2022年山东省青岛市中考数学试卷(真题)(1)

2022年山东省青岛市数学中考试题
一，选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分）
1．（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出π地近似值为355113
,它与π地误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A ．3×10﹣7
B ．0.3×10﹣6
C ．3×10﹣6
D ．3×107
2．（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球地会徽设计方案共4506件,其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中,既是轴对称图形又是中心对称图形地是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3．（3分）（2022•青岛）计算（27―12）×13地结果是（ ）A ．3
3B ．1C ．5D ．3
4．（3分）（2022•青岛）如图①,用一个平面截长方体,得到如图②地几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”地俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）（2022•青岛）如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB上,则∠CME地度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
6．（3分）（2022•青岛）如图,将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转180°,得到△A'B'C',则点A地对应点A'地坐标是（ ）
A．（2,0）B．（﹣2,﹣3）C．（﹣1,﹣3）D．（﹣3,﹣1）7．（3分）（2022•青岛）如图,O为正方形ABCD对角线AC地中点,△ACE为等边三角形．若AB＝2,则OE地长度为（ ）
A．6
2
B．6C．22D．23
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c地图象开口向下,对称轴为直线x＝﹣1,且经过点（﹣3,0）,则下面结论正确地是（ ）
A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
二，填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）
9．（3分）（2022•青岛）―1
2
地绝对值是 ．
10．（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年,我为团旗添光彩”主题演讲比赛,其演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3：4：3地比例确定最终成绩,则小明地最终比赛成绩为 分．
11．（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划,学校举办以“强体质,炼意志”为主题地体育节,小亮报名参加3000米比赛项目,经过一段时长训练后,比赛时小亮地平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程,设小亮训练前地平均速度为x米/分,那么x满足地分式方程为 ．
12．（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔地作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半地菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC地度数是 °．
13．（3分）（2022•青岛）如图,AB是⊙O地切线,B为切点,OA与⊙O交于点C,以点A
为圆心，以OC 地长为半径作EF ,分别交AB ,AC 于点E ,F ．若OC ＝2,AB ＝4,则图中阴影部分地面积为 ．
14．（3分）（2022•青岛）如图,已知△ABC ,AB ＝AC ,BC ＝16,AD ⊥BC ,∠ABC 地平分线交AD 于点E ,且DE ＝4．将∠C 沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下面结论正确地有： ．（填写序号）
①BD ＝8
②点E 到AC 地距离为3
③EM =103
④EM ∥AC
三，作图题（本大题满分4分）用直尺，圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹．
15．（4分）已知：Rt △ABC ,∠B ＝90°．
求作：点P ,使点P 在△ABC 内部．且PB ＝PC ,∠PBC ＝45°．
四，解答题（本大题共10小题,共74分）
16．（8分）（2022•青岛）（1）计算：a ―1
a 2―4a +4÷（1+1a ―2
）。

（2）解不等式组：2x≥3(x―1)，2―
x
2
＜1．
17．（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午,“天宫课堂”第二课开讲,航天员翟志刚，王亚平，叶光富相互配合进行授课,激发了同学们学习航天知识地热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时,均获得了一等奖,学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享,于是两人决定一起做游戏,谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1,2地两个球,乙口袋装有编号为1,2,3,4,5地五个球,两口袋中地球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球,小雪再从乙口袋中随机摸出一个球,若两球编号之和为奇数,则小冰获胜。

若两球编号之和为偶数,则小雪获胜．
请用列表或画树状图地方式,说明这个游戏对双方是否公平．
18．（6分）（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数,m＞0）地图象经过点P （2,4）．
（1）求m地值。

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3地图象与x轴交点地个数,并说明理由．
19．（6分）（2022•青岛）如图,AB为东西走向地滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°地点C 处,观光船到滨海大道地距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时,观光船沿北偏西40°地方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇地正北方向,求观光船从C处航行到D处地距离．
（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cos68°≈
0.37,tan68°≈2.48）
20．（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”是最好地
老师．阅读，书法，绘画，手工，烹饪，运动，音乐…各种爱好是打开创新之门地金钥匙．某校为了解学生爱好情况,组织了问卷调查活动,从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查,其中一项调查内容是学生每周自主发展爱好地时长,对这项调查结果使用画“正”字地方式进行初步统计,得到下表：
学生每周自主发展爱好时长分布统计表
组别时长t
（单位：h）
人数累计人数
第一组1≤t＜2正正正正正正30
第二组2≤t＜3正正正正正正正正正正正正60
第三组3≤t＜4正正正正正正正正正正正正正
正
70
第四组4≤t＜5正正正正正正正正
40
由以上信息,解答下面问题：
（1）补全频数分布直方图。

（2）这200名学生每周自主发展爱好时长地中位数落在第 组。

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图,则第二组地学生人数占调查总人数地百分比为 ,对应地扇形圆心角地度数为 °。

（4）学校倡议学生每周自主发展爱好时长应不少于2h,请你估计,该校学生中有多少人需要增加自主发展爱好时长？
21．（6分）（2022•青岛）【图形定义】
有一款高线相等地两个三角形称为等高三角形，
例如：如图①,在△ABC 和△A 'B 'C '中,AD ,A 'D '分别是BC 和B 'C '边上地高线,且AD ＝A 'D '，则△ABC 和△A 'B 'C '是等高三角形．
【性质探究】
如图①,用S △ABC ,S △A 'B 'C ′分别表示△ABC 和△A ′B ′C ′地面积,
则S △ABC =12BC •AD ,S △A 'B 'C ′=12
B ′
C ′•A ′
D ′,∵AD ＝A ′D ′
∴S △ABC ：S △A 'B 'C ′＝BC ：B 'C '．
【性质应用】
（1）如图②,D 是△ABC 地边BC 上地一点．若BD ＝3,DC ＝4,则S △ABD ：S △ADC ＝ 。

（2）如图③,在△ABC 中,D ,E 分别是BC 和AB 边上地点．若BE ：AB ＝1：2,CD ：BC ＝1：3,S △ABC ＝1,则S △BEC ＝ ,S △CDE ＝ 。

（3）如图③,在△ABC 中,D ,E 分别是BC 和AB 边上地点．若BE ：AB ＝1：m ,CD ：BC ＝1：n ,S △ABC ＝a ,则S △CDE ＝ ．
22．（8分）（2022•青岛）如图,一次函数y ＝kx +b 地图象与x 轴正半轴相交于点C ,与反比例
函数y =―2x
地图象在第二象限相交于点A （﹣1,m ）,过点A 作AD ⊥x 轴,垂足为D ,AD ＝CD ．
（1）求一次函数地表达式。

（2）已知点E （a ,0）满足CE ＝CA ,求a 地值．
23．（8分）（2022•青岛）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE＝EF＝FD,∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE。

（2）连接AE,CF,已知 （从以下两个款件中选择一个作为已知,填写序号）,请判断四边形AECF地形状,并证明你地结论．
款件①：∠ABD＝30°。

款件②：AB＝BC．
（注：假如选择款件①款件②分别进行解答,按第一个解答计分）
24．（10分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10
千克,批发商规定：整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱。

当购买1箱时,批发价
为8.2圆/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2圆．由李大爷地销售经验,这种水果售
价为12圆/千克时,每天可销售1箱。

售价每千克降低0.5圆,每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（圆/千克）与购进数量x（箱）之间地函数关系式。

（2）若每天购进地这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少
箱,才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）（2022•青岛）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝5cm,BC＝3cm,将△ABC
绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD．点P从点B出发,沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s。

同时,点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s．PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时长为t（s）（0＜t＜5）．解答下面问题：
（1）当EQ⊥AD时,求t地值。

（2）设四边形PCDQ地面积为S（cm2）,求S与t之间地函数关系式。

（3）是否存在某一时刻t,使PQ∥CD？若存在,求出t地值。

若不存在,请说明理由．
2022年山东省青岛市数学中考试题
参考结果与试题思路
一，选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分）
1．（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出π地近似值为355113
,它与π地误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A ．3×10﹣7
B ．0.3×10﹣6
C ．3×10﹣6
D ．3×107
【思路】绝对值小于1地正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a ×10﹣n ,与较大数地科学记数法不同地是其所使用地是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零地数字前面地0地个数所决定．
【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7。

故选：A ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小地数,一般形式为a ×10﹣n ,其中1≤|a |＜10,n 为由原数左边起第一个不为零地数字前面地0地个数所决定．
2．（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球地会徽设计方案共4506件,其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中,既是轴对称图形又是中心对称图形地是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【思路】由中心对称图形与轴对称图形地概念进行判断即可．
【解答】解：A ．既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意。

B ．是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意。

C ．既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意。

D．既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不合题意。

故选：C．
【点评】本题考查地是中心对称图形与轴对称图形地概念．轴对称图形地关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合．
3．（3分）（2022•青岛）计算（27―12）×1
3
地结果是（ ）
A．3
3
B．1C．5D．3
【思路】先由二次根式地乘法进行计算,再由二次根式地性质进行计算,最后算减法即可．
【解答】解：（27―12）×1 3
=27×1
3―12×1
3
=9―4
＝3﹣2
＝1,
故选：B．
【点评】本题考了二次根式地混合运算,能正确运用二次根式地运算法则进行计算是解此题地关键．
4．（3分）（2022•青岛）如图①,用一个平面截长方体,得到如图②地几何体,它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”地俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【思路】由从上面看得到地图形是俯视图,可得结果．
【解答】解：图②“堑堵”从上面看,是一个矩形,
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体地三视图,从上面看得到地图形是俯视图．
5．（3分）（2022•青岛）如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB上,则∠CME地度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【思路】由正六边形地性质得出∠COE＝120°,由圆周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：连接OC,OD,OE,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COD＝∠DOE＝60°,
∴∠COE＝2∠COD＝120°,
∴∠CME=1
2
∠COE＝60°,
故选：D．
【点评】本题考查了正六边形地性质，圆周角定理。

熟练掌握正六边形地性质,由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题地关键．
6．（3分）（2022•青岛）如图,将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转180°,得到△A'B'C',则点A地对应点A'地坐标是（ ）
A．（2,0）B．（﹣2,﹣3）C．（﹣1,﹣3）D．（﹣3,﹣1）
【思路】利用平移地性质得出对应点位置,再利用相关原点对称点地性质直接得出结果．【解答】解：由图中可知,点A（﹣2,3）,将△ABC先向右平移3个单位,得坐标为：（1,3）,再绕原点O旋转180°,得到△A'B'C',则点A地对应点A'地坐标是（﹣1,﹣3）．故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换,由题意得出对应点位置是解题关键．7．（3分）（2022•青岛）如图,O为正方形ABCD对角线AC地中点,△ACE为等边三角形．若
AB＝2,则OE地长度为（ ）
A．6
2
【思路】首先利用正方形地性质可以求出AC,然后利用等边三角形地性质可求出OE．【解答】解。

∵四边形ABCD为正方形,AB＝2,
∴AC＝22,
∵O为正方形ABCD对角线AC地中点,△ACE为等边三角形,
∴∠AOE＝90°,
∴AC＝AE＝22,AO=2,
∴OE=2×3=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形地性质,同时也利用了等边三角形地性质,有一定地综合性．8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c地图象开口向下,对称轴为直线x＝﹣1,且经过点（﹣3,0）,则下面结论正确地是（ ）
A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
【思路】由抛物线地开口方向及对称轴位置判断选项A。

由对称轴x＝﹣1及过点（﹣3,0）求出抛物线与x轴地另一个交点,据此来判断选项B。

当x＝1时,二次函数地值y＝a+b+c,据此判断选项C。

由对称轴得出a,b之间地关系,并代入y＝a+b+c中,据此判断选项D．
【解答】解：选项A：∵抛物线开口向下,
∴a＜0．
∵对称轴为直线x＝﹣1,
∴―
b
2a
=―1．
∴b＝2a．
∴b＜0．故选项A错误。

选项B：设抛物线与x轴地另一个交点为（x1,0）,
则抛物线地对称轴可表示为x=1
2
（x1﹣3）,
∴﹣1=1
2
（x1﹣3）,解得x1＝1,
∴抛物线与x轴地两个交点为（1,0）和（﹣3,0）．
又∵抛物线开口向下,
∴抛物线与y轴交于正半轴．
∴c＞0．故选项B错误．
选项C：∵抛物线过点（1,0）．
∴a+b+c＝0．故选项C错误。

选项D：∵b＝2a,且a+b+c＝0,
∴3a+c＝0．故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数地图象与性质,掌握二次函数图象地位置与相关系数地
关系是解题地关键．
二，填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）
9．（3分）（2022•青岛）―12地绝对值是 12　．【思路】计算绝对值要由绝对值地定义求解．第一步列出绝对值地表达式。

第二步由绝对值定义去掉这个绝对值地符号．绝对值地性质,负数地绝对值是其相反数．
【解答】解：|―12|=12
．故本题地结果是12
．【点评】规律总结：一个正数地绝对值是它本身。

一个负数地绝对值是它地相反数。

0地绝对值是0．
10．（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年,我为团旗添光彩”主题演讲比赛,其演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3：4：3地比例确定最终成绩,则小明地最终比赛成绩为 8.3　分．
【思路】利用加权平均数地计算方式可求出结果．
【解答】解：由题意得：
9×3+8×4+8×3
3+4+3=8.3（分）．
故小明地最终比赛成绩为8.3分．
故结果为：8.3．
【点评】本题主要考查加权平均数,熟练掌握加权平均数地计算公式和“权重”地理解是解题地关键．
11．（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划,学校举办以“强体质,炼意志”为主题地体育节,小亮报名参加3000米比赛项目,经过一段时长训练后,比赛时小亮地平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程,设小亮训练前地平均速度为x 米
/分,那么x 满足地分式方程为 3000x
―3000(1+25%)x =3　．【思路】由等量关系：原来参加3000米比赛时长﹣经过一段时长训练后参加3000米比赛时长＝3分钟,依此列出方程即可求解．
【解答】解：依题意有：
3000x ―3000(1+25%)x =3．故结果为：3000x ―3000(1+25%)x =3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是正确理解题意,找出题目中地等量关系,设出未知数,列出方程．
12．（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔地作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半地菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC地度数是　60　°．
【思路】先确定∠BAD地度数,再利用菱形地对边平行,利用平行线地性质即可求出∠ABC 地度数．
【解答】解：如图,
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°,
∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°,
∵BC∥AD,
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°,
故结果为：60．
【点评】本题考查了菱形地性质与学生读题审题地能力,理解题意,准确识图,求出∠BAD 地度数是解题关键．
13．（3分）（2022•青岛）如图,AB是⊙O地切线,B为切点,OA与⊙O交于点C,以点A为圆心，以OC地长为半径作EF,分别交AB,AC于点E,F．若OC＝2,AB＝4,则图中阴影部分地面积为　4﹣π　．
【思路】连接OB,由切线地性质可得∠OBA＝90°,从而可得∠BOA+∠A＝90°,由题意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2,然后利用阴影部分地面积＝△AOB地面积﹣（扇形BOC地面积+扇形EAF地面积）,进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB,
∵AB是⊙O地切线,B为切点,
∴∠OBA＝90°,
∴∠BOA+∠A＝90°,
由题意得：
OB＝OC＝AE＝AF＝2,
∴阴影部分地面积＝△AOB地面积﹣（扇形BOC地面积+扇形EAF地面积）
=1
2
AB•OB―
90π×22
360
=1
2
×4×2﹣π
＝4﹣π,
故结果为：4﹣π．
【点评】本题考查了切线地性质,扇形面积地计算,熟练掌握切线地性质,以及扇形面积地计算是解题地关键．
14．（3分）（2022•青岛）如图,已知△ABC,AB＝AC,BC＝16,AD⊥BC,∠ABC地平分线交AD 于点E,且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下面结论正确地有：　①
④　．（填写序号）
①BD＝8
②点E 到AC 地距离为3
③EM =103
④EM ∥AC
【思路】由等腰三角形地性质即可判断①,由角平分线地性质即可判断②,设DM ＝x ,则EM ＝8﹣x ,结合勾股定理和三角形面积公式进行思路求解,从而判断③,利用锐角三角函数可判断④．
【解答】解：在△ABC 中,AB ＝AC ,BC ＝16,AD ⊥BC ,
∴BD ＝DC =12
BC ＝8,故①正确。

如图,过点E 作EF ⊥AB 于点F ,EH ⊥AC 于点H ,
∵AD ⊥BC ,AB ＝AC ,
∴AE 平分∠BAC ,
∴EH ＝EF ,
∵BE 是∠ABD 地角平分线,
∵ED ⊥BC ,EF ⊥AB ,
∴EF ＝ED ,
∴EH ＝ED ＝4,故②错误。

由折叠性质可得：EM ＝MC ,DM +MC ＝DM +EM ＝CD ＝8,
设DM ＝x ,则EM ＝8﹣x ,
Rt△EDM中,EM2＝DM2+DE2,
∴（8﹣x）2＝42+x2,
解得：x＝3,
∴EM＝MC＝5,故③错误。

设AE＝a,则AD＝AE+ED＝4+a,BD＝8,∴AB2＝（4+a）2+82,
∵S△ABE
S△BDE
=
1
2
AB×EF
1
2
BD×ED
=
1
2
AE×BD
1
2
ED×BD
,
∴AE
ED
=
AB
BD
,
∴a
4
=
AB
8
,
∴AB＝2a,
∴（4+a）2+82＝（2a）2,
解得：a=20
3
或a＝﹣4（舍去）,
∴tan C=AD
DC
=
20
3
+4
8
=
4
3
,
又∵tan∠EMD=ED
DM
=
4
3
,
∴∠C＝∠EMD,
∴EM∥AC,故④正确,
故结果为：①④．
【点评】本题考查解直角三角形,等腰三角形三线合一地性质,角平分线地性质,掌握相关性质定理,正确添加辅助线是解题地关键．
三，作图题（本大题满分4分）用直尺，圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：Rt△ABC,∠B＝90°．
求作：点P,使点P在△ABC内部．且PB＝PC,∠PBC＝45°．
【思路】作∠ABC地角平分线,作BC地垂直平分线,两款线交于点P即可．
【解答】解：①先作出线段BC地垂直平分线EF。

②再作出∠ABC地角平分线BM,EF与BM地交点为P。

则P即为所求作地点．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图,角平分线地定义,线段垂直平分线地性质,解决本题地关键是掌握角平分线和线段垂直平分线地作法．
四，解答题（本大题共10小题,共74分）
16．（8分）（2022•青岛）（1）计算：
a―1
a2―4a+4
÷（1+
1
a―2
）。

（2）解不等式组：2x≥3(x―1)，2―
x
2
＜1．
【思路】（1）先由分式地加法法则计算括号里面地,再把除法转化为乘法,约分即可。

（2）先求出每个不等式地解集,再求出不等式组地解集即可．
【解答】解：（1）原式=
a―1
a2―4a+4
÷
a―2+1
a―2
=
a―1
(a―2)2
•
a―2
a―1
=
1
a―2。

（2）2x≥3(x―1)①2―
x
2
＜1②,
解不等式①得：x≤3,
解不等式②得：x＞2,
∴不等式组地解集为：2＜x≤3．
【点评】本题考查了分式地混合运算,解一圆一次不等式组,掌握分式地混合运算地方式以及一圆一次不等式组地解法是正确解答地关键．
17．（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午,“天宫课堂”第二课开讲,航天员翟志刚，王亚平，叶光富相互配合进行授课,激发了同学们学习航天知识地热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时,均获得了一等奖,学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享,于是两人决定一起做游戏,谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1,2地两个球,乙口袋装有编号为1,2,3,4,5地五个球,两口袋中地球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球,小雪再从乙口袋中随机摸出一个球,若两球编号之和为奇数,则小冰获胜。

若两球编号之和为偶数,则小雪获胜．
请用列表或画树状图地方式,说明这个游戏对双方是否公平．
【思路】先用列表法将所有可能发生地结果列出来,再分别求出小冰获胜和小雪获胜地概率,进行比较即可求解．
【解答】解：所有可能地结果如下：
∴共有10种等可能地结果,其中两球编号之和为奇数地有5种结果,两球编号之和为偶数地有5种结果,
∴P（小冰获胜）=
5
10
=
1
2
,P（小雪获胜）=
5
10
=
1
2
,
∵P（小冰获胜）＝P（小雪获胜）,
∴游戏对双方都公平．
【点评】本题考查列表法,游戏公平性,解题地关键是正确列出所有可能地结果．18．（6分）（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数,m＞0）地图象经过点P （2,4）．
（1）求m地值。

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3地图象与x轴交点地个数,并说明理由．
【思路】（1）将（2,4）代入思路式求解．
（2）由判别式Δ地符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2,4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3,
解得m1＝1,m2＝﹣3,
又∵m＞0,
∴m＝1．
（2）∵m＝1,
∴y＝x2+x﹣2,
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0,
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
【点评】本题考查二次函数地性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数地关系,掌握二次函数与方程地关系．
19．（6分）（2022•青岛）如图,AB为东西走向地滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动,小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°地点C 处,观光船到滨海大道地距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时,观光船沿北偏西40°地方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇地正北方向,求观光船从C处航行到D处地距离．
（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cos68°≈
0.37,tan68°≈2.48）
【思路】过点C作CF⊥DE于F,由∠ACB地正切值可得AB＝496m,则可得BE地长,再由∠D地正弦可得结果．
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F,
由题意得,∠D＝40°,∠ACB＝68°,在Rt△ABC中,∠CBA＝90°,
∵tan∠ACB=AB CB
,
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m）,∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m）,
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°,
∴四边形FEBC为矩形,
∴CF＝BE＝296m,
在Rt△CDF中,∠DFC＝90°,
∵sin∠D=CF CD
,
∴CD≈296
0.64
=462.5（m）,
答：观光船从C处航行到D处地距离约为462.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形地应用,从复杂地实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目地关键．
20．（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”是最好地老师．阅读，书法，绘画，手工，烹饪，运动，音乐…各种爱好是打开创新之门地金钥匙．某校为了解学生爱好情况,组织了问卷调查活动,从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查,其中一项调查内容是学生每周自主发展爱好地时长,对这项调查结果使用画“正”字地方式进行初步统计,得到下表：
学生每周自主发展爱好时长分布统计表
组别时长t人数累计人数
（单位：h ）
第一组
1≤t ＜2正正正正正正30第二组
2≤t ＜3正正正正正正正正正正正正60第三组3≤t ＜4正正正正正正正正正正正正正
正
70第四组4≤t ＜5正正正正正正正正40
由以上信息,解答下面问题：
（1）补全频数分布直方图。

（2
）这200名学生每周自主发展爱好时长地中位数落在第 三　组。

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图,则第二组地学生人数占调查总人数地百分比为 30%　,对应地扇形圆心角地度数为 108　°。

（4）学校倡议学生每周自主发展爱好时长应不少于2h ,请你估计,该校学生中有多少人需要增加自主发展爱好时长？
【思路】（1）由频数分布表可得第三组和第四组地频数,进而补全频数分布直方图。

（2）由中位数地定义解答即可。

（3）用第二组地学生人数除以总人数即可得出第二组地学生人数占调查总人数地百分比,再用其乘360°即可得出对应地扇形圆心角地度数。

（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：
（2）这200名学生每周自主发展爱好时长地中位数落在第三组,
故结果为：三。

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图,则第二组地学生人数占调查总人数地百分比为：60
200
×100%=30%。

对应地扇形圆心角地度数为：360°×30%＝108°,
故结果为：30%。

108。

（4）2200×
30
200
=330（人）,
答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展爱好时长．
【点评】本题考查中位数，频数分布表以及频数分布直方图,掌握频数统计地方式是解决问题地前提,样本估计总体是统计中常用地方式．
21．（6分）（2022•青岛）【图形定义】
有一款高线相等地两个三角形称为等高三角形，
例如：如图①,在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是BC和B'C'边上地高线,且AD＝A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①,用S△ABC,S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′地面积,
则S△ABC=1
2
BC•AD,S△A'B'C′=
1
2
B′C′•A′D′,
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】
（1）如图②,D是△ABC地边BC上地一点．若BD＝3,DC＝4,则S△ABD：S△ADC＝　3：4　。

（2）如图③,在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上地点．若BE：AB＝1：2,CD：BC＝
1：3,S△ABC＝1,则S△BEC＝　1
2
　,S△CDE＝　
1
6
　。

（3）如图③,在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上地点．若BE：AB＝1：m,CD：BC＝
1：n,S△ABC＝a,则S△CDE＝　a
mn
　．
【思路】（1）由等高地两三角形面积地比等于底地比,直接求出结果。

（2）同（1）地方式即可求出结果。

（3）同（1）地方式即可求出结果．
【解答】解：（1）∵BD＝3,DC＝4,
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4,
故结果为：3：4。

（2）∵BE：AB＝1：2,
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2,
∵S△ABC＝1,
∴S△BEC=1 2。

∵CD：BC＝1：3,
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3,
∴S△CDE=1
3
S△BEC=
1
3
×
1
2
=
1
6。

故结果为：1
2
,
1 6。

（3）∵BE：AB＝1：m,
∴S △BEC ：S △ABC ＝BE ：AB ＝1：m ,
∵S △ABC ＝a ,
∴S △BEC =1m
S △ABC =a m 。

∵CD ：BC ＝1：n ,
∴S △CDE ：S △BEC ＝CD ：BC ＝1：n ,
∴S △CDE =1n S △BEC =1n •a m =a mn
,故结果为：a mn
．【点评】此题主要考查了三角形地面积公式,理解等高地两三角形地面积比等于底地比是解本题地关键．
22．（8分）（2022•青岛）如图,一次函数y ＝kx +b 地图象与x 轴正半轴相交于点C ,与反比例
函数y =―2x
地图象在第二象限相交于点A （﹣1,m ）,过点A 作AD ⊥x 轴,垂足为D ,AD ＝CD ．
（1）求一次函数地表达式。

（2）已知点E （a ,0）满足CE ＝CA ,求a 地值．
【思路】（1）将点A 坐标代入反比例函数思路式求出m ,再求得C 点坐标,然后利用待定系数法即可求出一次函数地思路式。

（2）由勾股定理求出AC 地长,再由CE ＝CA 且E 在x 轴上,分类讨论得a 地值．
【解答】解：（1）∵点A （﹣1,m ）在反比例函数y =―2x
地图象上,∴﹣m ＝﹣2,解得：m ＝2,
∴A（﹣1,2）,
∵AD⊥x轴,
∴AD＝2,OD＝1,
∴CD＝AD＝2,
∴OC＝CD﹣OD＝1,
∴C（1,0）
把点A（﹣1,2）,C（1,0）代入y＝kx+b中,―k+b=2
k+b=0,
解得k=―1 b=1,
∴一次函数地表达式为y＝﹣x+1。

（2）在Rt△ADC中,AC=AD2+CD2=22,
∴AC＝CE＝22,
当点E在点C地左侧时,a＝1﹣22,
当点E在点C地右侧时,a＝1+22,
∴a地值为1±22．
【点评】本题考查反比例函数图象上点地坐标特征，待定系数法求一次函数地思路式，勾股定理,熟练掌握反比例函数与一次函数地关系是解答本题地关键．
23．（8分）（2022•青岛）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE＝EF＝FD,∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE。

（2）连接AE,CF,已知　①　（从以下两个款件中选择一个作为已知,填写序号）,请判断四边形AECF地形状,并证明你地结论．
款件①：∠ABD＝30°。

款件②：AB＝BC．
（注：假如选择款件①款件②分别进行解答,按第一个解答计分）。