荆州市、黄冈市2004年高三联考数学试题(理科)试题及答案

荆州市、黄冈市 2004年5月高三联考
数学试题(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 与命题：“若a ∈M ，则b M ∉”等价的命题是
A ．若,a M ∉则b M ∉ B.若,b M ∉则a M ∈ C.若,a M ∉则b M ∈ D.若b M ∈，则,a M ∉ 2. 不等式33|log ||||log |x x x x +<+的解集为
A.(0，1)
B.(1,+∞)
C.(0, +∞)
D.(,)-∞+∞ 3. 一函数图像沿向量(
,2)3
a π
=平移后，得到函数y=2cosx+1的图像，则原函数在
[0,]π上的最大值为
A.3
B.1
C.0
D.2
4. 一批零件有5个合格品和2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出一个，若每次
取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品为ξ，则E ξ等于 A.
221 B.57 C.521
D.1
3
5. 设函数()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若23
(1)1,(2)1
a f f a ->=
+，则 A.23a < B.23a <且1a ≠ C.23a >或1a <- D.213
a -<<
6. 数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =
A.3
B.－3
C.－6
D.6 7. 设1+2
2
2
2
2
012(1)(12)(13)(1)x x x nx a a x a x ++++++
++=++则2
lim n a →∞的值为
A.2
B.1
C.1
2 D.0
8. 对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产
品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况， 下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可
按原生产计划进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；(3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量. 你认为较合理的叙述是
A.(1)(2)(3)
B.(1)(3)
C.(2)
D.(2)(3)
9. 已知点M 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点，两焦点为1F 、2F ，点I 是△12MF F 的
内心，连接MI 并延长交12F F 于N ,则
||
||
MI IN 的值为
A.b
D.a
10. 在正三棱锥S ABC -中，D 为AB 的中点，且SD 与BC 所成角为45°，则SD 与底面所
成角的正弦值为
A.2
B.1
3
C.3
D.3 11. 已知函数[](5)
()2(5)x x x f x x ≥-⎧=⎨<-⎩
，[]x 表示不超过x 的最大整数，给出下
列判断：
①1
lim ()0x f x -→=；②2
lim ()2x f x -
→=；③3lim ()3x f x +→-=-；④5
lim ()5x f x →= 其中正确的命题的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12. 设α、β是实系数方程2
20x ax b ++=的两根，且(0,1),(1,2),αβ∈∈则2
1
b a --的取值范围是
A.1(,1)4
B.1(,1)2
C.11(,)24-
D.11(,)22
-
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13. 在下面等号右侧两个分数的分母括号内，各填上一个自然数，并使这两个自然数的和最小：
191()
()
=
+
14. 等轴双曲线2
2
1x y -=的焦点为12,F F ，点P 是双曲线上的动点，当120PF PF ⋅<时，点P 的横坐标的取值范围是:________
15. 正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4
，侧棱长为
________
16. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如34689)，若把所有五位“渐升数”按小到大的顺序排列，则第100个数为__________
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步逐 17．(12分)已知向量1
(sin ,2),(2sin ,)2
a x
b x ==，(cos 2,1),(1,2)
c x
d ==，又二次函数()f x 的开口向上，其对称轴为1x =，当[0,]x π∈时，求使不等式()()f a b f c d ⋅>⋅成立的x 的范围.
18．(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，O 为AC 和
BD 的交点，M 为DD 1的中点. (Ⅰ)求证：直线B 1O ⊥平面MAC ； (Ⅱ)求二面角B 1－MA －C 的大小.(结果用反三角函数表示)
19．(12分)袋中有6个球，其中红球3个，A 、B 、C 三人接连从袋中取球，按A 、B 、C 、A 、B 、C 、……的顺序，如此延续下去，规定先取一个红球获胜.分别求满足下列条件A 、B 、C 的获胜率： (Ⅰ)抽后放回； (Ⅱ)抽后不放回
20．(12)设函数()f x ＝3
2
135(0)2
x ax x a -++> (Ⅰ)求()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若2,a =且当[1,2]x ∈时，()f x ≤|1m -|恒成立，求实数m 的取值范围.
21．(12)已知动点P 与双曲线
22
123
x y -=的两个焦点12,F F 的距离之和为定值2a (a >，且12cos F PF ∠的最小值为1
9
-.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)若已知D(0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围.
22．(14分)123,,,B B B …顺次为曲线1
(0)y x x
=
>上的点，123,,,A A A …顺次为x 轴上的点，且△11,OB A △122A B A ，…，△11n n n A B A ++，…均为等腰直角三角形(其中12,,B B …均为直角顶点)，记n A 的坐标为(n x ，0)，*
n N ∈.
(Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式； (Ⅱ)设n S 为数列1{
}n x 的前n 项和，试比较lg(1)n S +与1
lg(1)2
n +的大小.
荆州市、黄冈市 2004年5月8日高三联考数学试题(理科)
数学试题参考答案及评分说明(理科)
命题 荆州 陈子俊 黄冈 易淑德 审定 荆州 刘学勇 徐法章 黄冈 丁明忠
一、选择题
1.D
2.A
3.C
4.D
5.D
6.B
7.B
8.D
9.C 10.C 11.B 12.A 二、填空题
13.19
1412
=
+； 14.(1]-⋃； 15.36π； 16.24789 三、解答题
17．依题意有，当x ≥1时，f(x)是增函数 ∵2
1(sin ,2)(2sin ,)2sin 112
a b x x x ⋅=⋅=+≥ (cos 2,1)(1,2)cos 221c d x x ⋅=⋅=+≥
∴2
()()(2sin 1)(cos 21)f a b f c d f x f x ⋅>⋅⇔+>+ ...........(6分)
22sin 1cos 221cos 21cos 22cos 20x x x x x ⇔+>+⇔-+>+⇔<
∵0≤x ≤π
34
4
x π
π
<<
即为所求 ..............(12分)
18．方法一：(1)连OM ，B 1D ，B 1M ，可求得OM 1
13BO B M == 由此可知222
11,B M OM B O =+ ∴1,B O AC ⊥又由三垂线定理，
得11,B O AC B O ⊥∴⊥平面MAC ............(6分) (2)过O 作ON ⊥AM 于N ，连1,B N ∵1B O ⊥平面MAC ，∴1,B N AM ⊥ ∴∠1B NO 为二面角1B MA C --的平面角，
∴Rt △AON ∽Rt △AMO ， ∴,
ON OM ON OA AM ==，而1
BO =
∴11tan B O
B NO ON
∠=
=故1B NO ∠=分 方法二：以AB 、AD 、AD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系 (1)则B 1的坐标为(2，0，2) O(1，1，0) M(0，2，1)
1OB ＝(1，－1，2)，AC ＝(2，2，0)，AM ＝(0，2，1)
∵110,0AC OB AM OB ⋅=⋅= ∴AC ⊥OB ，AM ⊥OB 1，从而OB 1⊥面MAC....(6分)
(2)过O 作AM 的垂线ON ，连接B 1N ，由三垂线定理知1NB AM ⊥，∴∠B 1NO 为二面角B 1－AM －C 的平面角.
设N 的坐标为(x ，y ，z)，则有AN AM λ= 即(x ，y ，z)＝(0，2λ，λ) 又∵B 1N ⊥AM ∴10B N AM ⋅= 即(x －2，y ，z －2)·(0，2，1)＝0 即有⎩
⎨⎧x ＝0
y ＝2λ
z ＝λ2y ＋z －2＝0解得：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0
y ＝45z ＝
25
∴ 111cos ||||B N ON B NO ON B N ⋅∠=
=
4812
(2,,)(1,,)
6
--⋅--= 即二面角的大小为arccos 6 ...12分 19.(1)A 获胜的概率为：
36311114
()()622227+⋅+⋅+= ......2分 B 获胜的概率为：471111112
()()2222227⋅+⋅+⋅+= ........4分
C 获胜的概率为：421
1777
--= ............6分
(2)A 获胜的概率为：332111
665420+⨯⨯= ...........8分
B 获胜的概率为：333
6510⋅= .........10分
C 获胜的概率为：11331201020--=
或3233
65420
⋅⋅= .......12分 20．(1)2()33f x x ax '=-+，其判别式△＝2
36a
-=
当a ＞6时，由()0f x '>
，得6a x >
或6a x
-<
则()f x 的递增区间为(,
],[
),66a a
+-∞+∞ 递减区间为；
当0＜a ≤6时，f '(x)≥0恒成立，则f(x)的递增区间为(－∞，+∞) ...6分
(2)当a ＝2时，2
()3230f x x x '=-+>恒成立，因此f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，从而f(x)在[1,2]上递增.
则f(x)max ＝f(2)＝15.要f(x)≤|m －1|在x ∈[1,2]上恒成立，只需15≤|m －1|在x ∈(－∞，－14]∪[16，+∞)，故m 的取值范围是(－∞，－14]∪[16，+∞) 21(1)由题意知c 2
＝5
，设12||||2(PF PF a a +=由余弦定理得
22221212121212||||||210cos 12||||||||
PF PF F F a F PF PF PF PF PF +--∠==- .....2分
又12||||PF PF ⋅≤2
212||||(
)2
PF PF a += ......4分
当且仅当12||||PF PF =时，12||||PF PF ⋅取最大值，此时12cos F PF ∠取最小值22
210
1a a -- 令222
2101
199
a a a --=-⇒=
∵c =∴2
4b =
故所求P 的轨迹方程为22
194
x y += .....6分 (2)设(,),(,)N s t M x y ，则由DM DN λ=可得
(,3)(,3)x y s t λ-=- ，故,3(3)x s y t λλ==+- ........8分 ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故
22
194s t +=且22()(33)194s t λλλ+-+= 消去s 得：2222(33)14t t λλλλ+--=- 解得135
6t λλ
-=，又||2t ≤
∴135|
|6λλ-≤2，解得1
55
λ≤≤ 故λ的取值范围是1
55
λ≤≤ .......12分
(1)可求得11(1,1),(2,0)B A ，直线1n n A B +的方程为n y x x =-
联立1n
y x y x x ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩，消去y
，得2
10,n x x x x --==
即1n B +
12n n x x ++=
即2214n n x x +-=，∴2{}n x 为等差数列，其首项2
1x ＝4，公差d ＝4
∴24,n n x n x ==(2)等价于比较1n S +
1n x =>= ∴123
111
1
(21)(32)(1)1n
n
S n n n x x x x =
++++
>-+-+++-=+.
即1
1lg(1)lg(1)2
n n s S n +>+>+ .........14分。