空间几何体的直观图

空间几何体的直观图
在人类生存的现实空间中存在着各式各样的物体，它们大多是由具有柱、锥、台、球等几何特征的物体组成的．因此，认识和把握柱、锥、台、球体的几何特征，是我们认识空间几何体的基础．空间图形能否在平面中表现出来，同时又能反映它的主要特征呢？这就是空间几何体的直观图．
比如：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效果表示出来呢？
1．体会平面图形和空间几何体的直观图的含义．
2．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
3．会用斜二测画法画空间几何体的直观图．
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
立体图形直观图的画法
用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是______，平面________表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示____________．已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其____________都不变．
三视图和直观图有什么区别和联系？
(1)区别：直观图直观性较强，三视图虽然能更精确地表示出线段的长短和位置关系，但是缺乏立体感．
(2)联系：三视图能够帮助人们从不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画．我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由它的直观图得到它的三视图．
1．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
3．如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________．
4．按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
画平面图形的直观图
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．[思路探究]
1．画平面图形的直观图时，其中哪些量“不变”？
2．画平面多边形直观图的关键是什么？应本着什么样的原则建系？
[边听边记]
1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点．
2．在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点．
3．同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
1．给出以下结论：
(1)角的水平放置的直观图一定是角．
(2)相等的角在直观图中仍相等．
(3)相等的线段在直观图中仍相等．
(4)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．
其中正确的序号是________．
2．如图所示，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
空间几何体的直观图
用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．[思路探究]
画空间几何体的直观图时，如何建立x轴、y轴、z轴？
解析：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．
1.画柱体、锥体的直观图的四个步骤
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图．
2．利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的原则
(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．
(2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．
(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．
3．如图所示，由下列几何体的三视图画出它的直观图．
直观图的还原和计算问题
4．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1
∥C 1D 1，A 1B 1＝2
3
C 1
D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图． 【错解】 (1)画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°； (2)在O ′x ′轴取O ′B ′＝OB ＝4， O ′D ′＝3，
在O ′y ′轴上取O ′C ′，
使O ′C ′＝1
2
OC ，
过D ′作D ′A ′⊥O ′x ′，使D ′A ′＝1
2
DA (如下图)；
(3)连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．
【错因】原图中AD⊥Ox，亦是AD∥Oy，在直观图中，D′A′应平行于O′y′，而不是D′A′⊥O′x′.
【正解】。