人教A版高中数学 必修4 3.两角差的余弦公式 教学课件

人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
解：
sinα
=
3 5
,α
π 2
,
π
,cosα
=
-
4 5
cosβ
=
-
5 13
,β
π,
3 2
π
,sinβ
=
-
12 13
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
= (- 4 )(- 5 ) - ( 3 )(- 12 ) 5 13 5 13
新课导入
在现实生活中，经常会遇到的一些测 量长度、高度等问题，比如图片中的信号 台的高度，都用到什么量呢？
请同学们思考:
D
如图所示，某城市的电视发
射塔建在市郊的一座小山上。
小山高BC约为30米,在地平 面上有一点A,测得A、C两点间距
45°67 α
C 30
A
B
离约为67米,从A观测电视发射塔
的视角(∠CAD)约为45°。求这
一章所学的知识可知这种猜想是错误的！ 下面就一起探讨两角差的余弦公式
cos ?
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
用三角函数线方法探究两角差的余弦公式
如图，设α，β为锐角，且α＞β，
2
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
例1 利用差角余弦公式求cos15°的值。
分析：例1是指定方法求cos15°的值， 这样可以使学生把注意力集中到使用公式求 值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式 上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。
= 1 2 + 3 2 22 2 2
= 6+ 2 4
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
例2：已知
cosα
=
-
3α 5
π 2
,
π
求
cos
π 4
-
α
的值。
解:
∵ cosα = - 3
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
在初中已经学过 cos 45
2 ，cos 30
2
3，
2
由此能否得到cos15 cos 45 30 ?大家可以
猜想，是不是等于 cos45 cos 30 呢?根据在第
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
过程与方法
掌握用向量方法建立两角差的余弦公 式．通过简单运用，使学生初步理解公式 的结构及其功能，为建立其它和（差）公 式打好基础。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
y
OA = cosα,sinα
1
OB = cosβ,sinβ
A
OA OB = OA OB cos(α - β) -1
α -β
B
α
β
o
1x
= cos(α - β)
OA OB
-1
= cosαcosβ + sinαsinβ
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
例3:
已知sinα
=
3 5
,
α
π 2
,
π
,
cosβ
=
-5 13
,
β
π,3 2π, 求cos(α+
β)的值。
例３也是运用差角公式的基础题。安排这 个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序 性，逐步培养他们良好的思维习惯。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
情感态度与价值观
让学生感受数学知识的相互联系， 培养逻辑推理的思维能力，树立创新意 识和应用意识，提高数学素质。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
教学重难点
重点
通过探索得到两角差的余弦公式；
什么结论？
y
P1
A
sinαsinβ
C
P
O BM x
cos(α－β)
cosαcosβ
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
用向量方法探究两角差的余弦公式
cosα＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ 等于什么？
cosβ＝cos[(α－β)－α] ＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
= 20 + 36 65 65
= 56 65
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
例4:
已知α，β 都是锐角,
cosα=
5， 8
cosα+β 7
12
求cosβ的值。
解： cos cos
从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入 本章的研究课题。
1、实际问题中存在研究像tan（45°+α）这样包 含两个角的三角函数的需要；
2、实际问题中存在研究像sinα与tan（45°+α）这 样的包含两角和的三角函数与单角α，45°的三角函数 的关系的需要；
在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
解析：
本题必须注意到余弦函数是偶函数，注意题中 给出的函数不同名，而
y
cos(
x
3
)
cos(
3
x)
sin
如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
cosβ
PA OP1 OA cos
y
P1
A
P
O
x
PA sin
sinβ
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
OAcosα＝cosαcosβ ，它表示哪条线段长？ PAsinα ＝sinαsinβ ，它表示哪条线段长？
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
针对性练习
1、要得到函数y=sinx的图像，只
需将函数y=cos(x- )的图像（ A ）
3
A.
向右平移
6
个单位
B.
向右平移
3
个单位
C. 向左平移
3
个单位
D. 向左平移
个单位
6
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
= 2 3 + 21 2 2 22
= 6+ 2 4
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
方法二
解: ∵ cos15o = cos 60o - 45o
∴ cos15°=cos（60°－45°) = cos60°cos45°+sin60°sin45°
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
y 1
P1
A
sin
P
C
cos
O
B
M1
x
+ cosα cos β
sin α sin β
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
y
P1
cos(α－β) =OM
P
β
α α-β
O
M
x
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
5
α
π 2
,
π
∴ sinα = 1 - cos2α = 4
5
cos( π - α) = cos π cosα + sin π sinα
4
4
4
=
2 2
-
3 5
+
2 4 25
=2 10
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
对于任意角 ,
cos( - )= coscos +sinsin
C 简记为： ( )
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
1.公式的结构特点； 2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求 出cos(α－β). 二、两角差的余弦公式三角函数线推导过程．
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
方法一
解: ∵ cos15o = cos 45o - 30o
∴ cos15°=cos（45°－30°)
= cos45°cos30°+sin45°sin30°
于是，对于任意角α、β都有：
co（ s ） cos cos sin sin
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
探究：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知α＋β和β的三角函数 值，如何求cosα的值？
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
思考：此公式对任意角都成立吗？
当α - β是任意角时，由诱导公式一，总可以找到一个 角θ∈[0，2π），使cosθ = cos（α - β）。
若θ [0，π），则OA OB = cosθ = cos（α - β） 若θ [π，2π），则2π - θ （0，π]，且 OA OB = cos（2π - θ）= cosθ = cos（α - β）
cos αβcosα sin αβsinα
75 12 8
95 12
39 8
3705 35 96
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
课堂小结
一、两角差的余弦公式．
AB⊥x轴 PC⊥ AB
cosαcosβ＝OB sinαsinβ＝CP
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
y
P1
A
P
C
OB
sinαsinβ
x
cosαcosβ
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得
难点
探索过程的组织和适当引导。这里不仅有 学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础 知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方 法的能力问题，等等。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝
b，则cos(α－β)等于什么？
a2 b2 2 cos( )
2
思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，
则cos(α－β)等于什么？
2 a2 b2 cos( )
座电视发射塔的高度。
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件
教学目标
知识与能力
借助单位圆，运用向量的方法推导 两角差的余弦公式；
能够使用两角差的余弦公式求特殊 角和差角的余弦值；
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 差的余 弦公式 教 学课 件