广东省清远盛兴中英文学校2012届高三11月月考(数学理)

盛兴中英文学校高中部2011---2012学年度第一学期
十一月月考高三年级 理科 数学试题 11月28
考试时间 120分钟 满分150分
一、选做题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{24},{3782},P x x Q x x x =≤<=-≥-集合则=⋂Q P （ ） （A ） {34x x ≤<} （B ） {34x x <<} （C ） {24x x ≤<} （D ） {2x x ≥} 2、已知p 、q 为命题，命题“⌝
(p 或q)”为假命题，则 ( ) A.p 真且q 真 B. p ，q 中至少有一真 C. p 假且q 假 D.p ，q 中至少有一假 3、若函数1
()21
x
f x =
+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 4已知p ：关于x 的不等式022
>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ， 则p 是q 的 （ ）条件
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．既非充分又非必要
D ．充分必要 5、已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1，其前n 项和为S n ，则数列{
n
S n
}的前10项和为 A.120 B.70 C.75 D.100
6．设,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z x y =+的最大值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
7、函数y ＝f （x ）在定义域（－3
2
，3）内的图像
如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为 （ ）
A ．[－1
3，1]∪[2，3）
B ．[－1，12]∪[43，8
3
]
C ．[－32，12]∪[1，2）
D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[4
3
，3）
8、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ），
1412A A A A μ=（μ∈R ），且,211=+μ
λ，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点
C ，
D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ． C 可能是线段AB 的中点 B ． D 可能是线段AB 的中点 C ． C ，D 可能同时在线段AB 上
D ． C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
9、已知→→21,e e 是夹角为
3
2π的两个单位向量，,,22121→
→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→
→b a ，则k
的值为 .
10、已知ABC ∆的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则=∆ABC S
11、如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 12、以初速度40m
s
,垂直向上抛一物体，t 时刻的速度（v 的单位是m
s
）为4010v t =-，
则该物体达到最大高度为 .米 13、设函数()2
+=
x x
x f ，()0>x 观察 ()()2
1+=
=x x x f x f ()()43)(12+==x x
x f f x f
()()()8723+==x x x f f x f
()()()16
1534+=
=x x
x f f x f ……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当()()()==≥∈-x f f x f n N n n n 12,时，且
14、（坐标系与参数方程选做题）
已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ
θπθ⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩和
25()4x t
t R y t ⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．
15、（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB =
三．解答题：（本大题共6小题，共80分。

解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）已知函数())cos()(0)2
f x x x π
ωωπω=-++>图像的相
邻两条对称轴之间的距离等于π。

（1）求()f x 的表达式；（要写出推导过程）
（2）若B 是直角三角形ABC 的内角，求()f B 的值域。

17.（本小题满分13分）数列{}n a 的前n 项和为)(+∈N n S n ，点),(n n S a 在直线
n x y 32-=．
⑴求数列}{n a 的通项公式；
⑵ 数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
18、（本小题满分13分）已知函数)1ln(2)(2
x ax x f -+=（a 为实数）. （I ）若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值；
（II ）若)(x f 在[32]--，
上是增函数，求a 的取值范围.
19.（本小题满分14分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与促销费用m 万元（0m ≥）满足31
k
x m =-
+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。

已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品的年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。

（1）将2010年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20、（本小题满分14分） 已知x x f m log )(=（m 为常数，m>0且1≠m ） 设))((,),(),(21+∈N n a f a f a f n 是首项为4，公差为2的等差数列. （1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）若()n n n a f a b =，且数列{b n }的前n 项和n S ，当2=
m 时，求n S
（3）若=n C lg n n a a ，问是否存在m ，使得{}n C 中每一项恒小于它后面的项？
若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.
21（本小题满分14分）已知函数1
()ln ,()()(1)()f x e x g x f x x e e
==-+为自然对数。

（1）求函数()g x 的极大值；
（2）1111*231()n
e
n n N ++++>+∈…求证：
（3）对于函数()()f x h x 与定义域上的任意实数x ，若存在常数k b 、，使得
()()f x kx b h x kx b ≤+≥+和都成立，则称直线y kx b =+为函数()()f x h x 与的分界线。

设2
1()2
h x x =
，试探究函数()()f x h x 与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k b 、的值；若不存在，请说明理由
盛兴中英文学校高中部2011---2012学年度第一学期
十一月月考高三年级 理科 数学 答案
9、 45
10、 315 11、 15 12、80 13、(21)2n n
x x -+
14、
(1,
)
5 15三、解答题：
16．解：（1）)cos()2
cos(3)(πωπ
ω++-=x x x f =x x ωωcos sin 3- ------2分
（每个诱导公式1分） =)cos 2
1
sin 23(
2x x ωω- ----------3分 )6
sin(2π
ω-
=x ----------4分
由条件有,2,2
1
ππ=∴=T T ----------5分
1,22=∴=∴
ωπω
π
----------6分
)6
sin(2)(π
-=∴x x f ----------7分
（2） 由条件2
0π≤<B ----------1分 3
6
2
6
6
π
π
π
π
π
=
-
≤
-
<-∴B ----------2分
2
3
)6sin(21≤
-<-
∴πB ----------3分 3)(1≤<-∴B f ----------4分
)(B f ∴的值域是]3,1(-． ----------5分
17、【解析】⑴由题意知)1(32,3211+-=-=++n a S n a S n n n n
，
得1
23n n a a +=+， ………………3分
32111-==a S a ，∴31=a ，由⑴知：112)3(3-⋅+=+n n a a
)(323+∈-⨯=∴N n a n n ……………………6分
（2）设存在S ，P ，r *
,,,s p r N
S P r a a a ∈<<且使成等差数列,……7分
r s p a a a +=∴2 即 )323()323()323(2-⋅+-⋅=-⋅r s p
s r s p r
s p -+-++=∴+=∴21222211 （＊） …………10分 因为s 、p 、r *
2122p r s N s p r
-+-∈<<∴且、为偶数
1+2
r s
-为奇数，（＊）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．…………13分
18. （I ）解：由已知得f x ()的定义域为()-∞，1
又f x ax x
'()=-
-221 ……3分
∴由题意得f a '()-=--=1210 ∴=-
a 12
……5分
（II ）解：依题意得
f x '()>0对x ∈--[]32，恒成立，∴2-->ax x
2
10 ……7分
∴>
-<-+=--+
2211
1
1214
2
2ax x a x x
x ，() ……9分
x x ∈--∴--+[]()3212142，，的最大值为---+=-()2121
4
62
∴--+
112142()x 的最小值为-1
6 ……11分
又因a =-1
6时符合题意
∴≤-a 1
6
为所求
……13分 19．解：（1）由题意知，当m=0时，x=1，∴1=3-k ，即k=2，∴x=1
2
3+-m ……2分
每件产品的销售价格为1.5×816x
x
+ （万元），…………3分
∴利润函数y=x[1.5× 816x x +]-（8+16x+m ）=4+8x-m=4+8（3- 2
1
m +）-m
=-[ 161
m ++（m+1）]+29（m ≥0）．………………7分
（2）因为利润函数y=-[ 16
1m ++（m+1）]+29（m ≥0），
所以，当m ≥0时， 16
1
m ++（m+1）≥
=8，…………11分
∴y ≤-8+29=21，当且仅当16
1
m + =m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．……13分
所以，该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．……14分
20解：（Ⅰ）由题意,22)1(24)(+=-+=n n a f n 即,22log +=n a n m
∴2
2+=n n m a …………2分
∴2
2
22)1(21m m
m a a n n n n ==++++ ∵m>0且1≠m ，∴m 2为非零常数，
∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2
为公比的等比数列 …………4分
（Ⅱ）由题意22222
2)22(log )(+++⋅+===n n m n n n n m n m m
a f a
b ， 当212)1(2)22(2++⋅+=⋅+==
n n n n n b m 时，
∴2
5432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ① …………6分
①式两端同乘以2，得
326542)1(22423222++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ② …………7分
②－①并整理，得
3265432)1(222222++⋅++-----⋅-=n n n n S
32
5
4
3
3
2)1(]2
222[2++⋅++++++--=n n n
=3332)1(2
1]
21[22+⋅++---
-n n n 3
3
3
2
)1()21(22+⋅++-+-=n n
n n n ⋅=+32 …10分
（Ⅲ）由题意 22
lg (22)lg n n n n c a a n m
m +==+⋅ 要使n n c c <-1对一切2≥n 成立，即 m m n m n lg )1(lg 2
⋅⋅+<对一切 2≥n 成立， ①当m>1时， 2)1(2
≥+<n m n n 对成立； …………12分 ②当0<m<1时，2)1(m n n +>
∴221m m n ->对一切 2≥n 成立，只需212
2
<-m
m ， 解得 3636<<-
m ， 考虑到0<m<1， ∴0<m<.3
6
综上，当0<m<
3
6
或m>1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项. ………14分。