北京市延庆区2016年中考一模数学试题(含答案)

延庆区2016年毕业考试试卷
初三数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客。

今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动
项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200 000平方米。

将200 000用科学记数法表示应为
A ．20×104
B ．0.20×106
C ．2.0×106
D ．2.0×105
2. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是
A ．点A 与点B
B ．点A 与点D
C ．点B 与点D
D ．点B 与点C
3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸 出1个球，则摸出的球是白球的概率为 A ．
2
1
B ．
3
1
C ．
3
2 D ．
6
1 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为
A ．
B ．
C ．
D ． 5. 若分式
2
1
x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2 C ．1
D ．0
6．如图，在
4×4的正方形网格中，tan α的值等于
A ．2
B ．1
2
C
．5
D ．5
7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ,CD =6,AE =1, 则⊙O 的直径为
A . 6 B.8 C.10 D.12 8．若将抛物线y=
12
x 2
先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新 抛物线的表达式是
A ．21(2)12y x =
+- B ．21
(2)12
y x =-- C ．2
(2)1y x =+- D ．1)2x (2
1y +-=
9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ） B ．（SSS ） C ．（AAS ） D ．（ASA ）
10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，
到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共18分, 每小题3分）
11．分解因式：2
2
an amn 2am +-= . 12.
函数y =x 的取值范围是 .
13. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一
次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为图方便，我们 把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y
图③
图②图①
的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出
来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为： .
14. 如图，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形， 还需补充一个．．条件： .
15. 关于x 的一元二次方程a x 2+bx +4
1
=0有实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值： a =______，b =______．
16. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”， 此图揭示了()n
a b +（n 为非负整数）
的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b ）7的
展开式共有 项， n
a b +（）的展开式共有 项，各项的系数和．．．
是 ．
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分） 17. 计算:
1tan 602-+-
18.已知：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值．
19. 解方程：
5
42332x x x
+=--
20. 解不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<-+≤+.32
1),2(542x x x x 把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.
21. 已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线
3219423
x y x y ⎧⎨
⎩+=+=共有5项共有3项共有2项共有4项各项系数和：4各项系数和：2各项系数和：8
各项系数和：16
(a+b)4 = a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b
4
• • • • • • •
(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
• • • • • • •
• • • • • • •
(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)1=a+b • • • • • • •
641
1
331121111
1
EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2， 求菱形ABCD 的周长．
22. 如图，点P （－3，1）是反比例函数m
y x
=的图象上的 一点．
（1）求该反比例函数的表达式； （2）设直线y kx =与双曲线m
y x
=
的两个交点分别为 P 和P′，当
m
x
＜kx 时，直接写出x 的取值范围．
23. 列方程或方程组解应用题：
食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A 、B 两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 24. 如图，甲船在港口P 的南偏西60︒方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以每小时
15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2
小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到
个位，参考数据：
1.414
≈ 1.732≈ 2.236≈）
25. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．
A
26. 阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联
合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比； （2）求表中a ，b 的值；
（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？
27. 已知：抛物线y=x²+bx+c 经过点A （2，-3）和B （4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G 1，求图象G 1的表达式；
（3）设B 点关于对称轴的对称点为E ，抛物线G 2:y ＝ax 2（a≠0） 与线段EB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围
28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨
-⎪⎩
≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”． 例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．
（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；
② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3
y x
=
的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．
（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；
② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．
（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′
的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．
图2图1
B
29. 阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC ,连接A ’A ,当点A 落在A ’C 上时,此题可解（如图2）．
(1)请你回答：AP 的最大值是 ．
(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt △ABC ．边AB =4,P 为△ABC 内部一点，请写出求AP +BP +CP 的最小值长的解题思路.
提示:要解决AP +BP +CP 的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把⊿ABP 绕B 点逆时针旋转60，得到'
'
BP A . ① 请画出旋转后的图形
② 请写出求AP +BP +CP 的最小值的解题思路（结果可以不化简）
.
图3
()
延庆区2016年毕业考试试卷评分参考
初三数学
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
二、 填空题（本题共18分, 每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第
29题8分）
17. 计算:
1tan 602-+-
1
2
=+分 1
2
=
． …………………………………5分 18. 解：10x -2x 2+5
=-2（x 2 -5x ）+5…………………………………3分 ∵x 2-5x =6，
∴原式 = -7…………………………………5分
19. 解：两边同乘以23x -得
54(23)
x x -=-
…………………………1分
5812
x x -=- 77x =
1x = …………………………4分 检验：1x =时，230x -≠，1x =是原分式方程的解.
∴原方程的解是1x =.
…………………………5分
20. 解：由①得x ≥－2．…………………………………1分 由②得x ＜3． …………………………………2分
不等式组的解集在数轴上表示如下：
分
∴原不等式组的解集为－2≤x ＜3． ………………………………………4分
∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2． ……………………………………5分
21. 解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，
∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ． …………………1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．
∴四边形EFBD 为平行四边形． …………2分 ∴FB = ED =2．…………………………………3分 ∵E 是AD 的中点．
∴AD =2ED =4．…………………………………4分 ∴菱形ABCD 的周长为
4416⨯=．…………………………………5分
22. 解：（1）∵点P （－3,1）在反比例函数k
y x
=
的图象上， 由3
1-=
k
得3-=k . ∴反比例函数的解析式为x
y 3
-
=. ……3分 （2）3-<x 或30<<x . ……………………5分
23. 解：设A 种饮料生产x 瓶，B 种饮料生产y 瓶. ………………………1分
依题意，得⎩⎨
⎧=+=+.
27032,
100y x y x …………………………………3分
解得⎩
⎨
⎧==.70,
30y x …………………………………4分
答：A 种饮料生产30瓶，B 种饮料生产70瓶 ………………………5分 24. 解： 依题意，设乙船速度为每小时x 海里，2小时后甲船在点B 处，
乙船在点C 处，2PC x = …………………………………1分 过P 作PD BC ⊥于Ｄ， …………………………………2分
∴8621556BP =-⨯=
在Rt PDB △中, 90PDB ∠=︒,60BPD ∠=°, ∴cos6028PD PB =⋅︒=……………………3分 在Rt PDC △中，
90PDC ∠=︒，45DPC ∠=︒，
∴cos 4522
PD PC x =⋅︒=⋅=…………………………………4分
∴28=，即20x =≈（海里）．
答：乙船的航行速度为每小时20海里．…………………………………5分
25. （1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA AB ⊥．
∴90BAP ∠=．…………………………………1分
∵ ∠BAC =30，
∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，
∴ PA PC =．…………………………………2分 ∴△PAC 是等边三角形．
∴ 60P ∠=．…………………………………3分
( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．…………………………………4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30，
∴cos 6cos3033AC AB BAC =⋅∠==． 又∵△PAC 是等边三角形，
∴ PA AC == …………………………………5分
26. 解：（1）∵1-28%-38%=34%．
∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．……… 1分
（2）∵1440.062400÷=，
∴24000.25600a =⨯=， ……………………………………………… 2分
84024000.35b =÷=． ……………………………………………… 3分
（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，
∴全校学生总人数为20434%600÷=． ……………………………… 4分 ∴该校学生平均每人读课外书：24006004÷=．
答：该校学生平均每人读4本课外书． ………………………………… 5分
27.解：（1）把A （2，-3）和B （4，5）分别代入y=x²+bx+c 得：3425164b c
b c -=++⎧⎨
=++⎩
，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3. …………………………………2分.
∵y=x²-2x-3=（x-1）2-4.
∴顶点坐标为（1，-4）. …………………………………3分.
（2）∵将抛物线沿x 轴翻折，得到图像G 1与原抛物线图形关于x 轴对称，
∴图像G 1的表达式为：y=-x²+2x +3. ………………………5分. （3）∵B （4，5）,对称轴：X=1
∴B 点关于对称轴的对称点E 点坐标为（-2,5）………………………6分
如图，当G 2过E 、B 点时为临界
代入E （-2,5），则a=
45
代入B （4,5），则a=16
5
∴4
5
a 165〈≤………………………7分
28. 解：（1）①（2，1）；…………………………………………………………………1分
② 点B ．…………………………………………………………………………2分 （2）① M （－1，2）；…………………………………………………………………3分
② 当m +1≥0，即m ≥－1时，由题意得N （m +1，2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=2，
解得m =－2（舍）. ……………………………………………………………4分 当m +1＜0，即m ＜－1时，由题意得N （m +1，－2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=－2，
解得m =－6. ……………………………………………………………………5分 ∴N （－5，－2）．………………………………………………………6分
（3）2≤a
＜……………………………………………………………………7分 29.解：（1）AP 的最大值是：6 ……………………2分
（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+）
或：8sin750 或：8cos150
A
① 图对………………………4分
② 要解决AP+BP+CP 的最小值问题，仿照题目给出的做法.
把⊿ABP 绕B 点逆时针旋转60，得到''BP A ∆.
发现：'BPP ∆和'BAA ∆均为等边三角形，原来的
AP+BP+CP=CP PP P A ++''',根据“两点之间线段最短”，
可知：当'P 和P 都落在线段C A '上时，AP+BP+CP 取得最小值。

………………6分 连接A ’A,P ’P , A ’C,延长CB ，过A ’做AG ⊥CB 于G
∵由做图可知△ABP ≌△A ’B P ’
在Rt △ABC 中,AB=BC, ∠ABC=90°
而A ’B=AB=BC=4, ∠AB A ’=60° ∴∠A ’BG=30°,
∴ A ’G=2,易求GB=32
在Rt △A ’GC 中,利用勾股定理得:AC=31632+………………………8分
其他方法参照给分。