湖北省宜昌市部分示范高中联考2016届高中三年级(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年省市部分示高中联考高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={1，2，3}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）
A．{1} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
2．若P：2x＞1，Q：lgx＞0，则P是Q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则的值是（）
A．B．9 C．﹣9 D．﹣
4．要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象沿x轴（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
5．函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为（）A．B．C．D．
6．f（x）=3x+3x﹣8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.25≈3.9，31.5≈5.2．A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
7．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）
A．B．C．0 D．1
8．已知sinθ+cosθ=，
，则sinθ﹣cosθ的值为（ ） A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
9．函数f （x ）=的单调递增区间是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣∞，0）
10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）
A ．240（
﹣1）m B ．180（﹣1）m C ．120（﹣1）m D ．30（+1）m
11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）=f （x+2），当x ∈[3，4]时，f （x ）=x ﹣2，则（ ）
A ．f （sin ）＜f （cos ）
B ．f （sin ）＞f （cos ）
C ．f （sin1）＜f （cos1）
D ．f （sin ）＞f （cos ）
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为狄
利克雷函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题：
①f（f （x ））=0；②函数f （x ）是偶函数；③任意一个非零有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形． 其中真命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数y=（m 2﹣m ﹣1）是幂函数，且在x ∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=．
14．曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的方程为．
15．求值：
=．
16．角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限的点P ，且tanα=﹣；角β的顶点在坐标原点O ，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点Q ，且tanβ=﹣2．对于以下结论：
①P（﹣，﹣）；
②|PQ|2=； ③cos∠POQ=﹣；
④△POQ 的面积为．
其中所有正确结论的序号有．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．设命题p ：函数y=lg （x 2﹣2x+a ）的定义域是R ，命题q ：y=（a ﹣1）x 为增函数，如果命题“p∨q”为真，而命题“p∧q”为假，数a 的取值围．
18．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）+B ，A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜
在某一个周期的图
象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0 π 2π x
x 1 x 2 x 3 Asin （ωx+ϕ）+B 0 0 ﹣ 0 （Ⅰ）请求出上表中的x 1、x 2、x 3，并直接写出函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）将f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数g （x ），当x ∈[0，4]时其图象的最高点和最低点分别为P ，Q ，求与夹角θ的大小．
19．铁路运输托运行，从甲地到乙地，规定每客票托运费计算方法为：行质量不超过50kg ，按0.25元/kg 计算；超过50kg 而不超过100kg 时，其超过部分按0.35元/kg 计算，超过100kg 时，其超过部分按0.45元/kg 计算．设行质量为xkg ，托运费用为y 元．
（Ⅰ）写出函数y=f （x ）的解析式；
（Ⅱ）若行质量为56kg ，托运费用为多少？
20．已知，，记函数．
（1）求函数f （x ）的周期与f （x ）的最大值和最小值；
（2）求f （x ）在[0，π]上的单调递增区间．
21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个角A ，B ，C 的对边，acosC+
asinC ﹣b ﹣c=0
（1）求A 的大小
（2）若a=2，b=
，求△ABC 的面积．
22．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=f （x ）+ax 2﹣3x
（1）若函数g （x ）的图象在点（1，g （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（2）若a ＞0，讨论函数g （x ）的单调性；
（3）设斜率为k 的直线与函数f （x ）的图象交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜x 2，求证：
．
2015-2016学年省市部分示高中联考高三（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={1，2，3}，B={x|x=2k+1，k ∈Z}，则A∩B=（ ）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{1，3}
D ．{1，2，3}
[考点]交集与其运算．
[专题]集合．
[分析]由A与B，求出两集合的交集即可．
[解答]解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，
∴A∩B={1，3}，
应选：C．
[点评]此题考查了交集与其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．
2．若P：2x＞1，Q：lgx＞0，则P是Q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[考点]必要条件、充分条件与充要条件的判断．
[专题]简易逻辑．
[分析]根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．[解答]解：关于p：由2x＞1，解得：x＞0，
关于q：由lgx＞0，解得：x＞1，
令A={x}x＞0}，B={x|x＞1}，
则B⊊A，
即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
应选：B．
[点评]此题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．
3．已知函数，则的值是（）A．B．9 C．﹣9 D．﹣
[考点]函数的值．
[分析]由已知条件利用分段函数的性质求解．
[解答]解：∵，
∴f（）==﹣2，
∴=3﹣2=．
故答案为：．
应选：A ．
[点评]此题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
4．要得到函数y=cos2x 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象沿x 轴（ ）
A ．向右平移
个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位
[考点]函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
[专题]综合题．
[分析]先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x 到函数y=cos2x 的路线，即可得到选项． [解答]解：函数y=cos2x=sin （2x+
），所以只需把函数y=sin2x 的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=sin （2x+）=cos2x 的图象． 应选B ．
[点评]此题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．
5．函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）在区间[0，2]上的最大值比最小值大，则a 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． [考点]指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
[专题]函数的性质与应用．
[分析]根据指数函数为单调函数，故函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）在区间[0，2]在区间[1，2]上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案．
[解答]解：∵函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）在区间[0，2]上为单调递减函数，
∴f（x ）max =f （0）=1，f （x ）min =f （2）=a 2，
∵最大值比最小值大，
∴1﹣a2=，
解得a=
应选：A．
[点评]此题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键
6．f（x）=3x+3x﹣8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.25≈3.9，31.5≈5.2．A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
[考点]二分法求方程的近似解．
[专题]函数的性质与应用．
[分析]分别求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，能求出零点落在哪个区间．
[解答]解：：因为f（1）=3+2﹣8=1＞0，
f（1.25）=31.25+3×1.25﹣8≈3.9+3.75﹣8=﹣0.35＜0，
f（1.5）=31.5+3×1.5﹣8≈5.2+4.5﹣8=1.7＞0，
f（2）=32+3×2﹣8=7＞0，
所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）．
应选：B．
[点评]此题主要考查函数零点区间的判断，是基础题，解题时要注意零点存在性定理的合理运用．
7．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）
A．B．C．0 D．1
[考点]余弦定理．
[专题]三角函数的求值．
[分析]已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．
[解答]解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，
设a=3k，b=4k，c=5k，
由余弦定理得：cosA===．
应选：B．
[点评]此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解此题的关键．
8．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
[考点]同角三角函数基本关系的运用．
[专题]三角函数的求值．
[分析]由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣
，计算求得结果．
[解答]解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，
∴2sinθcosθ=．
∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
应选：B．
[点评]此题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．9．函数f（x）=的单调递增区间是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）
[考点]对数函数的单调区间．
[专题]计算题．
[分析]根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即u=x2﹣2x的单调减区间．
[解答]解：函数f（x）=的定义域为：[2，+∞）∪（﹣∞，0），设，函
数的单调增区间即u=x2﹣2x的单调减区间，
u=x2﹣2x的单调减区间为（﹣∞，0）．
应选D．
[点评]此题考查了复合函数的单调性，遵循同增异减原则．
10．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）
A．240（﹣1）m B．180（﹣1）m C．120（﹣1）m D．30（+1）m
[考点]解三角形的实际应用；余弦定理的应用．
[专题]解三角形．
[分析]由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB 的长度，作差后可得答案．
[解答]解：如图，
由图可知，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（）m．
应选：C．
[点评]此题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．
11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）
C ．f （sin1）＜f （cos1）
D ．f （sin ）＞f （cos ）
[考点]奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．
[专题]证明题；压轴题；探究型．
[分析]观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．
[解答]解：x ∈[3，4]时，f （x ）=x ﹣2，故偶函数f （x ）在[3，4]上是增函数，
又定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）=f （x+2），故函数的周期是2
所以偶函数f （x ）在（﹣1，0）上是增函数， 所以f （x ）在（0，1）上是减函数，
观察四个选项A 中sin ＜cos ，故A 不对；
B 选项中sin ＞cos ，故B 不对；
C 选项中sin1＞cos1，故C 对；
D 亦不对．
综上，选项C 是正确的．
故应选C ．
[点评]此题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为
狄利克雷函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题：
①f（f （x ））=0；②函数f （x ）是偶函数；③任意一个非零有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形． 其中真命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 [考点]分段函数的应用．
[专题]空间位置关系与距离．
[分析]①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣
，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．
[解答]解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0，
∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1， 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①不正确； 接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=﹣f （x ），故②正确；
③若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确； ④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=
，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，
∴A（
，0），B （0，1），C （﹣
，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．
即真命题的个数是3个， 应选：B ．
[点评]此题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．函数y=（m 2﹣m ﹣1）是幂函数，且在x ∈（0，+∞）上是减函数，则实数m= 2 ．
[考点]幂函数的性质． [专题]综合题．
[分析]由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x ∈（0，+∞）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件． [解答]解：由题设条件与幂函数的定义知
由①解得m=2，或m=﹣1，代入②验证知m=﹣1不合题意 故m=2 故答案为2
[点评]此题考点是幂函数的性质，考查对幂函数定义的理解与把握，幂函数的定义为：形如y=a x （a ＞0且a≠1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征．
14．曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的方程为 x ﹣ey=0 ．
[考点]利用导数研究曲线上某点切线方程．
[专题]计算题．
[分析]由y=lnx，知，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程．
[解答]解：∵y=lnx，∴，
∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，
曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：
y﹣1=），
整理，得x﹣ey=0．
故答案为：x﹣ey=0．
[点评]此题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．
15．求值： = 1 ．
[考点]两角和与差的正切函数．
[专题]三角函数的求值．
[分析]由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．
[解答]解： =
==1，
故答案为：1．
[点评]此题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
16．角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限的点P，且tanα=﹣；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点Q，且tanβ=﹣2．对于以下结论：
①P（﹣，﹣）；
②|PQ|2=；
③cos∠POQ=﹣；
④△POQ的面积为．
其中所有正确结论的序号有①②④．
[考点]三角函数线．
[专题]三角函数的求值．
[分析]利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题①；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；
把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；
直接由面积公式求值，然后判断真假．
[解答]解：如图，
对于①，由tanα=﹣，得，
∴．
又，
且，
解得：．
设P（x，y），
∴x=，．
∴P（）．命题①正确；
对于②，由tanβ=﹣2，得，
又sin2β+cos2β=1，且，
解得：．
∴Q（）．
∴|PQ|2==．命题②正确；
对于③，cos∠POQ=cos（）=﹣sin（α﹣β）
=﹣sinαcosβ+cosαsinβ==．命题③错误；
对于④，由③得：sin∠POQ=，
∴．命题④正确．
∴正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
[点评]此题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式与同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．设命题p：函数y=lg（x2﹣2x+a）的定义域是R，命题q：y=（a﹣1）x为增函数，如果命题“p∨q”为真，而命题“p∧q”为假，数a的取值围．
[考点]复合命题的真假．
[专题]简易逻辑．
[分析]分别求出关于p，q成立的a的围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．[解答]解：对于命题p：函数的定义域是R，
∴x2﹣2x+a＞0在R上恒成立，
∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1；
对于命题q：y=（a﹣1）x为增函数，只需a﹣1＞1，解得：a＞2，
又∵命题“p∨q”为真，而命题“p∧q”为假，
∴命题p与命题q一真一假，
，
，
综上所述，实数a的取值围为（1，2]．
[点评]此题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．
18．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）+B ，A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜在某一个周期的图
象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0
π
2π x
x 1 x 2 x 3 Asin （ωx+ϕ）+B
﹣
（Ⅰ）请求出上表中的x 1、x 2、x 3，并直接写出函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）将f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数g （x ），当x ∈[0，4]时其图象的最高点和最低点分别为P ，Q ，求
与
夹角θ的大小．
[考点]函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象． [专题]三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量与应用．
[分析]（1），由
，解得x 1、x 2、x 3的值，再求得A ，B
即可得解函数f （x ）的解析式． （2）根据三角函数图象变换规律可得：，求得图象的最高点和最低点P ，Q 的坐标，
可得向量
与
坐标，由平面向量的数量积运算即可求得夹角θ的大小．
[解答]解：（1）（2′）
∴，
∴，，（5′）
又∵
，
；（6′）
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后得到（8′）
故最高点为，最低点为．
则，，则（10′）
故．（12′）
[点评]此题主要考查了五点法作正弦函数的图象，三角函数的图象变换规律，考查了平面向量与其应用，熟练掌握和灵活应用相关公式与定理是解题的关键，属于中档题．
19．铁路运输托运行，从甲地到乙地，规定每客票托运费计算方法为：行质量不超过50kg，按0.25元/kg 计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行质量为xkg，托运费用为y元．
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若行质量为56kg，托运费用为多少？
[考点]分段函数的应用．
[专题]应用题；函数的性质与应用．
[分析]（Ⅰ）对x讨论，若0＜x≤50，若50＜x≤100，若x＞100，求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）对自变量的围考虑，选择第二段，代入计算即可得到托运费．
[解答]解：（Ⅰ）（1）若0＜x≤50，
则y=0.25x；
（2）若50＜x≤100，则y=12.5+0.35（x﹣50）=0.35x﹣5；
（3），则y=30+0.45（x﹣100）=0.45x﹣15．
综上可得，y=；
（Ⅱ）因为50kg＜56kg≤100kg，
所以y=12.5+6×0.35=14.6（元）．
则托运费为14.6元．
[点评]此题考查分段函数与运用，主要考查分段函数的解析式的求法和运用，属于基础题．
20．已知，，记函数．
（1）求函数f（x）的周期与f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
[考点]两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦；三角函数的周期性与其求法；复合三角函数的单调性．
[专题]计算题；三角函数的图像与性质．
[分析]（1）根据平面向量的数量积的运算法则列出f（x）的解析式，利用同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，再利用两角和的正弦函数公式与特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（2）由第一问确定出的f（x），根据正弦函数的单调递增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间．
[解答]解：因为，，
所以=+sin2x+4cos2x
=+sin2x
=
=
=5sin（2x+）+，
∴T=．
当x∈{}时，f（x）的最大值为．
当x∈{}时，f（x）的最小值为．
（2）f（x）的单调增区间为：，
∴，
令k=0，∴，
k=1，∴．
f（x）在[0，π]上的单调递增区间：．
[点评]此题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的周期与其求法，三角函数的最值，以与正弦函数的单调性．利用平面向量的数量积的运算法则与三角函数的恒等变换确定出f（x）的解析式是解此题的关键．
21．已知a，b，c分别为△ABC三个角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0
（1）求A的大小
（2）若a=2，b=，求△ABC的面积．
[考点]正弦定理；余弦定理．
[专题]解三角形．
[分析]（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形角和定理化简已知等式可得sin（A﹣30°）=，结合A的围即可得解A的值．
（2）由余弦定理可解得c的值，利用三角形面积公式即可得解．
[解答]（此题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，
⇒sinAcosC﹣sinAsinC=sinB+sinC
⇒sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC
⇒sinA﹣cosA=1
⇒sin（A﹣30°）=
⇒A﹣30°=30°
⇒A=60°，…
（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴4=3+c2﹣2c×，解得：c=，
∵c＞0，
∴c=…
==…
∴S
△ABC
[点评]此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形角和定理，三角函数恒等变换的综合应用，熟练掌握灵活应用相关公式与定理是解题的关键，属于中档题．
22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x
（1）若函数g （x ）的图象在点（1，g （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）若a ＞0，讨论函数g （x ）的单调性；
（3）设斜率为k 的直线与函数f （x ）的图象交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜x 2，求证：．
[考点]利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
[专题]函数的性质与应用；导数的概念与应用；导数的综合应用；不等式的解法与应用． [分析]（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）通过求导得到g′（x ），通过对a 分类讨论即可得出其单调性；
（3）利用斜率计算公式，令h （x ）=x ﹣x 1lnx+x 1lnx 1﹣x 1，与令m （x ）=x ﹣x 2lnx+x 2lnx 2﹣x 2，通过求导得到其单调性即可证明．
[解答]解：（1）依题意得g （x ）=lnx+ax 2﹣3x ，则g′（x ）=+2ax ﹣3， 由函数g （x ）的图象在点（1，g （1））处的切线平行于x 轴可得， g′（1）=1+2a ﹣3=0， ∴a=1；
（2）g （x ）=lnx+ax 2﹣3x ，则g′（x ）=+2ax ﹣3=，
设t （x ）=2ax 2﹣3x+1，△=9﹣8a ， ①当0＜a ＜时，设t （x ）=0的两根为x 1=
，x 2=
， 由g′（x ）＞0可得x ＞x 2，或0＜x ＜x 1；由g′（x ）＜0可得x ＞x 2，或＜x 1＜x ＜x 2， 即g （x ）的单调增区间为（0，），（，+∞）；
单调减区间为（
，
）；
②当a≥时，2ax 2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x ）≥0恒成立， g （x ）的单调增区间为（0，+∞）； （3）证明：依题意得k=
=
，
＜k ＜
⇔
＜
＜
⇔x 1lnx 2﹣x 1lnx 1＜x 2﹣x 1＜x 2lnx 2﹣x 2lnx 1， 令h （x ）=x ﹣x 1lnx+x 1lnx 1﹣x 1，则h′（x ）=1﹣
，
当x ＞x 1时，h'（x ）＞0，∴函数h （x ）在（x 1，+∞）单调递增， ∴当x 2＞x 1时，h （x 2）＞h （x 1）=0，即x 1lnx 2﹣x 1lnx 1＜x 2﹣x 1
令m （x ）=x ﹣x 2lnx+x 2lnx 2﹣x 2，则m′（x ）=1﹣
，
当x ＜x 2时，m'（x ）＜0，∴函数m （x ）在（0，x 2）单调递减， ∴当x 1＜x 2时，m （x 1）＞h （x 2）=0，即x 2﹣x 1＜x 2lnx 2﹣x 2lnx 1； 所以命题得证．
[点评]熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．。