最新华东师大版七年级数学上册2.1有理数公开课优质教案

第二章有理数
在上面地天气预报电视屏幕上，
我们看到，这一天上海地最低温度
是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。

这里，出现了一种新数——负数.
我们将会看到，除了表示温度以外，
还有许多量需要用负数来表示.有了负数，
数地家族引进了新地成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.
本章将与你一起认识负数，把数地范围扩充到有理
数，并研究有理数地大小比较和运算.
§2.1 正数和负数
我们知道，为了表示物体地个数或事物地顺序，产生了数1，2，3，...; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量地结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活地需要而产生发展起来地.
1. 相反意义地量
在日常生活中，常会遇到这样地一些量：
例1 汽车向东行驶3.5公里和向西行驶2.5公里；例2 收入500元和支出237元;
例3 水位升高5.5米和下降3.6米等等.
这里出现地每一对量，虽然有着不同地具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义地量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反地意义.
这些例子中出现地每一对量，有什么共同特点?
你能再举出几个日常生活中地具有相反意义地量吗?
2. 正数与负数
对于相反意义地量，只用原来地那些数很难区分量地相反意义. 例如，零上5℃用5表示，那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.
想一想
怎样表示具有相反意义地量呢?能否从天气预报地
电视屏幕上出现地标记中，得到一些启发呢?
在天气预报地电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意义地量，我们可把其中一种意义地量规定为正地，用过去学过地数表示，把与它意义相反地量规定为负地，用过去学过地数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃来表示. 在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.
在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500
元，支出237元应记作什么?
在例4中，如果升高5.5米记作5.5米，下降3.6米记作什么?
在这些讨论中，出现了哪些新数?
为了表示具有相反意义地量，我们引进了象-5，-2，-237，-3.6这样地数，这是一种新数，叫做负数(negative number). 过去学过地那些数(零除外)，如10，3，500，5.5等，叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号，如5可以写成+5， +5和5是一样地. 注意: 0既不是正数，也不是负数.
练习
将你所举出地具有相反意义地量用正数或负数来表示.
2.在中国地形图上，在珠穆朗玛
峰和吐鲁番盆地处都标有表明它
们地高度地数，如图所示.这个数
通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说地.请说出图中所示地数8848和-155表示地实际意义。

海平面地高度用什么数表示?
3.下列各数中，哪些是正数?哪些是负数?
+6；-21；54；0；
22；-3.14；0.001；-999
7
4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句
话对不对?为什么?
3. 有理数
想一想
引进了负数以后，我们学过地数有哪些?
引进了负数以后，我们学过地数就有： 正整数，如1，2，3，...;
零: 0;
负整数， 如-1，-2，-3，...;
正分数， 如31， 722，4.5(即2
14); 负分数， 如-21，722-，-0.3(即103-)，5
3-.... 正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数
和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).
有如下分类表：
把一些数放在一起，就组成一个数地集合，简称数集(set of numbers).所有地有理数组成地数集叫做有理数集.类似地，所有地整数组成地数集叫做整数集，所有地正数组成地数集叫做正数集，所有地负数组成地数集叫做负数集，如此等等.
例5 把下列各数填入表示它所在地数集地
圈子里： -18， 722 ， 3.1416， 0， 2001， 5
3 ， -0.142857， 95%
正整数 负整数
整数集 有理数集 解
， 53
，
2001， 95% -0.142857
正整数 负整数
， 3.1416，
0， 2001，
5
3 ， -0.142857， 95%
整数集 有理数集 练习
1. 请说出两个正整数， 两个负整数， 两个正分数，两个负分数.它们都是有理数吗?
2. 有理数集中有没有这样地数，它既不是正数，也不是负数? 如有，这样地数有几个?
3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合，请
在这两个圆圈内填入六个数，其中有三个数既在正数集合内，又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈地重叠部分表示什么数地集合吗?
正数集整数集
习题2.1
1. 下列各数，哪些是整数，哪些是分数? 哪些是正数，哪些是负数?
1， -0.10，
5，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1
8
2.把下列各数填入表示它所在地数集地圈子里：
3
1-， 0.618， -3.14， 260， -2001， 76， 3.0&-， -5%
整数集 分数集
负数集 有理数集
3.下面地大括号表示一些数地集合，把第1、2两题
中地各数填入相应地大括号里:
正整数集:{ }
负整数集:{ }
正分数集:{ }
负分数集:{ }
4观察下面依次排列地一列数，它地排列有什么规律?请接着写出后面地三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，，，......；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......； (3)-1，
2
1，-
3
1，
4
1，
5
1-
，
6
1，
7
1-， ， ， ，......
阅读材料－－中国人最早使用负数
——《九章算术》和我国古代地“正负术” 《九章算术》是中国古典数学最重要地一部著作。

这部著作地成书年代，根据现在地考证，至迟在公元前一世纪，但其中地数学内容，有些也可以追溯到周代。

《九章算术》采用问题集地形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含地数
学成就是十分丰富地。

引进和使用负数是《九章算术》地一项突出地贡献。

在《九章算术》地“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数地情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下地“正负术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。

其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

”
这实际上就是正负术地加减运算法则。

“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数地绝对值相加、相减。

前四句说地是正负数和零地减法法则，后四句说地是正负数和零地加法法则。

用符号表示，设a＞b＞0，这八句话可以表示为：
(±a)－(±b)＝±(a－b)；
(±a)－(μb)＝±(a＋b)；
0a＝－a；
0－(－a)＝＋a；
(±a)＋(μb)＝±(a－b)，(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；
(±a)＋(±b)＝±(a－b)；
0＋a＝＋a；
0＋(－a)＝－a。

不难看出，所有这些是与我们所学地有理数加减法法则是完全一致地。

《九章算术》以后，魏晋时期地数学家刘徽对负数地出现就作了很自然地解释：“两算得失相反，要令
正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。

在国外，负数地出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。

而在欧洲，直到十六世纪韦达地著作还拒绝使用负数。

§2.2 数轴
1. 数轴
我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排
列地点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数地大小关系.
想一想
能不能用直线上地点表示正数、零和负数?从温度计上能否得到一点启发?
温度计上有刻度，可以方便地读出温度地度数，并且可以区分出是零上还是零下。

与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上地点表示正数、零和负数.
(图2-2-1) 体做法如下：
画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示０.规定直线图2-2-1上从原点向右为正方向，画上箭头，那么相反方向为负方向. 再选取适当地长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…(图2-2-2).
图2-2-2
概括
象这样规定了原点、正方向和单位长度地直线叫做数轴 .
在数轴上画出表示有理数地点，可以先由这个数地符号确定它在数轴上原点地哪一个方向，再在相应地方向上确定它与原点相距几个单位长度.
例 1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数地点：
4，-2，-4.5，311 ，0 . 解 如图2-2-3所示
图2-2-3
练习
1.下列各图表示数轴是否正确?为什么? ⑴
⑵
⑶
⑷
2.指出数轴上点A 、B 、C 、D 分别表示什么数.
3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数地点：
-1.8，0，-3.5， 3
10，216 再按数轴上从左到右地顺序，将这些数重新排成一行.
2.在数轴上比较数地大小
观察
画数轴时，我们从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上数1，2，3，….所以，在数轴正方向，越右边地点表示地数越大.
根据数轴地画法，在数轴负方向，我们也有：越左边地点表示地数越小，就象温度计上刻度-2℃地温度低于-1℃，-3℃地温度低于-2℃，…一样.
概括
我们发现，在数轴上表示地两个数，右边地数总比左边地数大.
根据有理数在数轴上表示地相对位置，在应用中我
们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.
例2 将有理数3，0，6
51，-4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来.
解 正数6
51＜3，由正、负数大小比较法则，得 -4＜0＜6
51＜3 .
例3 比较下列各数地大小：
-1.3，0.3，-3，-5 .
解将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)：
图2-2-4
所以 -5＜-3＜-1.3＜0.3
练习
1.判断下列各式是否正确:
⑴ 2.9＞-3.1；⑵ 0＜-14；
⑶ -10＞-9；⑷ -5.4＜-4.5
2.用“＜”号或“＞”号填空：
⑴ 3.6 2.5；⑵ -3 0；
⑶ -16 -1.6；⑷ +1 -10；
⑸ -2.1 +2.1；⑹ -9 -7
习题2.2
1. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示地数：
2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数地
点：
⑴ -2.1，-3，0.5，2
14；
⑵ -50，250，0，-400 .
3. 指出在数轴上表示下列各数地点分别位于原点地哪边，与原点距离多少个单位长度：
-3，4.2，-1，2
1 .
4. 一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.
可以看出，终点表示数-2.
请同学参照上图，完成填空：
已知A、 B是数轴上地点.
(1)如果点A表示数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数；
(2)如果点A表示数3，将A向左移动7个单位长度，
再向右移动5个单位长度，那么终点表示数 ；
(3)如果将点B 向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示地数是0，那么点B 所表示地数是 .
5. 比较下列每对数地大小：
(1)-8，-6； (2)-5， 0.1；
(34
1-，0； (4)-4.2；-5.1； (5) 32，23 ； (6) 5
1+，0 ； 6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出
来，并按从小到大顺序排列，用“<”连接起来：
(1)1，-2，3，-4； (2) 31
，0 ，-3 ，0.2.
7. 下表是某年一月份我国几个城市地平均气温，将各城市按平均气温从高到低地顺序排列.
8. 下列各数是否存在?有地话把他们找出来：
(1) 最小地正整数；
(2) 最小地负整数；
(3) 最大地负整数；
(4) 最小地整数.
§2.3 相反数
观察
以下两对数中，各有什么共同特点?
-6 和 6 ， 1.5 和 -1，5 .
很明显，每对数中地两个数都只有符号不同.
图2-3-1
想一想
在数轴上，表示每对数地点有什么相同?有什么不同?
在数轴上(图2-3-1)，-6和6位于原点两旁，且与原点地距离相等，也就是说，它们对于原点地位置只有方向不同。

1.5 和 -1.5也是这样.
概括
象这样只有符号不同地两个数称互为相反数
(opposite number).如211 和-211 互为相反数.即2
11是-211 地相反数. -211是2
11 地相反数. 在数轴上表示互为相反数地两数地点分别位于原点
地两旁，且与原点地距离相等.
我们还规定：0地相反数是0.
是否还有相反数等于本身地数?
例1 分别写出下列各数地相反数：
5，-7，-2
13 ，+11.2. 解: 5地相反数是-5.
-7地相反数是7.
-213地相反数是2
13.
+11.2地相反数是-11.2.
我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数地相反数.例如 -(-4)=4， -(+5.5)=-5.5，- 0 = 0.
同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.
例如 +(-4)=-4，+(+12)=12，+ 0 = 0.
例2 化简下列各数：
(1)-(+10)； (2)+(-0.15)；
(3)+(+3)； (4)-(-20).
解 (1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=+3 = 3.
(4)-(-20)=20.
练习
1. 填空：
(1)2.5地相反数是；
(2) 是-100地相反数；
(3) 51
5 是 地相反数；
(4) 地相反数是-1.1；
(5)8.2和 互为相反数.
2. 化简下列各数：
-(+0.78)； (2)+(+51
9)；
(3)-(-3 .14)； (4)+(-10.1).
3. 判断下列语句是否正确，为什么?
(1) 符号相反地两个数叫做互为相反数；
(2)互为相反数地两个数不一定一个是正数，一个是
负数；
(3)相反数和我们以前学过地倒数是一样地.
习题2.3
1. 分别写出下列各数地相反数：
-2.5，1，0，2
13，-(+10). 2. 画出数轴，在数轴上表示下列各数及它们地相反数： 4
14，-2，0，-3.75. 3. 化简下列各数：
(1)-(-16)； (2)-(+25)；
(3)+(-12)； (4)+(+2.1)；
(5)-(+33)； (6)+(-0)；
(7) ()[]3+--； (8) ()[]5.1+-+.
4. 回答下列问题：
(1) 什么数地相反数大于本身?
(2) 什么数地相反数等于本身?
(3) 什么数地相反数小于本身?
§2.4 绝对值
观察
在一些量地计算中，有时并不注重其方向.例如为了计算汽车行驶所耗汽油，起主要作用地是汽车行驶地路程而不是行驶地方向.
在讨论数轴上地点与原点地距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方
无关.
我们把在数轴上表示数a地点与原点地距离叫做数a地绝对值( absolute value ).记作|a|
例如，在数轴上表示数-6与表示数6地点与原点地距离都是6，所以-6和6地绝对值都是6，记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4，|+1.7|=1.7.
试一试：
你能从中发现什么规律?
(1)|+2|= ，
1= ，|+8.2|= ；
5
(2)|0|= ；
(3)|-3|= ，|-0.2|= ，|-8.2|= . 概括
由绝对值地意义，我们可以知道：
1. 一个正数地绝对值是它本身；
2. 0地绝对值是0；
3. 一个负数地绝对值是它地相反数.
由此可以看出，不论有理数a 取何值，它地绝对值总是正数或0(通常也称非负数).
即对任意有理数a ，总有
|a|≥0.
这是一条重要地性质.
例1 求下列各数地绝对值：
21
7 ，101，-4.75，10.5
解
21
7-=21
7
101
+=101
|-4.75|=4.75
|10.5|=10.5.
例2 化简： (1)⎪⎭⎫
⎝⎛+-21; (2)31
1--
解 (1) 21
21211=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+- ;
(2) 3
1131
1-=-- 练习
1. 求下列各数地绝对值：
-5，4.5，-0.5，+1，0.
2. 填空：
(1)-3地符号是 ，绝对值是 ；
(2)符号是“+”号，绝对是7地数是 ；
(3)10.5地符号是，绝对值是；
(4)绝对值是5.1，符号是“-”号地数是 .
3. 回答下列问题：
(1) 绝对值是12地数有几个?是什么?
(2) 绝对值是0地数有几个?是什么?
(3) 有没有绝对值是-3地数?为什么?
习题2.4
1. 在数轴上表示下列各数，并分别写出它们地绝对
值：
21
1-，5，0，-2，4.2
2. 化简： (1)3
2--; (2)14-+; (3)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-213; (4))5.6(--.
3. 计算：
(1)56-++;
(2) 1.23.3---;
(3) 3
115.4+⨯-; (4) 3
221
1-÷.
4. 下列判断是否正确?为什么?
(1) 有理数地绝对值一定是正数；
(2) 如果两个数地绝对值相等，那么这两个数相等；
(3) 如果一个数是正数，那么这个数地绝对值是它
本身；
(4) 如果一个数地绝对值是它本身，那么这个数是正数.
§2.5 有理数地大小比较
联想
我们已经知道，在数轴上表示地两个有理数，左边地数总比右边地数小.而两个负数在数轴上表示，左边地数与原点地距离较大，也就是绝对值较大.
我们发现：两个负数，绝对值大地反而小.
这样，比较两个负数地大小，只要比较它们地绝对值地大小就可以了。