湖北省武汉经济技术开发区第一中学2022-2023学年高一下学期二月月考数学试题(含答案解析)

湖北省武汉经济技术开发区第一中学2022-2023学年高一下
学期二月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}|3213A x x =-≤-<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，则A B = （）
A ．{}
|12x x -≤<B ．{}
|12x x -<≤C ．{}
1,1-D ．{}
1,0,1-2．已知A B ==R ，222y x x -=-是集合A 到集合B 的函数，若对于实数k B ∈，在集合A 中没有实数与之对应，则实数k 的取值范围是（）
A ．(]
,3-∞-B ．(3,)
-+∞C ．(,3)
-∞-D ．[)
3,-+∞3．函数2()x
x f x x x
⋅=-的图象大致为（）
A
．B
．
C
．
D ．
4．以下给出了4个函数式：①1
4|cos ||cos |y x x =+；②224log log y x x =+；
③225y x x =-+；④222x x y -=+.其中最小值为4的函数共有（）A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．已知函数(1)(f x x -R)∈是偶函数，且函数()f x 的图像关于点(1,0)对称，当[1,1]x ∈-时，()1f x ax =-，则(2022)f =（）
A ．1
-B ．2
-C ．0
D ．2
6．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（
）
A ．30,4⎛⎫
⎪
⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
7．已知()(),f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足
()()22f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有
()()1212
3g x g x x x ->--成立，则实
数a 的取值范围是（）
A ．[)
3,0,4⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B ．3,4⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣⎭
D ．1,02⎡⎫-⎪
⎢⎣⎭
8．设函数()f x 的定义域为R ，且()()1
13
f x f x =+，当(]1,0x ∈-时，()()1f x x x =+，若对任意(],x m ∈-∞，都有()81
16
f x ≥-，则实数m 的取值范围是（）A ．7,3⎛
⎤-∞ ⎥
⎝
⎦B ．11,4⎛
⎤-∞ ⎥
⎝
⎦C ．9,4⎛
⎤-∞ ⎥
⎝
⎦D ．(]
,3-∞二、多选题
9．使不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（）
A ．0x ≥
B ．0x <或2x >
C ．{1,3,5}
x ∈-D ．1
2
x <-或3
x >10．已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）
A ．函数()f x 为增函数
B ．函数()f x 为偶函数
C ．当4x ≥时，()2
f x ≥D ．当210x x >>时，
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
11．如图，函数()()2sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝
⎭的图象经过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭和5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭，则（
）
A ．1ω=
B ．6
π
ϕ=
C ．若665
f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22
3sin cos 5αα-=
D ．函数()f x 的图象关于直线23
x π
=对称
12．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足①()f x 在[],a b 上是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（
）A ．()ln f x x
=B ．()()1
0f x x x
=>C ．()()
2
0f x x x =≥D ．()()2
011x
f x x x =
≤≤+三、填空题
13．函数y =______.
14．
1cos80︒______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12
x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．
16．已知()1ln ,011ln ,1
x x f x x x -<≤⎧=⎨
-+>⎩，若()()f a f b =，则11
a b +的最小值为________．四、解答题
17．（1）已知54x <，求1
4245y x x =-+-的最大值．（2）已知102x <<
，求()1
122
y x x =-的最大值．（3）已知0x >，求221
x
y x =
+的最大值．18．已知函数()222sin f x x x -.
(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)若,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值.
19．已知函数()f x 满足112()()33x x f x f x +-+-=+．（1）求(0)f 的值；（2）求()f x 的解析式；
（3）若()9x f x m ->⋅对[)3log 2,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．20．（1）已知()1
sin 2
αβ+=
，()1sin 3αβ-=，求tan tan αβ的值；
（2）钝角α终边过点()1,2-，0πβ<<，cos β=，求cos 2α和2αβ+的值．
21．哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当05x ≤≤时，()34
k
T x x =+；当510x <≤时，()()2
13023560
T x x x =
-+；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元.设()f x 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及()f x 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小.并求最小值.22．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈.（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.
（2）当30,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；
（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.
参考答案：
1．C
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-<=-≤<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，所以A B = {}1,1-，故选：C 2．C
【解析】求出函数y 的值域，再根据函数的定义，即可得答案；【详解】 2222(1)33y x x x =--=--- ，根据函数的定义可得3k <-，故选：C.
【点睛】本题考查函数定义中值域的理解，属于基础题.3．A
【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可得到答案.
【详解】()()2,02()2,0x x x x x x f x x x x x ⎧->⋅⎪=-=⎨--<⎪⎩
,当01x <<时，20x x ->，排除D 选项；
当0x <时，2x y x =--在(),0∞-上单调递减，且1
(1)102
f -=-+>，
排除BC ，故选：A 4．B
【分析】根据二次函数的性质可判断③符合题意，根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出①④符合题意，②不符合题意．
【详解】对于①，因为0cos 1x <≤
，4cos 4c 1
os y x x =+≥=，当且仅当1cos 2
x =时取等号，所以其最小值为4，①符合题意；对于②，224
log log y x x
=+
，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而2log x R ∈且2log 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，②不符合题意．
对于③，()2
225144y x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时取等号，所以其最小值为4，③符
合题意；
对于④，因为函数定义域为R ，而20x >
，24
2
2242
x
x x x y -=+=
+≥，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，④符合题意.所以一共有3个.故选：B 5．A
【分析】先由题给条件求得函数()f x 的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得(2022)f 的值.
【详解】根据题意，函数(1)(f x x -R)∈是偶函数，则函数()f x 的对称轴为=1x -，则有()(2)f x f x =--，又由函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称，则()(2)f x f x =--，则有(2)(2)f x f x --=--，则(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)=()f x f x f x +=-+，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则(2022)(22538)f f =-+⨯(2)(0)1f f =-==-故选：A ．6．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出ω的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个ω的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令2,222x k k ππωππ⎡⎤∈-+⎢⎣⎦，解得22,22k k x ππππωωωω⎡⎤
∈-+⎢⎥⎣⎦
，Z k ∈，
而函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以22323
0π
πωππωω⎧-≤-⎪⎪
⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩
，解得304ω<≤，
当[]0,x π∈时，[]0,x ωω∈π，
因为|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，
所以232
πωππ
ωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1322ω≤<.
综上所述，ω的取值范围是13
24
ω≤≤.故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得ω的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得ω的另一个范围.这里要注意，|()|1f x =说明()1f x =±，而根据题意，|()|1f x =只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身
的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1-，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.7．B
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到2()32h x ax x =++在(1,2)x ∈单调递增，分类讨论即可求解.
【详解】由题可得()()2
2f x g x ax x -+-=+-，
因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
所以()()2
2f x g x ax x -+=-+，
联立()()()()2
2
22
f x
g x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩解得2()2g x ax =+，又因为对任意的1212x x <<<，都有
()()1212
3g x g x x x ->--成立，
所以()()121233g x g x x x -<-+，所以()()112233g x x g x x +<+成立，构造2()()332h x g x x ax x =+=++，
所以由上述过程可得2()32h x ax x =++在(1,2)x ∈单调递增，(i)若a<0，则对称轴0322x a =-
≥，解得3
04
a -≤<；(ii)若0a =，()32h x x =+在(1,2)x ∈单调递增，满足题意；(iii)若0a >，则对称轴03
12x a
=-
≤恒成立；
综上，3,4a ⎡⎫
∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，
故选：B.8．C
【分析】根据题设得到(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1
min 13()()24
k f x f k +=+=-
，注意判断函数值的变化趋势，再求得min 81
()16
f x ≥-
的最大k 值，此时结合二次函数性质确定(1,2]x k k ∈++上1(1
)86
f x -
=对应x 值，即可得m 的范围.【详解】令01x <≤，则110x -<-≤，故(1)(1)f x x x -=-，而()3(1)f x f x =-，所以1(())3f x x x -=且(0,1]x ∈，
令21x -<≤-，则110x -<+≤，故(1)(1)(2)f x x x +=++，而1
()(1)3
f x f x =
+，所以1
()(1)3
(2)f x x x +=+且(2,1]x ∈--，
结合已知：(,1]x k k ∈+且Z k ∈时1()[()3](1)k x k f x x k +--+=，而130k +>，对(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1
min 13
()()24k f x f k +=+=-，即随k 增大m in ()f x 依次变小，
要使对任意(],x m ∈-∞都有()8116f x ≥-，令1381
416
k +-≥-，则1k ≤且Z k ∈，
则(1,2]x ∈上min 981()416f x =->-，且(2,3]x ∈上min 2781
()416
f x =-
<-，当(2,3]x ∈时，令81(2)(()316
27)f x x x --=-
=，则3(2)(3)16x x --=-，解得9
4x =或114x =，
综上，要使对任意(],x m ∈-∞都有()81
16f x ≥-，只需94
m ≤.故选：C
【点睛】关键点点睛：注意总结归纳(,1]x k k ∈+且Z k ∈，()f x 随k 的变化趋势，进而找到
min 81()16f x ≥-
的对应区间，再求出该区间右侧区间中1(1
)86
f x -=的自变量.9．CD
【分析】结合已知条件，利用充分不必要的概念即可求解.【详解】由于不等式22530x x --≥的解为：3x ≥或1
2
x ≤-，
设使不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件为集合A ，则A
1
{|2
x x ≤-或3}x ≥，
结合选项，只有选项CD 正确.答案：CD 10．ACD
【分析】设幂函数()f x 的解析式，代入点(9,3)，求得函数()f x 的解析式，根据幂函数的单调性可判断A 、C 项，根据函数()f x 的定义域可判断B 项，结合函数()f x 的解析式，利用平
方差证明不等式
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断D 项.【详解】解：设幂函数()f x x α
=，则()993f α==，解得1
2
α=
，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()1
2442f x f ≥==，故C 正确，当210x x >>时，
()()2
2
121212222f x f x x x x x f +⎡⎤⎡+⎤+⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦⎣⎦2
04
-
<，
又()0f x ≥，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，D 正确．
故选：ACD.11．BD
【分析】根据函数图象求出周期，即可求出ω，再根据函数过点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
求出ϕ，即可得到
函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦函数的性质判断即可；【详解】解：
5212122
T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以T π=，所以2ω=，则A 错误；()()2sin 2f x x ϕ=+，由()f x 的图象过点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，且在12x π=-附近单调递增，所以
()26
k k πϕπ-+=∈Z ，结合2πϕ<，可得6π
ϕ=，则B 正确；
所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
由62sin 22cos 2625f ππααα⎛⎫⎛⎫
-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得3cos 25α=，所以
223
sin cos cos 25
ααα-=-=-
，则C 错误；()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，当23x π=时，()2f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线23x π=对
称，则D 正确.故选：BD.12．BC
【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案.【详解】A ：()ln f x x =为增函数，
若()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a a
f b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩
，
结合ln y x =及3y x =的图象知，方程ln 3x x =无解，故()ln f x x =不存在“3倍值区间”，A 错误；B ：()()1
0f x x x
=
>为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，得1
3ab =，又0a >，0b >，
所以可取1
3
a =，1
b =，
所以()()1
0f x x x
=
>存在“3倍值区间”，B 正确；C ：()()2
0f x x x =≥为增函数，
若()()2
0f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则()()22
33f a a a f b b b ⎧==⎪
⎨==⎪⎩
，得03a b =⎧⎨=⎩，所以()()2
0f x x x =≥存在“3倍值区间”，C 正确；
D ：当0x =时，()0f x =；当01x <≤时，
()11f x x x
=
+
，从而可得()f x 在[]0,1上单调递增，若()21x f x x =+存在“3倍值区间”[],a b 且[][],0,1a b ⊆，则有()()2
23131a f a a a b f b b
b ⎧
==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩
，解得00a b =⎧⎨=⎩，不符合题意，
所以()()2
011x
f x x x =≤≤+不存在“3倍值区间”，D 错误．故选：BC
13．11,2⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为[1,2]-,再根据复合函数的同增异减法则可得.【详解】由220x x -++≥解得:12x -≤≤,
所以函数y =:[1,2]-,
令t =则2t y =为增函数,
由y =在1
[1,]2-递增,
可得函数y =:1
[1,2
-.
故答案为:1
[1,]
2
-【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间,注意函数的定义域,属于基础题.14．4
【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】
1
cos80cos10-
︒︒
cos10cos80cos10
=
︒-︒︒︒
sin 80cos80cos10=
︒
︒︒︒12sin 80cos802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝
⎭︒=︒()2sin 8060cos80cos10︒-︒=
︒︒2sin 20cos80cos10=
︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒
=︒︒
=
.
故答案为：4
15．24,3⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x -<-，所以函
数()f x 在(],0-∞上单调递减，
又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，实数t 满
()()213f t f t +≤-，所以213t t +≤-，
两边平方得23+1080t t -≤，解得243
t -≤≤
，故答案为：24,
3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
.16．2
1
1e
+【分析】由已知分段函数的图像和性质以及()()f a f b =，可计算2ab e =，进而分别构造
2
21(),(0,1]e h a a a e a ⎛⎫=+
∈ ⎪⎝⎭
，2
21(),(1,)e g b b b e b ⎛⎫
=+
∈+∞ ⎪⎝⎭
，再由双勾函数性质求最值即可.【详解】解：已知分段函数()f x 在两端区间内都是单调函数，若()()f a f b =，则必然分属两段内，
不妨设01,1a b <≤>，则()1ln ,()1ln f a a f b b =-=-+，即2
1ln 1ln ln ln ln()2a b a b ab ab e
-=-+⇒+==⇒=当2221111b e b a b b b e e ⎛⎫+
=+=+ ⎪⎝
⎭时，令221(),(1,)e g b b b e b ⎛⎫
=+∈+∞ ⎪⎝⎭，由双勾函数性质可知()g b 在区间(1,)e 上单调递减，在区间(,)e +∞上单调递增，所以min 2
()()g b g e e
==
，此时a e =不符合题意），当2221111a e a a b a a e e ⎛⎫+
=+=+ ⎪⎝
⎭时，令2
21(),(0,1]e h a a a e a ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
，由双勾函数性质可知()h a 在区间(0,1]上单调递减，
所以min 21()(1)1h a h e
==+，此时21,a b e ==.故
11
a b
+的最小值为211e +.
故答案为：2
1
1e
+【点睛】本题考查在分段函数的图象下由函数值相等转化自变量关系，还考查了构造函数求最值，属于难题.
17．（1）max 1y =；（2）max 1
16
y =
；（3）max 1y =.【分析】（1）由已知得11425434554y x x x x ⎛
⎫=-+=--++ --⎝⎭
，根据基本不等式可求得最大值．
（2）由基本不等式得()2
11212212442x x y x x +-⎛⎫
=⨯-≤⨯ ⎪⎝⎭
，由此可求得最大值．
（3）由已知得
22211x y x x x
=
=
++．根据基本不等式可求得最大值．
【详解】解：（1）∵5
4
x <，∴540x ->．
∴114254332+314554y x x x x ⎛
⎫=-+=--++≤-+==-= ⎪--⎝
⎭，当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，等号成立．故当1x =时，max 1y =．（2）∵1
02
x <<
，∴120x ->．∴()2
112121112124424416
x x y x x +-⎛⎫=⨯-≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭，
当且仅当121202x x x ⎛
⎫=-<< ⎝
⎭，即14x =时，等号成立．
故当14x =时，max 1
16
y =．
（3）∵0x >，∴
222
11x y x x x
=
=++．根据基本不等式得12x x +≥=，∴212y ≤=，当
且仅当1
x x
=
，即1x =时，等号成立．故当1x =时，max 1y =．
18．(1)最小正周期为π；单调递增区间为()
,,36k k k Z
ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
(2)()f x 的最小值为3-，此时3
x π
=-.
【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再利用周期公式和整体代换法即可求解；（2）利用（1）的结论，根据整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x 的取值即可.
【详解】（1）依题意得：
()222sin 2cos 212sin 21
6f x x x x x x π⎛
⎫=-=+-=+- ⎪⎝
⎭2T π
ω
=
22
T π
π∴=
=()f x \的最小正周期为π；由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈得：,3
6
k x k k Z
π
π
ππ-
+≤≤
+∈()f x \单调递增区间为：()
,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ ，52626x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，[]sin 211
6x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭，[]
2sin 21316x π⎛
⎫∴+-∈- ⎪⎝
⎭，即：()min 3f x =-，此时3
x π
=-.
19．
（1）2；（2）()33x x
f x -=+；（3）(,10)-∞.
【分析】(1)令x =0，直接求出f (0)即可；
(2)把x 换成-x ，写出f (-x )的表达式，结合f (x )计算即可；
(3)根据(2)可把不等式分离参数，利用换元法得到新的函数，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
【详解】解：（1）令0x =，得2(0)(0)33f f +=+，解得(0)2f =．
（2）因为112()()33x x f x f x +-+-=+①，
所以112()()33x x
f x f x -++-+=+②，
2⨯-①②得113()33x x f x +-=+，
即()33x x f x -=+．
（3）由（2）知()9x f x m ->⋅等价于()3
33x x m <+．令3(2)x t t =
，设函数3()g t t t =+，易知()g t 在[2,)+∞上单调递增，从而min ()(2)10g t g ==，
则10m <，即m 的取值范围为(,10)-∞．
20．（1）5；（2）
9π
4
【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式列式，得到5
sin cos 12
αβ=和1cos sin 12αβ=，再
根据同角公式可求出结果；
（2）根据已知条件，推出sin α，cos α，sin β，再求出cos 2α，sin 2α，cos(2)αβ+和sin(2)αβ+，然后根据角的范围求出2αβ+即可得解.
【详解】（1）由()1sin 2
αβ+=，得1
sin cos cos sin 2αβαβ+=，
由()1sin 3
αβ-=
，得1
sin cos cos sin 3αβαβ-=，
两式相加得5
sin cos 12
αβ=
，两式相减得1cos sin 12αβ=，
所以sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos αααβ
αββαββ==5
125112
==.（2）因为钝角α终边过点()1,2-
，所以cos α=
-
-
所以sin α=
=
22
143cos 2cos sin 555
ααα=-=-=-，所以4
sin 22sin cos 2()555
ααα==⨯
⨯-=-，因为0πβ<<
，cos 010
β=-<，所以ππ2β<<
，sin 10β===，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=
-34(()55=-⨯---
⨯
=sin(2)sin 2cos cos 2sin αβαβαβ+=
+43(()5105102
=-⨯-+-⨯=，
因为ππ2α<<，π
π2β<<，所以
3π23π2αβ<+<，所以9π24αβ+=.21．(1)20k =，()26008(05)34
12357(510)2
2x x x f x x x x ⎧
+≤≤⎪⎪+=⎨⎪-+<≤⎪⎩；
(2)当11
3
x =
时，()f x 取得最小值，且最小值为2083万元.
【分析】(1)由题意知本题分两部分讨论.当05x ≤≤时，由()05T =求出20k =，求出对应
600
()8,34
f x x x =+
+，当510x <≤时，求出()21235722f x x x =-+.
(2)当05x ≤≤时,利用均值不等式求出min 208()3
f x =，当510x <≤时，二次函数min ()93f x =，故min 208
()3
f x =
.【详解】（1）由题意知若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元，()05,4
k
T ∴=
=解得20k =，当05x ≤≤时，20600
()8308,3434
f x x x x x =+⨯=+++当510x <≤时，()()22112353030235876022
f x x x x x x =⨯
-++=-+，()26008(05)3412357(510)2
2x x x f x x x x ⎧
+≤≤⎪⎪+∴=⎨
⎪-+<≤⎪⎩（2）当05x ≤≤时，()60086003232208
()8348034334333
f x x x x x =+=++-≥-=++，当且仅当11
3
x =
时等号成立.当510x <≤时，当7x =时，()min ()793f x f ==，所以，当11
3
x =
时，()f x 取得最小值，且最小值为2083万元.
22．（1）
零点为11；（2）max
12,0,21()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧
<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪
-≤<⎪⎩
；（3
）()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩.
【分析】（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案；
（3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案．
【详解】（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩
，
令2210-++=x x
，解得：1x =
1舍)；令2210x x -+=，解得：1x =；
∴函数()y f x =
的零点为11；
（2）由题意得：()2221,221,2x ax x a
f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩
，其中()()021f f a ==，
30,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取.
当021a <≤，即1
02
a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==；当122a a <<<，即
1
12
a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减，()()max 21f x f a ∴==；
当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；
()()()()122254230f f a a a -=---=-< ，()()max 254f x f a ∴==-；
综上所述：()max
12,021
1,12354,12a a f x a a a ⎧
<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪
⎪
-≤<⎪⎩
；
（3）()0,x ∈+∞ 时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=，
∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.
()21f a a =-+ ，分两种情况讨论：
当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，
即a ≥时，(
)T a a =-当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，
即0a <<时，(
)T a a =综上所述：(
)a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题.。