湖北武汉部分学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷+答案

2024-2025学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
一、选择题.（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。

1．（3分）方程2x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（）
A．1、2B．2、﹣1C．﹣2、﹣1D．﹣2、1
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣4）2＝1
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（）A．2B．3C．12D．5
4．（3分）下列一元二次方程中没有实数根的是（）
A．x2+2x﹣1＝0B．
C．x2+x﹣2＝0D．
5．（3分）将抛物线y＝x2+1先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x+2）2D．y＝（x+1）2﹣1
6．（3分）已知方程6x2﹣7x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为（）A．B．C．D．
7．（3分）当函数是二次函数时，a的取值为（）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a＝﹣1
8．（3分）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则的值是（）A．1B．﹣1C．2D．0
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点（﹣2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，则p的值有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．（3分）函数y＝ax+（a，b为常数，且a＞0，b＜0）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题.（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程（2﹣3x）（6﹣x）＝0的根为．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是．
13．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．
14．（3分）某工厂一月份生产零件30万个，第一季度生产零件152.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，则x满足的方程是．
15．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①当x＞1时，y随x增大而减小；②a+b＜0③3a+b+c＞0；④当时，OC＞2．其中结论正确的有（填序号）．
16．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（m+4）x+3m+2在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥2恒成立，则m的取值范围为．
三、解答题.（共有8小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x+4＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）该抛物线的对称轴是直线；
（2）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝0的解为；
（3）当x满足时，y＞0；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是．
19．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0的两个实数根．（1）求t的取值范围；
（2）若，求t的值．
20．（8分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
21．（8分）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），点D是AB上一点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）作线段AB关于AC的对称线段AE；
（3）在线段AE上找点F，使AF＝AD；
（4）在AB上画点G，使∠BCG＝∠BAC．
22．（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
23．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，过点A作直线AE，作DG⊥AE于点G，且AG＝GE，连接DE．
（1）求证：DE＝DC；
（2）若∠CDE的平分线交直线AE于F点，连接BF，求证：DF﹣FB＝FA；
（3）在（2）的条件下，当正方形边长为2时，求CF的最大值为．
24．（12分）已知：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），点B（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第三象限上的一点，若∠PBA＝2∠BCO，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为抛物线在点A左侧上的一点，点M与点N关于抛物线的对称轴对称，直线BN、BM分别交y轴于点E、D，求OE﹣OD的值．
2024-2025学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
参考答案与试题解析
一、选择题.（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。

1．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是﹣2，﹣1，
故选：C．
2．【解答】解：移项，得：x2﹣4x＝﹣2，
配方：x2﹣4x+4＝﹣2+4，
即（x﹣2）2＝2．
故选：A．
3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
4．【解答】解：x2+2x﹣1＝0的判别式Δ＝4+4＝8＞0，
∴x2+2x﹣1＝0有实数根，故A不符合题意；
x2+2x+2＝0的判别式Δ＝8﹣8＝0，
∴x2+2x+2＝0有实数根，故B不符合题意；
x2+x﹣2＝0的判别式Δ＝1+8＝9＞0，
∴x2+x﹣2＝0有实数根，故C不符合题意；
x2+x+1＝0的判别式Δ＝2﹣4＝﹣2＜0，
∴x2+x+1＝0无实数根，故D符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3．
故选：A．
6．【解答】解：∵方程6x2﹣7x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
故＝＝＝﹣．
故选：B．
7．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+2x+3是二次函数，∴a﹣1≠0，a2+1＝2，
解得，a＝﹣1，
故选：D．
8．【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，m2+m﹣1＝0，
∴m2＝﹣m+1，
∴m2+2m+
＝﹣m+1+2m+
＝+1
＝+1
＝1；
故选：A．
9．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，
解得b＝﹣4a，
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点为（﹣2，0），把（﹣2，0）和b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+8a+c，
解得：c＝﹣12a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣12a（a＞0），
对称轴h＝2，最小值k＝＝﹣16a，
如图：
顶点坐标为（2，﹣16a），
令ax2﹣4ax﹣12a＝0，
即x2﹣4x﹣12＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴当a＞0时，抛物线始终与x轴交于（﹣2，0）与（6，0），
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，
即常函数直线y＝p（p＜0）与二次函数y＝ax2+bx+c有交点，
∴﹣16a≤y＜0，
由图象得当﹣16a≤y＜0时，﹣2＜x＜6，其中x为整数时，x＝﹣1，0，1，2，3，4，5，∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）的整数解有7个．
又∵x＝﹣1与x＝5，x＝0与x＝4，x＝1与x＝3关于直线x＝2轴对称，
当x＝2时，直线y＝p恰好过抛物线顶点，
所以p值可以有4个．
故选：C．
10．【解答】解：令y＝0得，
，
因为x≠0，
所以ax3＝﹣b，
解得x＝．
因为a＞0，b＜0，
所以x＝＞0，
则函数图象与x轴的正半轴有一个公共点，
所以A、C选项不符合题意．
当x＜0时，
y＝ax+＜0，
所以此时函数的图象在第三象限，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题.（共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵（2﹣3x）（6﹣x）＝0，
∴2﹣3x＝0或6﹣x＝0，
解得x1＝，x2＝6，
故答案为：x1＝，x2＝6．
12．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以顶点的坐标是（1，﹣3）．
故答案为（1，﹣3）．
13．【解答】解：∵关于x m+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴根的判别式Δ＝（﹣3）2﹣4（m+1）×1≥0，
由（﹣3）2﹣4（m+1）×1≥0，解得：m≤，
又∵（m+1）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，
∴关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠﹣1．故答案为：m≤且m≠﹣1．
14．【解答】解：依题意得二、三月份的产量为30（1+x）万个，、30（1+x）2万个，∴30+30（1+x）+30（1+x）2＝152.5．
故答案为：30+30（1+x）+30（1+x）2＝152.5．
15．【解答】解：∵点D横坐标为1，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象开口向下，
∴x＞1时，y随x增大而减小，
故①正确，符合题意．
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵a＜0，
∴b+a＝﹣a＞0，
故②错误，不符合题意．
∵点B坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴点A坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＝0，
∵b＝﹣2a＞0，
∴3a+b+c＝b＞0，
故③正确，符合题意．
∵3a+c＝0，
∴a＝﹣．
∵a＜﹣，
∴﹣＜﹣．
∴c＞2，
∴OC＞2，
故④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
16．【解答】解：由题意的，y＝x2﹣（m+4）x+3m+2的对称轴为直线x＝，开口向上，
①当≥2时，即m≥0时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥1恒成立，
只需x＝2时的函数值大于等于1，即22﹣2（m+4）+3m+2≥1，
解得：m≥3，
结合m≥0，得：m≥3．
②当≤﹣1时，即m≤﹣6时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥1恒成立，
只需x＝﹣1时的函数值大于等于1，即（﹣1）2+（m+4）+3m+2≥1，解得：m≥﹣，
结合m≤﹣6，得无解．
③当﹣1≤≤2时，即﹣6≤m≤0时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥1恒成立，
只需x＝时的函数值大于等于1，即，
化简得：﹣+3m+2≥1．
解得：（m﹣2）2+8≤0．
∵（m﹣2）2+8≥8，
∴无解．
综上，m≥3．
故答案为：m≥3．
三、解答题.（共有8小题，共72分）
17．【解答】解：（1）∵x2+6x＝﹣4，
∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，
则x+3＝±，
∴，；
（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1；
故答案为：x＝1；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3；
（3）抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）与（3，0）．
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0；
故答案为：﹣1＜x＜3；
（4）由（1）可知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故顶点坐标为（1，4）．当x满足0≤x≤4时，在x＝1时函数在顶点，取到最大值，此时y＝4；当x＝4时离对称轴最远，函数取到最小值，此时y＝﹣42+2×4+3＝﹣5．
∴当x满足0≤x≤4时，y的取值范围为﹣5≤y≤4．
故答案为：﹣5≤y≤4；
19．【解答】解：（1）∵x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，即[﹣2（t﹣1）]2﹣4（t2+3）≥0，
解得：t≤﹣1，
∴t的取值范围是t≤﹣1；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t﹣1）x+t2+3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（t﹣1），x1•x2＝t2+3
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，
∴4（t﹣1）2﹣2（t2+3）＝22，
解得t＝6或t＝﹣2，
∵t≤﹣1；
∴t的值为﹣2．
20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y＝kx+b经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．21．【解答】解：（1）∵A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），
∴AB＝＝5，
AC＝＝5，
BC＝＝2，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图所示，
作法提示：构造△AEC≌△ABC，
找一点E使AE＝AB，EC＝BC；
（3）如图所示，
作法提示，过D作直线垂直AC，交AE于点F，
（4）如图所示，
作法提示：取BC中点N，连接AN，则∠BAN＝，构造△BCG∽△BAN，
∵∠B＝∠B，∠ANB＝90°，
∴∠BGC＝90°，即构造CM⊥AB即可．
22．【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；
（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）＝×100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米；
（3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15，
∵5≤a≤12，
设修建的花圃的造价为y 元，y ＝55.625S ；
当a ＝10时，S 花圃＝80×40＝3200（m 2）；y 花圃＝3200×55.625＝178000（元）， S 通道＝100×60﹣80×40＝2800（m 2）；y 通道＝2800×50＝140000（元），
造价和：178000+140000＝318000（元）．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA ＝DC ，
∵DG ⊥AE 于点G ，且AG ＝GE ，
∴DG 垂直平分AE ，
∴DA ＝DE ，
∴DE ＝DC ．
（2）证明：如图1，作AH ⊥AF 交DF 于点H ，则∠FAH ＝∠AGD ＝90°，
∴AH ∥GD ，
∵DA ＝DE ，DG ⊥AE 于点G ，
∴DG 平分∠ADE ，
∴∠EDG ＝∠ADG ＝∠ADE ，
∵∠CDE 的平分线交直线AE 于F 点，
∴∠EDF ＝∠CDF ＝∠CDE ，
∵∠ADC ＝90°，
∴∠GDF ＝∠EDF ﹣∠EDG ＝（∠CDE ﹣∠ADE ）＝∠ADC ＝45°，
∴∠AHF ＝∠GDF ＝45°，
∴∠AFH ＝∠AHF ＝45°，
∴HA ＝FA ，
∵AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，
∴∠DAH ＝∠BAF ＝90°﹣∠BAH ，
在△DAH 和△BAF 中，
，
∴△DAH ≌△BAF （SAS ），
∴DF﹣FB＝DF﹣HD＝FH，
∵FH＝＝FA，
∴DF﹣FB＝FA．
（3）解：如图2，设AB交DF于点I，
由（2）得∠ADF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BID﹣∠ABF＝∠BID﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，连接CF、BD，取BD的中点L，连接CL、FL，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，
∴BD＝＝＝2，
∵∠BCD＝∠BFD＝90°，
∴CL＝FL＝BD＝，
∵CF≤CL+FL，且CL+FL＝+＝2，
∴CF≤2，
∴CF的最大值为2，
故答案为：2．
24．【解答】解：（1）把点A（﹣3，0），点B（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
BC＝＝，
取BC的中点Q，连接OQ，作OH⊥BC于H，PK⊥x轴于K，如图1，
设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
∴OQ＝BC＝，
∵OH•BC＝•OB•OC，
∴OH＝＝，
∴HQ＝＝，
∵OQ为斜边BC上的中线，
∴QC＝QO，
∴∠QCO＝∠QOC，
∴∠OQH＝∠QCO+∠QOC＝2∠QCO，
∵∠PBA＝2∠BCO，
∴∠OQH＝∠PBA，
∴△PBK∽△OQH，
∴PK：OH＝BK：QH，即（﹣x2﹣4x﹣3）：＝（﹣1﹣x）：，解得x1＝﹣1，x2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
（3）设M（t，﹣t2﹣4t﹣3），
∵M与N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴N（﹣4﹣t，﹣t2﹣4t﹣3），
设直线BM的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣1，0），M（t，﹣t2﹣4t﹣3）代入得，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝（﹣t﹣3）x﹣3﹣t，
∴D（0，﹣3﹣t），
同样可得直线AN的解析式为y＝（1+t）x+t+1，
∴E（0，t+1），
∴OE﹣OD＝﹣t﹣1﹣（﹣t﹣3）＝2．。