数值分析复习参考题

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*
****1)()(ln )(ln x x
x x x ， 相对误差为*
*
**
ln ln )
(ln )(ln x
x
x x r
δ
εε=
=。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*
=x r ε，
绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n
n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *
⋅=='=-=εε，
相对误差为%2)
()
(ln )(ln ***
n x x x n
r
==
εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？
[解]由3*3**3**)(3
)
)(34
())(3
4(%1R R R r ππεπε==可知，
)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⨯=， 从而**
*
31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*
***
*=⨯==R R R r εε。

1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，
x
e x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(11101011010
1-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，
余项为()1,0),1(2
))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξ
x x e x x x x f x R ， 故8
141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤
≤≤-≤≤x x e x R x ξξ。

2、设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!
4!
4)
)()()((!4)
()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，
从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-= 5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，
求4[解]
)6)(4)(2)(1(180
1)
4)(2)(1(60
7
)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(180
1)
4)(2)(1(60
7
)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为
()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!
5)
()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R 。

6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，
[解]构造差分表：
由差分表可得插值多项式为：
32)1(3322
)
1(332
)1()(202
0004++=-++=⨯-+
+=+∆-+
∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N 。

21、设{}x span
,11=ϕ，{}
1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。

[解]由111
0=⎰dx ，2110
=
⎰
xdx ，31102
=⎰dx x ，4
1103=⎰dx x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即在1ϕ上为⎪⎭⎫
⎝⎛-1,61。

由20111
100100=
⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，2031
10101101=⋅⎰dx x x ， 10311
2100
=⋅⎰
dx x x ，104
1
102101=⋅⎰dx x x 可知，
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148
.37510310420320298243.375104
10320220199b a ，即在2ϕ上为
()148.375,243.375-。

22、x x f =)(在[]1,1-上，求在{}
421,,1x x span =ϕ上的最佳平方逼近。

[解]由110
01
11
=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2
11
301
311
2=
+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ， 31105015114=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x 可知，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3121192725272523252322c b a ，解得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-===12810512821012815c b a 。

从而最佳平方逼近多项式为42128
1056410512815)(x x x -+=ϕ
4、在某个低温过程中，函数y 依赖于温度)(C θ的实验数据为
已知经验公式的形式为2θθb a y +=，是用最小二乘法求出a 和b 。

[解]取θθϕ=)(0，21)(θθϕ=，则
()30)(),(4
12
00==∑=i i
θ
θϕθϕ，()()100)(),()(),(4
1
30110===∑=i i θθϕθϕθϕθϕ，
()354)(),(4
1
411==∑=i i θθϕθϕ，而
()2.17)(),(4
1
0==∑=i i
i y y θθθϕ，()55)(),(4
1
21==∑=i i i y y θθθϕ。

故法方程为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡552.1735410010030b a ，解得⎩
⎨⎧-==1129.09497.0b a 。

5、单原子波函数的形式为bx ae y -=，试按照最小二乘法决定参数a
和b ，已知数据如下：
[解]对bx ae y -=两边取对数得bx a y -=ln ln ，令y Y ln =，a A ln =，则拟合函数变为bx A Y -=
取1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，则
()41)(),(4100==∑=i x x ϕϕ，()()7)(),()(),(4
1
0110===∑=i i
x x x x x ϕϕϕϕ，
()21)(),(4
1
211==∑=i i x x x ϕϕ，而
()2109.0)(),(4
1
0-==∑=i i
y x y x ϕ，()6056.3)(),(4
1
1-==∑=i i i y x x y x ϕ。

故法方程为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡6056.32109.021774b a ，解得⎩
⎨⎧-==3699.05946
.0b A 。

因而拟合函数为x Y 3699.05946.0-=，原拟合函数为x x e e y 3699.03699.05946.08123.1--==。

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的
求积公式所具有的代数精度。

1）)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h ++-≈--⎰；
[解]分别取2,,1)(x x x f =代入得到：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+⋅+-==+⋅+-==++⎰⎰⎰------32212021101101320)(00)(21h dx x h A A h A xdx h A A h A h dx A A A h h h h
h h ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==++---h
A A A A h A A A 3121111101，解得⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧===-h A h A h A 613261101 又因为当3)(x x f =时，⎰--==+-=+⋅+-h h dx x h h h A A h A 33431303106
1
610)(；
当4
)(x x f =时，⎰--=≠=+=+⋅+-h h dx x h h h h h A A h A 455554140415
23161610)(；
从而此求积公式最高具有3次代数精度。

4、用辛普森公式求积分⎰-1
dx e x 并估计误差。

[解]
63233.0)36788.042612.21(6
1
)4(6
1
)]1(2104)0([601)](24)([612
1
0≈++=
++=+⎪⎭
⎫
⎝⎛++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=---e e e f f f b f b a f a f a b S 。

η
η---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=e f a b a b R S 16
118001)(2180)4(4
，从而410472.31611801-⨯=≤S
R
7、用复化梯形公式求积分⎰b
a dx x f )(，问要将积分区间[]
b a ,分成多少等分，才能
保证误差不超过ε（设不计舍入误差）？
[解]由)(12)()(12)(122
3
2
2ηηηf n
a b f n a b a b f h a b T I n ''--=''⎪⎭⎫ ⎝⎛---=''--=-可知，令)(max x f M b x a ''=≤≤，则ε<-≤-2312)(n M a b T I n ，从而ε
12)(3M
a b n ->。

3、求近似求积公式)]4
3
(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。

[解] 依次将432,,,,1)(x x x x x f =代入求积公式中，得到：
⎰==+-=+-1011)212(3
1
)]43(2)21()41(2[31dx f f f ；
⎰==⨯+⨯-⨯=+-10
21
)432211412(31)]43(2)21()41(2[31xdx f f f ； ⎰==⨯+⨯-⨯=+-10
222231
])43(2)21(1)41(2[31)]43(2)21()41(2[31dx x f f f ； ⎰==⨯+⨯-⨯=+-10
333341
])43(2)21(1)41(2[31)]43(2)21()41(2[31dx x f f f ； ⎰=≠=⨯+⨯-⨯=+-10444451
19237])43(2)21(1)41(2[31)]43(2)21()41(2[31dx x f f f ， 因此所给求积公式具有三次代数精度。

3、为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+；2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+；
3）1
12-=
x x ，迭代公式1/11-=+k k x x ；4）132-=x x ，迭代公式13
1-=+k k x x 。

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。

[解]1）设211)(x x +
=ϕ，则32)(x x -='ϕ，从而12716
5
.12)5.1(3
<=-='ϕ，所以
迭代方法局部收敛。

2）设32
1)(x x +=ϕ，则32
2
)1(3
2)(-+='x x x ϕ，从而
1169
16)5.11(5.132)5.1(332
2
<=+⨯='-ϕ，所以迭代方法局部收敛。

3）设1
1
)(-=
x x ϕ，则23)1(21
)(---='x x ϕ，从而12)5.0(21)5.1(23
>=⨯-='-ϕ，
所以迭代方法发散。

4）设1)(3-=x x ϕ，则21
32)1(2
3
)(--='x x x ϕ，从而
138
9
)819(5.123)5.1(21
>=⨯='-ϕ，所以迭代方法发散。

7、用下列方法求013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。

根的准确值
87938524.1*=x ，要求计算结果准确到四位有效数字。

1）用牛顿法；2）用弦截法，取9.1,210==x x ；3）用抛物线法，取2,3,1210===x x x [解]1）3
31
23313)()(2
3
231
-+=----='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x ，20=x ， 888889.19173231222
31==-⨯+⨯=x ，87945.156********)9
17(31
)917(223
2==-+=x ，迭代停止。

2）31
)()()13()13(13)
()
()()
(2
11211113133
111-++++=---------=---=---------+k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x ，20=x ，9.11=x ，881094.18411582
41
.882.153229.19.11)29.1(29.12
22===-+⨯+++⨯⨯=
x 879411
.15462043211026542442
84161.08419.11582158284142.955814339.19.1841
1582)8411582(1)9.18411582
(9.184115822
22223==⨯+⨯⨯++=-+⨯+++⨯⨯=
x
12、应用牛顿法于方程03=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

[解]令a x x f -=3
)(，则2
23
231332323)()(k
k k k k k k k k k k x a
x x a x x a x x x f x f x x +=+=--='-=+
18、设⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=3.01.05.06.0A ，计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。

[解]1.1}3.01.0,5.06.0max{1=++=A ，8.0}3.05.0,1.06.0max{=++=∞A ， 1、用Gauss 消去法求解方程组：
（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----50312131
2111
321x x x ； [解]（1）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----201065303111512103123111，故⎪⎩⎪⎨⎧===0213
21x x x 。

２．用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13814142210321321x x x ； [解]（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21525008210131421432182101314213142821014321，故⎪⎩⎪
⎨⎧===321321x x x。

7、设T x )8,5,1,3(-=，求1x ，∞x ，2x 。

[解]1785131=++-+=x 。

8}8,5,1,3max{=-=∞
x。

1139985)1(322222
==++-+=x。

9、分别求下列矩阵的1A ，∞A 。

（1）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=6134A ， （2）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=4112A 。

[解]（1）9}63,14max{1=+--+=A ，7}61,34max{=+--+=∞A ，
1、设方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++--=++3
103220241225321
321321x x x x x x x x x ，
（a ）考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；
（b ）用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组，要求当
4)
()1(10-∞
+<-k k x x 时迭代终止。

[解]（a ）由系数矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--1032241125
为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高
斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。

[精确解为2,3,4321==-=x x x ] （b ）使用雅可比迭代法：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛
---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=--+10355120103
5
12104
1
515203201210141510322011201014151)()()(1)(1)1(k k k k x x b
D x U L D x ，
使用高斯-赛德尔迭代法：
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-+-=----+102152251281201020111010515203201210140
3401
041
20
1005
1
00020012010140340104120100513201210320410050002001201032041005)()()()(1
)(1
1)(1)1(k k k k k x x x b L D Ux L D x
3、给定方程组⎩⎨⎧=+-=+231
22121x x x x ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？
[解]由系数矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1321A 可知，
（1）雅可比迭代矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=--0320032011)(1
10U L D B ，由 0632
20=-==
-λλ
λλB I 可知，16)(0>=B ρ，因而雅可比迭代法发散。

（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=--3202000201310100201301)(11U L D G ，由 0323
2
02
2
=+=+
=
-λλλλλG I 可知，32)(=G ρ，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。

3、用改进的欧拉方法解⎩⎨⎧=-+='0)0(2y y
x x y ，取步长1.0=h 计算)5.0(y ，并与准确解
12+-+-=-x x e y x 相比较。

[解]由改进的欧拉公式可知
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+++-++-=-++-++-++=-++=++++++)(2)(2)1()21()}([{2)(1212221212121n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x h x x h h y h h y x x h y x x y x x h y y y x x h y y ，又由00=x ，00=y ，1.0=h ，可得)(05.0)(045.0905.012121+++++++=n n n n n n x x x x y y ，从而
0055.0)1.01.0(05.0)00(045.00905.0221=+⨯++⨯+⨯=y ； 0219275.0012.000495.00049775.0)2.02.0(05.0)1.01.0(045.00055.0905.0222=++=+⨯++⨯+⨯=y ； 0501443875.00195.00108.00198443875.0)3.03.0(05.0)2.02.0(045.00219275.0905.0223=++=+⨯++⨯+⨯=y ； 8750909304706.0028.001755.08750453806706.0)4.04.0(05.0)3.03.0(045.00501443875.0905.0224=++=+⨯++⨯+⨯=y ； 72187551449922569.00375.00252.07218750822922569.0)5.05.0(05.0)4.04.0(045.08750909304706.0905.0225=++=+⨯++⨯+⨯=y 。

4、用梯形方法解初值问题⎩⎨⎧==+'1
)0(0y y y ，证明其近似解为n n h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22，并证明当0→h 时，它收敛于原初值问题的准确解x e y -=。

[解]由梯形公式可知，)(211++--+
=n n n n y y h y y ，从而n n y h y h )21()21(1-=++，即n n y h h y +-=+221，从而022y h h y n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=，又由10=y 可知，n n h h y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=22。

x h nh h h n h n h n h e h h h h h y -+-+-→→→→=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122)121(000012111lim 241lim 22lim lim。