高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系(共39张PPT)
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【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
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它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
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2.对四种命题真假关系的两点说明
(1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中
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有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶
【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由: (1)不内接于圆的四边形的对角不互补. (2)若a+b<0,则a,b至少有一个小于0. 【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命 题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真 命题. (2)“若a+b<0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若 a≥0,b≥0,则a+b≥0”,真命题,所以原命题是真命题.
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提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
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【知识点拨】 1.对四种命题相互关系的两点认识 (1)四种命题中,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、 逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有 对称特征. (2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,记原 命题为a、逆命题为b、否命题为c、逆否命题为d,四种命题中 共有6对命题:a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d.
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【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
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【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x>|y|,所以x>0”.当 y≥0时,x>y;当y<0时,x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x2>1,则 x>1”,是假命题.因为x2>1,所以x<-1或x>1;选项C:它的否命 题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0, 所以是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题 也是假命题.
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【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. 【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能 都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都 是奇数,则a2+b2≠c2”为真命题. ∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2 为奇数,即a2+b2≠c2. ∴原命题的逆否命题为真命题,∴原命题成立.
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3.“若tanθ= 3 ,则θ=60°”的否命题是,Fra bibliotek否命题是
命题(填真、假).
【解析】“若tanθ= 3,则θ=60°”的否命题是 “若tanθ≠ ,则3 θ≠60°”,是真命题. 答案:若tanθ≠ ,则3 θ≠60° 真
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4.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题
二、四种命题的真假关系 1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:
原命题 真 真 _假__ _假__
逆命题 真 _假__ _真__
假
否命题 _真__ 假 真 _假__
逆否命题 _真__ _真__ 假
假
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2.四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为_逆__否__命__题__,它们有相同的真假性. (2)两个命题为_互__逆__命__题__或_互__否__命__题__,其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( )
则p>2-q,………………………………………………………3分 ∴p3 >(2-q)3②,………………………………………………4分 ∴p3+q3>(2-q)3+q3.…………………………………………6分 又(2-q)3+q3 =(8-12q+6q2-q3)+q3…………………………………………8分 =6q2-12q+8 =6(q-1)2+2≥2.③……………………………………………10分
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【解题探究】1.写四种命题的关键是什么?
2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系?
探究提示:
1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题
的条件和结论.
2.一个命题与它的逆否命题同真同假.
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【解析】1.选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真 命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3, 则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命 题.故选B.
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方法二:原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否 命题为“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”. ∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0, ∴m<- 1 ≤0,
4 ∴命题“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
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【拓展提升】判断四种命题之间四种关系的两种方法 方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与 “逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与 “否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
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2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m>0,则x2+xm=0有实数根”的逆否命题也为真.
数,即真命题可能有4个、2个或0个.
(2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆
否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为
证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也
是反证法的一种变通形式.
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类型一 四种命题的相互关系
【典型例题】
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1.下列四个命题:
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类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用 【典型例题】 1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是 (填真、假). 2.判断下列命题的真假,并说明理由: (1)若x2≠9,则x≠3. (2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2.
命题
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【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点? 2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理? 探究提示: 1.命题的条件和结论都是否定的形式. 2.当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.
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∴p3+q3>2, 即p3+q3≠2,…………………………………………………11分 这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. ………………………………………………………………12分
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【失分警示】 29
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【防范措施】 1.正难则反思想的应用 若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆 否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题 的真假来说明原命题的真假. 2.不等式性质的应用 不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问 题时要灵活应用,如本例中由a>b可推出a3>b3(但由a>b不一 定推出a2>b2).
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1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )
A.若m∉M,则n∉M
B.若n∉M,则m∈M
C.若m∉M,则n∈M
D.若n∈M,则m∉M
【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.
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2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象
限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的
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【变式训练】下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )
11
A.0
B.1
C.2
D.3
2.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的
真假.
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【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否 命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原 命题是真命题. 答案:真
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2.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3; 逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题. (2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2; 逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根. 若a>2,则-a<-2,Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)<0, 所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假命题, 所以原命题为假命题.
为
,是
命题(填真、假).
【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为
“10的常用对数是1”,是真命题.
答案:10的常用对数是1 真
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5.写出命题“设x为实数,若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:设x为实数,若x2>0,则x>0,逆命题为假命题; 否命题:设x为实数,若x≤0,则x2≤0,否命题为假命题; 逆否命题:设x为实数,若x2≤0,则x≤0,逆否命题为真命题.
个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
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【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这个 函数是幂函数,假命题. 否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假 命题. 逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数, 真命题.
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【规范解答】等价命题在证明中的应用
【典例】
【条件分析】
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【规范解答】证明原命题的逆否命题成立,
原命题为“若p3+q3=2,则p+q≤2”,
其逆否命题为“若p+q>2,则p3+q3≠2”.
证明如下:……………………………………………………2分
若p+q>2①,
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1.1.3 四种命题间的相互关系
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2
一、四种命题的相互关系
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¬p ¬q
¬q ¬p 3
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思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题 各有两对? 提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各 有两对.
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【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
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它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
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2.对四种命题真假关系的两点说明
(1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中
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有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶
【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由: (1)不内接于圆的四边形的对角不互补. (2)若a+b<0,则a,b至少有一个小于0. 【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命 题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真 命题. (2)“若a+b<0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若 a≥0,b≥0,则a+b≥0”,真命题,所以原命题是真命题.
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提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
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【知识点拨】 1.对四种命题相互关系的两点认识 (1)四种命题中,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、 逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有 对称特征. (2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,记原 命题为a、逆命题为b、否命题为c、逆否命题为d,四种命题中 共有6对命题:a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d.
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【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
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【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x>|y|,所以x>0”.当 y≥0时,x>y;当y<0时,x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x2>1,则 x>1”,是假命题.因为x2>1,所以x<-1或x>1;选项C:它的否命 题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0, 所以是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题 也是假命题.
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【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. 【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能 都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都 是奇数,则a2+b2≠c2”为真命题. ∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2 为奇数,即a2+b2≠c2. ∴原命题的逆否命题为真命题,∴原命题成立.
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3.“若tanθ= 3 ,则θ=60°”的否命题是,Fra bibliotek否命题是
命题(填真、假).
【解析】“若tanθ= 3,则θ=60°”的否命题是 “若tanθ≠ ,则3 θ≠60°”,是真命题. 答案:若tanθ≠ ,则3 θ≠60° 真
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4.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题
二、四种命题的真假关系 1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:
原命题 真 真 _假__ _假__
逆命题 真 _假__ _真__
假
否命题 _真__ 假 真 _假__
逆否命题 _真__ _真__ 假
假
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2.四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为_逆__否__命__题__,它们有相同的真假性. (2)两个命题为_互__逆__命__题__或_互__否__命__题__,其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( )
则p>2-q,………………………………………………………3分 ∴p3 >(2-q)3②,………………………………………………4分 ∴p3+q3>(2-q)3+q3.…………………………………………6分 又(2-q)3+q3 =(8-12q+6q2-q3)+q3…………………………………………8分 =6q2-12q+8 =6(q-1)2+2≥2.③……………………………………………10分
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【解题探究】1.写四种命题的关键是什么?
2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系?
探究提示:
1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题
的条件和结论.
2.一个命题与它的逆否命题同真同假.
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【解析】1.选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真 命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3, 则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命 题.故选B.
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方法二:原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否 命题为“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”. ∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0, ∴m<- 1 ≤0,
4 ∴命题“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
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【拓展提升】判断四种命题之间四种关系的两种方法 方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与 “逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与 “否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
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2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m>0,则x2+xm=0有实数根”的逆否命题也为真.
数,即真命题可能有4个、2个或0个.
(2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆
否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为
证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也
是反证法的一种变通形式.
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类型一 四种命题的相互关系
【典型例题】
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1.下列四个命题:
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类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用 【典型例题】 1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是 (填真、假). 2.判断下列命题的真假,并说明理由: (1)若x2≠9,则x≠3. (2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2.
命题
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【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点? 2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理? 探究提示: 1.命题的条件和结论都是否定的形式. 2.当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.
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∴p3+q3>2, 即p3+q3≠2,…………………………………………………11分 这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. ………………………………………………………………12分
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【失分警示】 29
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【防范措施】 1.正难则反思想的应用 若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆 否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题 的真假来说明原命题的真假. 2.不等式性质的应用 不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问 题时要灵活应用,如本例中由a>b可推出a3>b3(但由a>b不一 定推出a2>b2).
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1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )
A.若m∉M,则n∉M
B.若n∉M,则m∈M
C.若m∉M,则n∈M
D.若n∈M,则m∉M
【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.
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2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象
限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的
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【变式训练】下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )
11
A.0
B.1
C.2
D.3
2.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的
真假.
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【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否 命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原 命题是真命题. 答案:真
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2.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3; 逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题. (2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2; 逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根. 若a>2,则-a<-2,Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)<0, 所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假命题, 所以原命题为假命题.
为
,是
命题(填真、假).
【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为
“10的常用对数是1”,是真命题.
答案:10的常用对数是1 真
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5.写出命题“设x为实数,若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:设x为实数,若x2>0,则x>0,逆命题为假命题; 否命题:设x为实数,若x≤0,则x2≤0,否命题为假命题; 逆否命题:设x为实数,若x2≤0,则x≤0,逆否命题为真命题.
个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
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【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这个 函数是幂函数,假命题. 否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假 命题. 逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数, 真命题.
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【规范解答】等价命题在证明中的应用
【典例】
【条件分析】
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【规范解答】证明原命题的逆否命题成立,
原命题为“若p3+q3=2,则p+q≤2”,
其逆否命题为“若p+q>2,则p3+q3≠2”.
证明如下:……………………………………………………2分
若p+q>2①,
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1.1.3 四种命题间的相互关系
1
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2
一、四种命题的相互关系
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¬p ¬q
¬q ¬p 3
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思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题 各有两对? 提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各 有两对.
4
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