线，同时能够充分运用圆的性质是解决本题的关键．。