材料成型 第02章上
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凝固过程可以用热力学 函数来描述。 有一类热力学函数，描 述过程状态变化时，与 过程经历的“历程”有 关。比如功，在作纯体 积功时，某容器内气体 由状态1（其压力为P1， 体积为V1），经过不同 路径变到状态2（压力为 P2，体积为V2）。路径 不同时，压力所作的体 积功必然不同。
图2-4： 容器内气体压力做体积功
第二章 材料凝固理论
概括介绍了材料凝固的热力学基础，凝固的形核、生长 及溶质再分配规律 简要论述了共晶合金的凝固特点、材料的凝固方式及凝 固成形的应用
重点： 自发形核与非自发形核的热力学与动力学条件 固液界面生长方式；非平衡杠杆定理；成分过冷判据； 合金凝固方式及 凝固成形的应用 难点： 溶质再分配规律 成分过冷与晶体生长形态 凝固成形的应用
• 从固-液界面微观尺度考虑，可将其自然划分成粗糙界 面和光滑界面。光滑界面也被称作小晶面， 其表面有很多 空位或几乎没有空位，粗糙界面又称作非小晶面，晶体表 面有一半空缺位置时自由能最低，大部分金属属于其类。
图2-16 界面原子角度的差别
需要指出的是，固-液界面的结构，是以原子尺度 为标准划分的。从原子尺度上说是粗糙的，在宏观 上却是“光滑”的；反之，在原子尺度上是光滑的， 从宏观上看却是“粗糙”的，如图2-16，示意界面 原 子角度的差别，图2-17示意了宏观角度界面的差别。
• 形核率：形核率是单位体积中、单位时间内形成的 核心数目。 • ΔT增大，ΔG*下降，形核率I上升。表达式为：
G G A I C exp exp KT KT
式中：K 为波尔兹曼常数， I * Δ T ≈ 0.2T m Δ GA 为扩散激活能。 • 对于一般金属，温度降到 某一程度，达到临界过冷度 （ΔT*），成核率迅速上升， ΔT 计算及实验均表明， ΔT*～0.2Tm左右，可见，均质形核 需要很大的 过冷度。而在这之前，均质形核的形核率随过冷度 的增加几乎始终为零，即不可能发生形核。
状态函数
与过程经历的“历程”无关，只与研究体系所处的 状态有关。这类热力学函数，就是状态函数。如：
内能（U）：物质体系内部所有质点的动能与势能
之和。 焓（H）：体系等压过程热量的变化。 熵（S）：体系热量与温度的比值，是体系混乱程 度的量度，体系越混乱，熵值愈大。 还有两个常用的状态函数，可用于判断体系进行的方向 和限度： Gibbs自由能（G）- 在恒温等压下使用。
2. Gibbs自由能减小判据：
等温等压条件下，一个只做体积功的体系， Gibbs自由能永不增大（或ΔGT,P≤0 ）；自发过 程的方向是使体系的Gibbs自由能降低，当 Gibbs自由能降到极小值时，体系达到平衡。
运用这两个判据，可以判定凝固过程 可否自发进行。
凝固过程一般均在常压下进行，因此多 用： ΔGT,P≤0 或 dG = dH - TdS ≤0 作 为判据。 由于金属凝固过程中 dS<0 ,可见欲使 dG ≤0 成立，必须 dH < 0 , 即：
2G S T 2 T p p
曲线上凸，因此液固相自由能与温度的关系曲线可以示意描
绘成如下图。
由图可以看出，当
金属温度低于Tm时，固 相体积自由能低于液相。
根据Gibbs自由能判据，
金属将发生凝固。此外， 凝固温度比Tm 越低，即：
第二章 材料凝固理论（上）
2.1 2.2 2.3 材料凝固概述 凝固的热力学基础 形核
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
晶体生长
溶质再分配 共晶合金的凝固 金属及合金的凝固方式 凝固成形的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 材料凝固概述
• 凝固是材料成形加工过程中一种非
常重要的物理化学现象。它是将加热到 液态的材料按人们规定的尺寸、形状及 组织形态冷却至固态的过程。简单地说， 凝固就是材料由液相向固相转化的过程。
就构成了凝聚态物质的表面能。
图2-7 为气液界面原子受力作用示意图。界面上 的原子或分子受力不平衡， 因气相原子作用力 大大小于液相，故合力指向物体内部，使界面有 自动缩小的趋势，以减小界面面积。
2. 界面张力：
用小实验来理解界面张力：
在宽度为b的框架内制备一块 均匀的薄膜，并将框架的右侧设 计成可以自由、接近零摩擦的滑 动边。为了保持薄膜的面积不减 小，外部必须作用在框架右侧边 上一个绷紧力F，此力将与薄膜的 弹性张力 （N/m）相平衡， 即： F - · = 0 或： b =F/b 即为液体的界面张力。 如从功和能量转换角度去理解，在外力F作用下使薄膜拉长Δl 时，对薄膜作功从而使薄膜界面能量增加ΔE , ΔE = F · Δl = · ΔA 或： = ΔE / ΔA 即：界面张力在数值上等于单位面积上的表面能（当凝聚相具 有各向同性时）, 方向是使液膜面积减小方向。当薄膜为液膜时 即可理解是表面张力。
界面张力的单位是N/m ，界面能的单位是 J/m2 。
3. 润湿性
液态凝固过程中，同 时存在固、液、气三相。 在三相交汇部位，各界面 张力处于平衡状态，如图 图中液相对固相的润 湿性可以用润湿角θ来描述：
θ较小时，润湿性较好。显然，θ的大小主要 与液固两相间的界面张力LS 有关，而LS 的大小 取决于两相间显微结构的错配度。 LS 越小，润 湿性越好。
*
he
he
ho
*
*
衬底越凹，形成临界晶核所包容的原子数越少， 形核能力越强。 图2-13显示了不同曲率衬底上 形核的情况，由图可知，凸面上形成的晶核原 子数最多，平面次之，凹面上最少。
2.3.4 形 核 剂
• 生产中往往采用形核剂提高金属液的形核能力， 以细化金属晶粒，改善材料性能。形核剂应该 具备下述特点：
过冷度ΔT 越大，两相
体积自由能差越大，凝固驱动力ΔGm越大。在Ｔm 温度附近时有：
ΔGm ≈ ΔＨm － T ΔＳm
而： 故 ΔＳm ≈ ΔＨm ／Ｔm ΔGm ≈ （ΔＨm· ΔT ）／Ｔm = ΔSm · ΔT
2.3.2 自 发 形 核
形核 ： 介稳定液相通过温度起伏，在一些微区 内部形成稳定存在的晶质质点的过程。 可分成自发形核与非自发形核两种形式：
ΔG = ΔGV +ΔGJ = ΔGmV +
V是晶核体积；
LSA
式中：ΔGm — 单位体积固、液自由能差； σLS — 固、液界面张力；若假定晶核为球形，上式可表示为：
式中： r — 晶核球半径；
ΔGm = ΔHm· / Tm ΔT
将一定的物理化学参数代入上式，可得到原子团半径与 吉布斯自由能的ΔG-r 关系曲线
上式中的第一项为负，第二项为正，两项的代数 和必然存在极值。ΔG自达到极大时的值叫临界 形核功ΔG*, 此时的晶核叫临界晶核。 使用极值求解方法得:
式中：r*—— 临界晶核半径； n*自 — 临界晶核的原子数； Vn — 单个原子的体积。 ΔG*（最大值）称为临界形核功，它表示形核过程系统需 克服的能量障碍，即能垒。由最后一式可以看出： • 自发形核的临界形核功等于临界晶核界面能的１/3 。
把体系从不平衡状态自发地移向平衡状 态的过程称为自发过程。在没有外界影 响下，这个过程不可逆转，故自发过程 又叫不可逆过程。
为判别体系的自发过程，有两个判据： 1. Helmholtz自由能最低原理
等温等容条件下，体系的Helmholtz自由能 永不增大或（ΔFT,V≤0 ）；自发过程的方向力图 减小体系的自由能，平衡的标志是体系的 Helmholtz自由能为极小。
Helmholtz自由能（F） - 在恒温定容下使用。
状态函数之间的关系
焓（H）与内能（U）的关系：
H = U + pV
Gibbs自由能（G）、焓（H）和熵（S）的关系：
G = H – TS
或：dGT = dH - TdS
Helmholtz自由能（F）、内能（U）和熵（S） 的关系：
F = U – TS
•
失配度小 —— LS尽可能小
•
•
粗糙度大 —— 以提供凹状基底
分散性好 —— 以提供更多的基底
•
高温稳定性好 —— 避免在熔体中熔
化、分解或与其它元素化合。
2.4 晶体生长
2.4.1 固液界面的结构 2.4.2 晶体生长方式 2.4.3 生长速度
2.4.1 固液界面的结构
形核完成后，紧接着就是生长过程。生长是 通过液相中原子逐个地或若干个原子同时地撞击 到已有晶体表面（液-固界面固相一侧），并且附 着于晶体表面的原子按照晶格点阵规律排布起来， 成为晶体新的部分，使固-液界面不断向液相推移， 固相逐渐增多，液相逐渐减少。 但是，在晶体表面上并不是任意位置都可以 同样容易地接纳这些原子，晶体表面接纳原子的 位置多少与晶体表面的结构有关。晶体表面上有 原子空缺位置，或存在台阶的位置，容易接纳新 的原子，而完全被占满的晶体表面则难以接纳新 的原子。因此，晶体生长过程和固-液界面结构相 关。
•
凝固过程是铸造与熔焊过程中的重
要阶段。
凝固过程中发生的变化：
• 体积改变 • 外形改变 • 产生凝固潜热 • 熵值改变 • 结构改变 • 发生溶质再分配
宏观变化
微观变化
2.2 凝固的热力学基础
2.2.1 状态函数的概念
2.2.2 状态变化的自发性 2.2.3 界面与表面
2.2.1 状态函数的概念
凝固潜热的释放是金属凝固自 发进行的内因或驱动力。
2.2.3 界面张力
1. 界面与表面： 不同物质（或同类物质的不同物态、物相） 之间的接触面称为界面。通常把凝聚相（液相或 固相）与气相的分界面称为表面。 • 凝固过程，涉及到气-液-固界面
对于同一物质的原子，处于不同物态时原子的自由能
G大小不同。处于气态（或自由态）的原子自由能显然高 于凝聚态。当温度不变时，凝聚态的原子只有在获得一定 的气化潜热后，才能升华为高能态的气态原子。 处于凝聚态表面上的原子所具有的自由能G应高于内部 原子，表面原子与内部原子的自由能差ΔG的累加
2.3 形
2.3.1 2.3.2
核
凝固的热力学条件 自发形核
2.3.3
2.3.4
非自发形核
形核剂
2.3.1 凝固的热力学条件
研究为什么凝固可以自发进行?由热力学函数关系， 有下式: dG = Vdp - SdT 金属凝固一般在常压下进行， 上式又可简化成：
G p T
S
由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。又因 为SL＞SS（液态熵大于固态熵），故液态金属随温度上升自 由能G的下降速率大于固态金属。另外可证：
或：dFT = dU – TdS
Gibbs自由能（G）与Helmholtz自由能（F）之 间的关系：
G = pV + F 或：dG = pdV + dF
2.2.2 状态变化的自发性
例1. 两种不同的气体相遇时，将 发生什么现象？ 答案观察图2-5 例2. 温度不同的两个物体接触时， 将发生什么现象？答案观察图2-6
自发形核： 在不借助任何外来界面的均匀熔体中
形核的过程。 非自发形核 ： 在不均匀熔体中，依靠外来杂质 界面或各种衬底形核的过程。
2.3.2 自发形核 1
自发形核的物理化学实质：液体内部出现晶核时，系统Gibbs自由 能变化由固、液两相自由能差ΔGV 和固、液界面能ΔGJ 组成。前 者是相变的驱动力，后者是相变的阻力。系统总Gibbs自由能的变 化为：
2.3.3 非 自 发 形 核
• 如果在液体中存在固相基底，依附现有基底的 非自发形核，可以大大降低临界形核功。假定在平 面衬底上形核见图2-12 ，运用Young‘s方程及球冠 面积与体积计算公式，重新推导非自发形核Gibbs 自由能表达式，求极值后得：
• 式中：
ƒ与θ 的关系图形。
图2-12
因为0 ＜ƒ(θ ) ＜1，非自发形核的 临界形核功小于自发形核的临界形核功。
影响非自发形核能力的因素：
衬底对金属液的润湿性：润湿性越好，形核能力越强。 衬底粗糙度：粗糙度越大，形核能力越强。衬底粗糙度 实际是通 过其曲率及凹向起作用的。 形核率：即单位时间单位体积金属液形成的晶核数。形 核率越高，形核能力越强。
非自发形核率随 过冷度变化而变 θ ' ＞θ " 化，当ΔT达到一 ΔT " I " I ' I 定值后，形核率达 I ΔT ' 最大值，然后下降. ΔT 这是因为夹杂表面 均被占满后，再增 ΔT 大ΔT，非自发形 核率不再增大的缘故。 非均质形核、均质形核过冷度与形核率
图2-4： 容器内气体压力做体积功
第二章 材料凝固理论
概括介绍了材料凝固的热力学基础，凝固的形核、生长 及溶质再分配规律 简要论述了共晶合金的凝固特点、材料的凝固方式及凝 固成形的应用
重点： 自发形核与非自发形核的热力学与动力学条件 固液界面生长方式；非平衡杠杆定理；成分过冷判据； 合金凝固方式及 凝固成形的应用 难点： 溶质再分配规律 成分过冷与晶体生长形态 凝固成形的应用
• 从固-液界面微观尺度考虑，可将其自然划分成粗糙界 面和光滑界面。光滑界面也被称作小晶面， 其表面有很多 空位或几乎没有空位，粗糙界面又称作非小晶面，晶体表 面有一半空缺位置时自由能最低，大部分金属属于其类。
图2-16 界面原子角度的差别
需要指出的是，固-液界面的结构，是以原子尺度 为标准划分的。从原子尺度上说是粗糙的，在宏观 上却是“光滑”的；反之，在原子尺度上是光滑的， 从宏观上看却是“粗糙”的，如图2-16，示意界面 原 子角度的差别，图2-17示意了宏观角度界面的差别。
• 形核率：形核率是单位体积中、单位时间内形成的 核心数目。 • ΔT增大，ΔG*下降，形核率I上升。表达式为：
G G A I C exp exp KT KT
式中：K 为波尔兹曼常数， I * Δ T ≈ 0.2T m Δ GA 为扩散激活能。 • 对于一般金属，温度降到 某一程度，达到临界过冷度 （ΔT*），成核率迅速上升， ΔT 计算及实验均表明， ΔT*～0.2Tm左右，可见，均质形核 需要很大的 过冷度。而在这之前，均质形核的形核率随过冷度 的增加几乎始终为零，即不可能发生形核。
状态函数
与过程经历的“历程”无关，只与研究体系所处的 状态有关。这类热力学函数，就是状态函数。如：
内能（U）：物质体系内部所有质点的动能与势能
之和。 焓（H）：体系等压过程热量的变化。 熵（S）：体系热量与温度的比值，是体系混乱程 度的量度，体系越混乱，熵值愈大。 还有两个常用的状态函数，可用于判断体系进行的方向 和限度： Gibbs自由能（G）- 在恒温等压下使用。
2. Gibbs自由能减小判据：
等温等压条件下，一个只做体积功的体系， Gibbs自由能永不增大（或ΔGT,P≤0 ）；自发过 程的方向是使体系的Gibbs自由能降低，当 Gibbs自由能降到极小值时，体系达到平衡。
运用这两个判据，可以判定凝固过程 可否自发进行。
凝固过程一般均在常压下进行，因此多 用： ΔGT,P≤0 或 dG = dH - TdS ≤0 作 为判据。 由于金属凝固过程中 dS<0 ,可见欲使 dG ≤0 成立，必须 dH < 0 , 即：
2G S T 2 T p p
曲线上凸，因此液固相自由能与温度的关系曲线可以示意描
绘成如下图。
由图可以看出，当
金属温度低于Tm时，固 相体积自由能低于液相。
根据Gibbs自由能判据，
金属将发生凝固。此外， 凝固温度比Tm 越低，即：
第二章 材料凝固理论（上）
2.1 2.2 2.3 材料凝固概述 凝固的热力学基础 形核
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
晶体生长
溶质再分配 共晶合金的凝固 金属及合金的凝固方式 凝固成形的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 材料凝固概述
• 凝固是材料成形加工过程中一种非
常重要的物理化学现象。它是将加热到 液态的材料按人们规定的尺寸、形状及 组织形态冷却至固态的过程。简单地说， 凝固就是材料由液相向固相转化的过程。
就构成了凝聚态物质的表面能。
图2-7 为气液界面原子受力作用示意图。界面上 的原子或分子受力不平衡， 因气相原子作用力 大大小于液相，故合力指向物体内部，使界面有 自动缩小的趋势，以减小界面面积。
2. 界面张力：
用小实验来理解界面张力：
在宽度为b的框架内制备一块 均匀的薄膜，并将框架的右侧设 计成可以自由、接近零摩擦的滑 动边。为了保持薄膜的面积不减 小，外部必须作用在框架右侧边 上一个绷紧力F，此力将与薄膜的 弹性张力 （N/m）相平衡， 即： F - · = 0 或： b =F/b 即为液体的界面张力。 如从功和能量转换角度去理解，在外力F作用下使薄膜拉长Δl 时，对薄膜作功从而使薄膜界面能量增加ΔE , ΔE = F · Δl = · ΔA 或： = ΔE / ΔA 即：界面张力在数值上等于单位面积上的表面能（当凝聚相具 有各向同性时）, 方向是使液膜面积减小方向。当薄膜为液膜时 即可理解是表面张力。
界面张力的单位是N/m ，界面能的单位是 J/m2 。
3. 润湿性
液态凝固过程中，同 时存在固、液、气三相。 在三相交汇部位，各界面 张力处于平衡状态，如图 图中液相对固相的润 湿性可以用润湿角θ来描述：
θ较小时，润湿性较好。显然，θ的大小主要 与液固两相间的界面张力LS 有关，而LS 的大小 取决于两相间显微结构的错配度。 LS 越小，润 湿性越好。
*
he
he
ho
*
*
衬底越凹，形成临界晶核所包容的原子数越少， 形核能力越强。 图2-13显示了不同曲率衬底上 形核的情况，由图可知，凸面上形成的晶核原 子数最多，平面次之，凹面上最少。
2.3.4 形 核 剂
• 生产中往往采用形核剂提高金属液的形核能力， 以细化金属晶粒，改善材料性能。形核剂应该 具备下述特点：
过冷度ΔT 越大，两相
体积自由能差越大，凝固驱动力ΔGm越大。在Ｔm 温度附近时有：
ΔGm ≈ ΔＨm － T ΔＳm
而： 故 ΔＳm ≈ ΔＨm ／Ｔm ΔGm ≈ （ΔＨm· ΔT ）／Ｔm = ΔSm · ΔT
2.3.2 自 发 形 核
形核 ： 介稳定液相通过温度起伏，在一些微区 内部形成稳定存在的晶质质点的过程。 可分成自发形核与非自发形核两种形式：
ΔG = ΔGV +ΔGJ = ΔGmV +
V是晶核体积；
LSA
式中：ΔGm — 单位体积固、液自由能差； σLS — 固、液界面张力；若假定晶核为球形，上式可表示为：
式中： r — 晶核球半径；
ΔGm = ΔHm· / Tm ΔT
将一定的物理化学参数代入上式，可得到原子团半径与 吉布斯自由能的ΔG-r 关系曲线
上式中的第一项为负，第二项为正，两项的代数 和必然存在极值。ΔG自达到极大时的值叫临界 形核功ΔG*, 此时的晶核叫临界晶核。 使用极值求解方法得:
式中：r*—— 临界晶核半径； n*自 — 临界晶核的原子数； Vn — 单个原子的体积。 ΔG*（最大值）称为临界形核功，它表示形核过程系统需 克服的能量障碍，即能垒。由最后一式可以看出： • 自发形核的临界形核功等于临界晶核界面能的１/3 。
把体系从不平衡状态自发地移向平衡状 态的过程称为自发过程。在没有外界影 响下，这个过程不可逆转，故自发过程 又叫不可逆过程。
为判别体系的自发过程，有两个判据： 1. Helmholtz自由能最低原理
等温等容条件下，体系的Helmholtz自由能 永不增大或（ΔFT,V≤0 ）；自发过程的方向力图 减小体系的自由能，平衡的标志是体系的 Helmholtz自由能为极小。
Helmholtz自由能（F） - 在恒温定容下使用。
状态函数之间的关系
焓（H）与内能（U）的关系：
H = U + pV
Gibbs自由能（G）、焓（H）和熵（S）的关系：
G = H – TS
或：dGT = dH - TdS
Helmholtz自由能（F）、内能（U）和熵（S） 的关系：
F = U – TS
•
失配度小 —— LS尽可能小
•
•
粗糙度大 —— 以提供凹状基底
分散性好 —— 以提供更多的基底
•
高温稳定性好 —— 避免在熔体中熔
化、分解或与其它元素化合。
2.4 晶体生长
2.4.1 固液界面的结构 2.4.2 晶体生长方式 2.4.3 生长速度
2.4.1 固液界面的结构
形核完成后，紧接着就是生长过程。生长是 通过液相中原子逐个地或若干个原子同时地撞击 到已有晶体表面（液-固界面固相一侧），并且附 着于晶体表面的原子按照晶格点阵规律排布起来， 成为晶体新的部分，使固-液界面不断向液相推移， 固相逐渐增多，液相逐渐减少。 但是，在晶体表面上并不是任意位置都可以 同样容易地接纳这些原子，晶体表面接纳原子的 位置多少与晶体表面的结构有关。晶体表面上有 原子空缺位置，或存在台阶的位置，容易接纳新 的原子，而完全被占满的晶体表面则难以接纳新 的原子。因此，晶体生长过程和固-液界面结构相 关。
•
凝固过程是铸造与熔焊过程中的重
要阶段。
凝固过程中发生的变化：
• 体积改变 • 外形改变 • 产生凝固潜热 • 熵值改变 • 结构改变 • 发生溶质再分配
宏观变化
微观变化
2.2 凝固的热力学基础
2.2.1 状态函数的概念
2.2.2 状态变化的自发性 2.2.3 界面与表面
2.2.1 状态函数的概念
凝固潜热的释放是金属凝固自 发进行的内因或驱动力。
2.2.3 界面张力
1. 界面与表面： 不同物质（或同类物质的不同物态、物相） 之间的接触面称为界面。通常把凝聚相（液相或 固相）与气相的分界面称为表面。 • 凝固过程，涉及到气-液-固界面
对于同一物质的原子，处于不同物态时原子的自由能
G大小不同。处于气态（或自由态）的原子自由能显然高 于凝聚态。当温度不变时，凝聚态的原子只有在获得一定 的气化潜热后，才能升华为高能态的气态原子。 处于凝聚态表面上的原子所具有的自由能G应高于内部 原子，表面原子与内部原子的自由能差ΔG的累加
2.3 形
2.3.1 2.3.2
核
凝固的热力学条件 自发形核
2.3.3
2.3.4
非自发形核
形核剂
2.3.1 凝固的热力学条件
研究为什么凝固可以自发进行?由热力学函数关系， 有下式: dG = Vdp - SdT 金属凝固一般在常压下进行， 上式又可简化成：
G p T
S
由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。又因 为SL＞SS（液态熵大于固态熵），故液态金属随温度上升自 由能G的下降速率大于固态金属。另外可证：
或：dFT = dU – TdS
Gibbs自由能（G）与Helmholtz自由能（F）之 间的关系：
G = pV + F 或：dG = pdV + dF
2.2.2 状态变化的自发性
例1. 两种不同的气体相遇时，将 发生什么现象？ 答案观察图2-5 例2. 温度不同的两个物体接触时， 将发生什么现象？答案观察图2-6
自发形核： 在不借助任何外来界面的均匀熔体中
形核的过程。 非自发形核 ： 在不均匀熔体中，依靠外来杂质 界面或各种衬底形核的过程。
2.3.2 自发形核 1
自发形核的物理化学实质：液体内部出现晶核时，系统Gibbs自由 能变化由固、液两相自由能差ΔGV 和固、液界面能ΔGJ 组成。前 者是相变的驱动力，后者是相变的阻力。系统总Gibbs自由能的变 化为：
2.3.3 非 自 发 形 核
• 如果在液体中存在固相基底，依附现有基底的 非自发形核，可以大大降低临界形核功。假定在平 面衬底上形核见图2-12 ，运用Young‘s方程及球冠 面积与体积计算公式，重新推导非自发形核Gibbs 自由能表达式，求极值后得：
• 式中：
ƒ与θ 的关系图形。
图2-12
因为0 ＜ƒ(θ ) ＜1，非自发形核的 临界形核功小于自发形核的临界形核功。
影响非自发形核能力的因素：
衬底对金属液的润湿性：润湿性越好，形核能力越强。 衬底粗糙度：粗糙度越大，形核能力越强。衬底粗糙度 实际是通 过其曲率及凹向起作用的。 形核率：即单位时间单位体积金属液形成的晶核数。形 核率越高，形核能力越强。
非自发形核率随 过冷度变化而变 θ ' ＞θ " 化，当ΔT达到一 ΔT " I " I ' I 定值后，形核率达 I ΔT ' 最大值，然后下降. ΔT 这是因为夹杂表面 均被占满后，再增 ΔT 大ΔT，非自发形 核率不再增大的缘故。 非均质形核、均质形核过冷度与形核率