基于小波变换的纹理特征提取分析
基于小波变换的特征提取
基于小波变换的特征提取随着数字化信息量的急剧增加，机器学习领域的需求也越来越大。
图像和信号处理是机器学习的一个重要应用领域，而特征提取是其重要组成部分。
小波变换是一种在图像和信号处理中广泛使用的技术，可以提高特征提取的准确性和效率。
一、小波变换的定义小波变换是一种用于信号和图像处理的数学变换。
它将原始信号或图像分解为一系列具有不同频率和时间分辨率的小波函数。
小波函数可以表示为短、快速振荡的函数，它们比传统的傅里叶变换所使用的正弦和余弦函数更适合对信号进行分析。
小波变换有两个基本的操作：卷积和下采样。
卷积用于将小波函数与原始信号进行数学运算，而下采样用于将处理后的信号降采样，减少处理的数据量。
二、小波变换的基本步骤小波变换的基本步骤包括：1.选择小波函数：小波函数有多种类型和变种，根据不同的应用需求和分析目的选择不同的小波函数，常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。
2.信号分解：将原始信号逐层分解为不同频率的小波系数，以获取不同时间分辨率和频率分辨率的信息。
通常情况下，信号的低频部分具有长时间特性，而高频部分则具有短时间特性。
3.特征提取：利用小波系数进行特征提取或特征选择，选择具有代表性的特征用于模型训练和预测。
三、小波变换在特征提取中的应用小波变换在特征提取中的应用包括：1.纹理特征提取：图像纹理是指由不同颜色和灰度级的像素组成的二维表面形态。
小波变换不仅可以提取图像的低频和高频信息，还可以提取图像特有的纹理信息，用于图像分类和识别。
2.语音信号特征提取：语音信号包含众多频率成分和信号幅度成分，利用小波变换可以提取语音信号的频率和振幅信息，用于语音信号分析和语音识别。
3.生物医学信号分析：生物医学信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号等。
小波变换可以在时频域上对这些信号进行分析，提取特征用于疾病诊断和治疗。
四、小波变换在特征提取中的优势小波变换在特征提取中的优势包括：1. 时间分辨率和频率分辨率较高：小波变换可以同时提供时间和频率分辨率，能够准确捕捉数据的突变点和重要特征。
基于离散小波变换多种纹理特征提取的草细胞图像分割比较
采用高斯核Ｓ Ｍ分类器做分类实验 ， Ｖ 得到两类样本 点（ 一类是纤维素部分 ， 另一类是非纤维素部分）将 ． 所得 结果 通过对应 的像素 点位 置还原 出分割后 的结
基 于 离 散 小 波 变 换 多 种 纹 理 特 征 提 取 的草 细胞 图像 分 割 比较
陆 璐 ， 李玉龙
７０ ７ ） ３ ０ ０
（ 兰州交通 大学 数理与软件 工程学 院， 甘肃 兰州
摘
要 ： 用图像分割技 术可有效检测草细胞纤维素的含 量． 于 离散 小波 变换 的图像纹理特 征提 取方 法 已广泛 利 基
设计 １ 一维离 散小波 ， 个 首先找 到满足对称性 的 滤波 器 Ｈ０ ） 然 后 构 造 相 应 的 尺 度 函 数 （）一 （ ， ￡
ｈ （） （￡ ）通过 ｈ （）＝ （ １ ｏ一ｋ １ ， ０是 声２ 一志 ， １走 ＝ 一 ） （ ＋ ） ＝ ｈ
Ｔ
果有着不同的准确率 ， 通过 实验 比较可以挑选 出分 割效果最好 的纹理特征提取方法用于该类型图像 的 图像 分割 ． 所选 出的特 征 提 取方 法 对 于 该类 型 的 图 像而 言有着 重要 的应 用价 值．
小波能量、 奇异值方法 以及它们的相互组合算法用 于 草细 胞 的图像 分割 ．
灰 度共 生 矩 阵 （ Ｍ）通 过 计 算 图像 中 特 定 ＧＩ Ｃ
１ 原始 图像 的每一个 像 素点选 取 １ ×１ 大 ）对 ６ ６
位置两像素问的相关性反映图像在方向、 相邻 问隔、 变 化 幅度等 方面 的信 息 ， 是描 述 纹 理 结构 特 征 的基 本 函数［． ３ 小波变换方法可与灰度共生矩阵法相结 ］
基于小波包变换和奇异值分解的机加工表面纹理特征提取_李国宾 (1)
2010年2月第35卷第2期润滑与密封L UBR I CAT I ON ENG I NEER I NGFeb 12010V ol 135N o 12DO I :1013969/j 1issn 10254-0150120101021009*基金项目:教育部新教师基金资助项目(200801511018)1收稿日期:2009-06-02作者简介:李国宾(1970)),男,博士,副教授,主要从事机械设备故障诊断与预测等方面研究1E -mai:l guob i nli 88@ya -hoo 1co m 1cn 1基于小波包变换和奇异值分解的机加工表面纹理特征提取*李国宾1,2 关德林2 李廷举1(11大连理工大学材料科学与工程博士后流动站 辽宁大连116024;21大连海事大学轮机工程学院 辽宁大连116026)摘要:为提取机加工表面的纹理特征,提出利用小波包变换和奇异值分解提取灰度图像特征的新方法,给出了小波包变换算法及奇异值分解算法,依据矩阵奇异值特征向量的均值和方差分别定义了灰度图像的特征参数k 1和k 2,并探讨了特征参数与表面纹理之间的关系。
结果表明:特征参数能够敏感地反映机加工表面的纹理特征。
k 1表征了机加工表面的支撑面积,其值越大,支撑面积越大;k 2表征了机加工表面纹理的粗糙度,其值越大,纹理越粗糙。
因此,机加工表面的纹理特征可通过灰度图像特征参数k 1和k 2评定。
关键词:机加工表面;纹理;小波包变换;奇异值分解;特征参数中图分类号:TN 911173 文献标识码:A 文章编号:0254-0150(2010)2-036-4Text ure Feature Extraction ofM achi ne d Surface Base d onW aveletpacketTransfor m and Singul arity Value Deco mpositionL iGuob in 1,2 G uan D elin 2 L iT i n gj u 1(11Postdoctoral Station of Schoo l ofM ateri a ls Scie nce and Engineeri ng ,Dalian U ni versity ofT echnology ,D ali an L iaon i ng 116024,Chi na ;21M ari ne Engineeri ng College ,D alianM aritm i e U ni versity ,Dalian L iaoni ng 116026,China)Abstract :I n order to extract the texture c haracteristic of a m achined surface ,a novel approach f or e x tracting feature of gray m i age was proposed usi ng waveletpacket transfor m and singularity value dec o m position .The waveletpac ket tra nsfor m and the si ngularity value deco mpositi on arit hm et i c w ere introduced .T he c haracteristic para meters k 1and k 2were defi ned based on m ean and variance of the si ngular val ue characteri st ic vector .The relations bet ween the characteristic para meters and t he surface texture were discussed .The results sho w that the characteristic para m eters ca n reveal t he texture c haracter -istics of a m achi ne d surface .T he para meter k 1reflects t he beari ng area of a machi ned surface ,the l arger characteristic pa -ra m eter k 1,the l arger beari ng area .T he para m eter k 2reflects the roughness of a mac h i ned surface ,the lar ger characteristic para meter k 2,the lar ger r oughness .T herefore the char acteristic para m eters k 1and k 2could be consi dered as para m eters to eva l uate t he texture of a m achi ned surface .K eywords :m achi ne d surface ;te xture ;waveletpacket transfor m;si ngu l arity value deco mposit i on ;characteristic para m eter 纹理特征提取是机加工表面分析的关键问题,近年来受到研究者的广泛关注,分别提出了统计法、模型法、空间-频率域分析法和结构法等[1-2],但由于纹理的多样性和复杂性,应用这些方法实现纹理的全面描述尚存在一定困难。
基于小波变换的指纹识别算法的研究
基于小波变换的指纹识别算法的研究指纹识别是一种广泛应用于个人身份验证和安全领域的生物特征识别技术。
随着科技的不断进步，基于小波变换的指纹识别算法逐渐成为研究的热点。
本文将对这一算法进行研究和探讨。
指纹的纹理信息是指纹识别的关键。
小波变换作为一种多尺度分析方法，可以有效地提取出指纹的纹理特征。
在指纹识别中，首先将原始指纹图像进行预处理，包括图像增强、去噪和图像分割等步骤。
然后，利用小波变换对预处理后的指纹图像进行特征提取。
小波变换通过将信号分解为不同的频率组成部分，可以将指纹图像的纹理信息分析成不同的尺度。
常用的小波基函数有Haar 小波、Daubechies小波和Biorthogonal小波等。
通过对指纹图像进行小波分解，可以得到各个尺度下的小波系数，这些系数包含了指纹图像的纹理特征。
在小波变换的基础上，可以利用小波系数进行指纹图像的匹配和识别。
通常采用的方法是计算小波系数之间的相似度。
对于待识别的指纹图像，首先将其进行小波分解，并提取出小波系数。
然后，将待识别指纹的小波系数与数据库中的已知指纹进行比较，计算它们之间的相似度。
相似度高于一定阈值的指纹将被认为是匹配成功的。
基于小波变换的指纹识别算法具有较高的识别准确率和鲁棒性。
它能够有效地提取出指纹图像的纹理特征，并且对于光线变化、噪声干扰等情况有一定的鲁棒性。
此外，小波变换还可以实现多尺度分析，使得算法对于不同分辨率的指纹图像都能够适应。
然而，基于小波变换的指纹识别算法仍然存在一些问题。
首先，小波变换的计算量较大，需要消耗较多的计算资源。
其次，小波基函数的选择对算法的性能有一定影响，不同的小波基函数适用于不同类型的指纹图像。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的小波基函数。
综上所述，基于小波变换的指纹识别算法在指纹识别领域具有较高的应用价值。
虽然仍然存在一些问题，但通过进一步的研究和改进，相信这一算法将在未来得到更广泛的应用。
小波变换在图像特征提取中的应用案例
小波变换在图像特征提取中的应用案例小波变换是一种信号处理和图像处理中常用的数学工具，它在图像特征提取中有着广泛的应用。
本文将通过几个实际案例来介绍小波变换在图像特征提取中的应用。
案例一：纹理特征提取纹理是图像中重要的视觉特征之一，通过提取图像的纹理特征可以用于图像分类、目标识别等应用。
小波变换可以有效地提取图像的纹理特征。
以纹理分类为例，首先将图像进行小波分解，得到不同尺度和方向的小波系数。
然后，通过对小波系数进行统计分析，如计算均值、方差等，可以得到一组纹理特征向量。
最后，利用这些特征向量可以进行纹理分类。
案例二：边缘检测边缘是图像中物体之间的分界线，对于图像分析和目标检测具有重要意义。
小波变换可以有效地提取图像的边缘信息。
通过对图像进行小波变换，可以得到不同尺度和方向的边缘响应。
然后，通过对边缘响应进行阈值处理和边缘增强，可以得到清晰的边缘图像。
这些边缘图像可以用于图像分割、目标检测等应用。
案例三：图像压缩图像压缩是图像处理中的重要任务，可以减少存储空间和传输带宽的消耗。
小波变换可以用于图像的有损压缩和无损压缩。
在有损压缩中，通过对图像进行小波分解和量化，可以得到低频和高频小波系数。
然后，通过对高频系数进行舍弃或者量化，可以实现对图像的压缩。
在无损压缩中，通过对小波系数进行编码和解码，可以实现对图像的无损压缩。
案例四：图像增强图像增强是改善图像质量和提高图像视觉效果的重要任务。
小波变换可以用于图像的多尺度增强。
通过对图像进行小波分解，可以得到不同尺度和方向的小波系数。
然后，通过对小波系数进行增强操作，如对比度增强、锐化等，可以改善图像的质量和增强图像的细节。
综上所述，小波变换在图像特征提取中有着广泛的应用。
通过对图像进行小波变换，可以提取图像的纹理特征、边缘信息等重要特征，实现图像分类、目标检测等应用。
同时，小波变换还可以用于图像的压缩和增强，提高图像的质量和视觉效果。
因此，小波变换在图像处理中具有重要的地位和应用前景。
使用小波变换进行图像特征提取的方法与实践
使用小波变换进行图像特征提取的方法与实践图像特征提取是计算机视觉领域的重要研究方向之一，它可以从图像中提取出具有代表性的特征，用于图像分类、目标识别等任务。
而小波变换作为一种有效的信号分析工具，也被广泛应用于图像处理中的特征提取任务。
本文将介绍使用小波变换进行图像特征提取的方法与实践。
首先，我们需要了解小波变换的基本原理。
小波变换是一种基于信号的频率分析方法，它能够将信号分解成不同频率的成分。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性，能够更准确地描述信号的时域和频域特征。
在图像处理中，我们可以将图像看作是二维信号，通过对图像进行小波变换，可以得到图像在不同频率和尺度上的特征信息。
在实际应用中，我们通常使用离散小波变换（DWT）进行图像特征提取。
离散小波变换将图像分解为低频和高频部分，其中低频部分包含了图像的大致轮廓和整体结构，而高频部分则包含了图像的细节信息。
通过对高频部分进行进一步分解，我们可以获取到更细节的特征信息。
因此，离散小波变换可以帮助我们从宏观和微观两个层面上对图像进行特征提取。
在实践中，我们通常采用小波包变换（DWP）进行图像特征提取。
小波包变换是对离散小波变换的扩展，它能够更细致地分解图像，提取出更多的特征信息。
小波包变换通过对图像进行多层分解，得到一系列的小波包系数。
这些小波包系数代表了图像在不同频率和尺度上的特征，可以用于图像分类、目标识别等任务。
在进行小波包变换之后，我们需要对小波包系数进行特征选择。
由于小波包变换得到的小波包系数数量庞大，其中很多系数对图像的特征描述作用较小。
因此，我们需要通过特征选择算法来选取出最具代表性的特征。
常用的特征选择算法包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）等。
这些算法能够通过降维的方式，选取出最具代表性的特征，提高图像分类和目标识别的准确率。
除了特征选择外，我们还可以通过特征提取算法来进一步提取图像的高级特征。
常用的特征提取算法包括局部二值模式（LBP）、方向梯度直方图（HOG）等。
基于小波变换的图像纹理特征提取技术
ｒ ｓ ｏ ｉ ｎ ｄｔ ｅ ｃ ｏｃ ｎ ｇ ｒ ｔ ｎ ｆ ｒ ｉ ｒ ａ ｏ ｅ ｔ ｒ ａｙ ｉ ｂ ｃ ｍ ｅ ｅｉ ｏ ｔｎ ａ ｓ ｇ ａｙ ｉ． Ｉ ｉ ｐ ｌ ｄ ｏ ｃ ｐ ｃｋ ｄ ａ ｒ ｏ ｆ ｕ ａ ｉ ， ｏ ｓ ｅ ｓ ｎ ｔｘ ｕ ｅａ ｌ ｓｓ ｅ ｏ ｓ ｉ ｎ ｈ ｍｉ ｉ ｏ ｈ ｔ ｎ ｈ ｔ ｍｐ ｒａ ｔ ｎ ｉ ｍｅ ｎ ｉ ｍａ ｅａ ｌ ｓｓ ｔ ｓ ｐ ｉ ｎ ａ ｅ ｎ ｍａ ｅｄ ｃ ｓ ｉ ｎ ｙ ｆ ｌ ｓ ｕ ｈａ ａ ｅ ｌｕ ｉｇ ａ ａ ａｙ ｉ，ｔ ｅｓ ｔ ｌ ｔ ｅｓ ｍａ ｅａ ａｙ ｉ，ｔ ｅ ｏ ｏ ｎ ｅ ｆ ｉｉ ｎ ｉｄ ｓｒ ｐ ｒ ｉｅ ｉ ｓ ｗｅ ｔ ｒ ｏ ｄｄ ａ ｒ ｍ ｌ ｓｓ ｈ ｅｌ ｅ ａ ｆ ｌ ｉ ｇ ｌ ｓｓ ｈ ｂ ｔ ｅ ｓ ｖ ｓｏ ， ｎ ｕ ｔ ｓ ｅ ｖ ｓ ｓ ｈ ｃ ｎ ａ ｉ ｆ ｅ ｒ ｎ ｒ ｓ ｏ ｙ ｕ
基于平稳小波变换的掌纹特征提取与识别
ａ ｎ ｗ ｍｅｈ ｄ ｏ ｅ ｔａ ｔｔ ｅ ｐ ｌ ｒ ｔ ｆ ａｕ ｅ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｗ ｖ ｌｔ ｌ ｃ ｌ ｅ ｔｅ ｍ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｆ ｔ ｅ ｍｕｔ ｓ ａｅ ａ ａｙ ｉ ｅ ｔ ｏ ｔ ｘ ｒ ｃ ｈ ａｍｐ ｉ ｅ ｔｒ ｓｎ ｈ ａ ｅｅ ｏ ａ ｘ ｒ ｍｕ ｏ ｈ ａ ｅ ｏ ｈ ｌ — ｃ ｌ ｎ ｌｓｓ ｎ ｉ
域 映 射 到 小 波 域 。对 水 平 ． 直 和对 角线 三 个 方 向分 别 提 取 局 垂 部 极 值点 ． 将 不 同方 向 的 极 值 点 融 合 ． 终 得 到 了 二 值 化 了 并 最 的掌 纹 特 征 图像 并根 据 按 不 同 的 阈值 取 法得 到 的特 征 点 数 目 和 最 小 欧 氏距 离 的差 异 对 所 得 特 征 图像 进 行 了 聚类 分 析 ． 实验 数 据 表 明 ： 方 法 简单 有 效 ． 别效 果 基 本 令 人 满 意 该 识
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ： ｐａｍｐｒｎｔｆ ａｕｒ ｅ ｔａ ｉｎ，ｔ ｔ ｎａ ｗａｖ ｌ ｔ ｒ ｎ ｆ 丌ｒ，ｏ ａ ｅ ｔｅ ｕ ｙ ｒ ｌ ｉ ，ｅ ｔ ｅ ｘ ｒｃｔ ｏ ｓａｉ ｒ ｏ ｙ ｅ ｅ ｔａ ｓｏ Ｉｌｃ ｌ ｘ ｒｍ ｍ
ｌ 引 言
掌 纹 是 人 的 生物 特 征 中的 一个 重要 部 分 由 于掌 纹 的 唯 一
较 好 的成 果 ． 是 这 种 模 板 匹 配 方法 对 在 线 的 掌 纹 特 征 提 取 效 但 果 不 很 理 想 ， 献『１ 用 了 小 波 域 下 的方 向模 板 提 取 的 特 征 的 文 ５利
性 以及 它 的 图像 面积 大 ． 细节 多 ． 征信 息 丰 富 ． 特 因此 掌纹 识 别
。
论 文 基 于 图像 的 多尺
一种基于小波变换的指纹特征提取算法
指 纹细 节特 征 识别 和基 于指纹 图像 的纹 理 识别两 大 类 。基 于细节点的指纹识别方法存在着对指纹 图像质
量要求较 高，且识别系统计算量开销大的缺点 ，因此 近些年来基于指纹纹理识别方法
（ ｓ ｅｓ ｃｏ ｌＵｎｖｒ ｔ ｆ ｈ ｎ ｈ ｉｏ ｃｅｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ， ｈ ｇ ａ２ ０ ９ ， ｈｎ ） Ｂｕｉ ｓ Ｓｈ ｏ， ｉｅｓｙｏ ａ ｇ ａｆｒ ｉ ｅ ｎ ｅｈ ｏ ｙ Ｓ ａ ｈ ００ ０Ｃ ｉａ ｎ ｉ Ｓ Ｓ ｎ ａ ｏ ｎ ｉ
Ａｂｓｒ ｃ ：Ａ ｎ ｅ ｐ ｎ ｅ ｔｒ ｘｒ ｃｉ ｎ ａｇ ｒｔｍ ａ ｅ ｎ ｔａ ｔ ｉ ｆ ｇ ｒ ｒ ｔ ｆａｕ ｅ ｅ ｔａ ｔｏ ｌ ｏ ｉ ｉ ｈ ｂ ｓ ｄ ｏ ｗａ ｅｅ ｒｎｓｏ ｍ ｗａ ｒ ｐ ｓ ｄ．Ｆ ｆ ｖ ｌｔ ｔａ ｆ ｒ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ￣ｓ ｙ，ｔ ａ ｅ ｌ ｈｅ ｐ ｐ ｒ ｃ ｎ ｅ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｃ Ｔ － ｏ ｎ ｓ ｔ ｅ ｉ ｉ ｅ ｅ ｆｎ ｅ ｒｎ ｍａ ｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｆｃ ｉｅ ａ ｅ ．Ｎｅ ｔ ｈ ｅ ａ ｅ ｓａ ａｙ ｅ ｙ ｅ ｔｒ ｄ ｏ ｈ Ｏ ｅｐ ｉ ｔ， ｈ ｎ ｄ ｖ ｄ ｔ ｇ ｒ ｉ ｔｉ ｇ ｎ ｏ ａ ｆｅ ｔ ｒ ａ ｄ ｈ ｉ ｐ ｖ ｘ ，ｔ ｒ ａ ｗａ ｎ ｚ ｂ ｌ ｄ
目前 主要用于身份 鉴定的人体生物学特征主要包
括指纹 、掌纹 、声音、虹膜、Ｄ ＮＡ等等【。在现有的 ｌ Ｊ 生物特 征识别体系 中，指纹识别 由于有着系统识别装 置 简单 ，采集指纹数据方便，识别算法快速等优点而
被广泛采 用 。现有的指纹技术主要分为两大类 ：基于
纹理特征提取方法
纹理特征提取方法纹理特征提取是图像处理和计算机视觉领域的重要研究方向之一，受到了广泛关注。
纹理特征提取的目的是从图像中提取出与纹理相关的特征，这些特征可以用于图像分类、目标检测、图像分割等任务。
本文将介绍一些常用的纹理特征提取方法，并对它们的原理和应用进行详细阐述。
1. 统计纹理特征：统计纹理特征是最常用的一类方法，它们基于图像的灰度分布、边缘直方图、自相关矩阵等统计信息来描述纹理特征。
其中最著名的方法是局部二值模式(LBP)，它通过比较像素与周围邻域像素的灰度值大小来构造二进制编码，然后用这些编码来描述图像的纹理特征。
LBP具有旋转不变性和灰度不变性的特点，因此在人脸识别、纹理分类等领域取得了广泛应用。
2. 滤波纹理特征：滤波纹理特征是另一类常用的方法，它通过对图像进行一系列滤波操作，提取出与纹理相关的特征。
常用的滤波器包括高斯滤波器、拉普拉斯滤波器、小波变换等。
例如，Gabor滤波器是一种常用的纹理特征提取方法，它可以对图像进行多尺度、多方向的滤波操作，得到多个特征图像，然后将这些特征图像进行组合，得到最终的纹理特征表示。
滤波纹理特征具有较好的局部性和尺度不变性，因此在纹理分类、图像检索等任务中表现出较好的性能。
3. 频域纹理特征：频域纹理特征是一类基于频域分析的方法，它通过对图像进行傅里叶变换或小波变换等操作，将图像从空间域转换为频率域，然后提取出与纹理相关的特征。
其中最典型的方法是基于功率谱密度(PSD)的纹理特征提取方法。
PSD表示了图像在频域上的能量分布，它通常通过对图像的傅里叶变换进行幅度平方操作得到。
频域纹理特征具有较好的局部性和旋转不变性，因此在纹理分类、医学图像分割等领域具有广泛的应用前景。
4. 结构纹理特征：结构纹理特征是一类基于局部结构的方法，它通过对图像的像素之间的关系进行建模，提取出与纹理相关的特征。
其中最著名的方法是局部二阶统计纹理特征，它通过计算图像的局部协方差矩阵、局部相关矩阵等来描述图像的纹理特征。
基于小波变换的特征提取方法分析
基于小波变换的特征提取方法分析首先，从基本原理上讲，小波变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
与传统的傅里叶变换不同，小波变换不仅可以提供频域信息，还可以提供时域信息。
它通过对信号进行多尺度分析，将信号分解为不同频率的小波子项，再对每个小波子项进行进一步的分解，直到达到所需的尺度。
这样可以将信号的频域和时域特征同时提取出来。
小波变换具有一些特点和优势。
首先，小波变换具有局部性，即在时域上对信号的其中一局部进行分析。
这使得小波变换能够更准确地捕捉信号的瞬态特征。
其次，小波变换具有多尺度分辨率，可以适应不同频率的信号。
它能够精确地分解信号的不同频率成分，进而提取出更多的频域信息。
此外，小波变换还具有平移不变性，即对于信号的平移不敏感。
这使得小波变换具有较好的时移不变性，可以更好地应对信号中存在的时间偏移。
基于小波变换的特征提取方法主要有以下几种。
第一种是基于小波包变换的特征提取方法。
小波包变换是小波变换的一种扩展形式，能够将信号进一步分解为更小的子带。
通过对小波包系数的统计特征进行提取，如均值、方差等，可以获得一组反映信号频域特征的特征向量。
第二种是基于小波能量谱的特征提取方法。
通过计算不同尺度小波变换系数的能量，可以得到信号在不同尺度上的频域特征。
第三种是基于小波熵的特征提取方法。
小波熵是一种量化信号中的不确定性和复杂性的指标，可以反映信号的时域和频域特征。
通过计算小波熵和其它相关指标，可以提取出信号的时频特征。
基于小波变换的特征提取方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，在语音信号处理中，可以利用小波变换提取语谱图，用于语音识别和语音合成。
在图像处理中，可以利用小波变换提取图像的纹理特征，用于图像分类和图像检索。
在生物医学信号处理中，可以利用小波变换提取脑电图和心电图的时频特征，用于疾病诊断和治疗。
综上所述，基于小波变换的特征提取方法是一种强大的信号处理工具，能够同时提取信号的频域和时域特征。
它具有局部性、多尺度分辨率和平移不变性等特点，适用于各种领域的特征提取和信号分析任务。
如何利用小波变换进行图像特征提取
如何利用小波变换进行图像特征提取引言：图像特征提取是计算机视觉领域中的重要任务之一，它可以帮助我们从图像中提取出有用的信息。
小波变换作为一种强大的信号处理工具，被广泛应用于图像特征提取中。
本文将介绍小波变换的原理及其在图像特征提取中的应用。
一、小波变换的原理小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
小波变换的核心是小波函数，它具有时域和频域的双重特性。
通过对信号进行小波变换，我们可以得到信号在不同尺度和频率上的分量，从而实现对信号的分析和处理。
二、小波变换在图像特征提取中的应用1. 边缘检测边缘是图像中重要的特征之一，它可以帮助我们理解图像的结构和形状。
小波变换可以通过对图像进行高频分析，提取出图像中的边缘信息。
通过对小波变换的高频分量进行阈值处理，我们可以得到图像中的边缘信息。
2. 纹理分析纹理是图像中的一种重要特征，它可以帮助我们识别和分类不同的物体。
小波变换可以通过对图像进行多尺度分析，提取出图像中的纹理信息。
通过对小波变换的低频分量进行统计分析，我们可以得到图像中的纹理特征。
3. 物体识别物体识别是图像处理中的一项重要任务，它可以帮助我们识别和分类不同的物体。
小波变换可以通过对图像进行多尺度和多方向分析，提取出图像中的物体信息。
通过对小波变换的多尺度和多方向分量进行特征提取，我们可以得到图像中的物体特征。
三、小波变换的优势和挑战1. 优势小波变换具有多尺度和多方向分析的能力，可以提取出图像中的丰富信息。
同时，小波变换还具有良好的局部性和时频局部化特性，可以更好地适应图像的局部特征。
2. 挑战小波变换的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。
同时，小波变换对信号的平稳性和周期性有一定的要求，对于非平稳和非周期信号的处理效果可能较差。
结论：小波变换作为一种强大的信号处理工具，在图像特征提取中具有广泛的应用前景。
通过对图像进行小波变换，我们可以提取出图像中的边缘、纹理和物体等重要特征，从而实现对图像的分析和处理。
基于小波变换的纹理特征提取
厶 Ｌ ，
ＨＨ， Ｌ。 Ｌ Ｈ。 ＨＨｌ
图像 的内容包括 图像的颜色 、 理 、 纹 形状等视 觉特征 和语义特征 。 其巾 ， 纹理特 征作为最为 显著的视 觉特征之 一 ， 它是 一种不依赖 于颜色 或亮度 反映 图像 中同质现象 的视觉特征 。 纹理特征包含 了物体表面结构
组织排 列的重要信息 ， 以及与周 围环境 的联系 ｌ 。因此在基 于内容的图 １ ］
表 １ ｆ ｗ ｒ的二 层 小 波 系数 分 析 ｌ ｅ ｏ 图 号
Ｌ Ｌ
小波变换能将原始图像的能量集 巾到少 部分小波 系数上 ， 分解后的小 且
波系数在 ３个方向的细节分量有高度 的局 部相关性 ， 这为特征提 取提供 了有利 的条件 ，因此本研究提 出了采用小 波变换提取 图像 的纹 理特征 ， 实验结果表明 了该方法能够取得较好的检索结果。
１ ３６ ０ ．３ １ ３７ ０ ．９
５ｌ７ 、９ ３ ．８ ９２ ２ ．２ ８５ ｌ、 ５４３
－８ ． ３４ｌ ７ ｌ ３、 ８
－５ 、 ２ ７７ —３ 、０ ｌｌ －２ ０ ９．９ 一ｌ － ｌ ３８
２６ 、８ ２７ 、６
ｌ４ 、７ ０ ７ｌ 、 ０８ －３ ０２ 、５
５６ 、９ ５５ 、７
２９ ．６ ｌ５ 、６ １７ ．４ ０５ 、９
从表 ｌ可 以看 出 ， 小波 变换 系 数 具 有 以下 几 个 特 点 ：
（） １ 随着 分层数的增多 ， 小波 系数的范围越来越 大 ， 说明了越往后小
基于Gabor小波变换的图像纹理特征提取
基于Gabor小波变换的图像纹理特征提取【摘要】本文对Gabor小波极其滤波器进行了介绍，对利用Gabor小波变换提取图像特征的方法进行了阐述。
【关键词】Gabor小波；紋理；滤波器；数字图像紋理特征是所有物体表面所共有的内在特性，包含了关于物体表面的组织结构排列的重要信息以及它们与周围环境的联系。
在自然界中，如树木、织物等，均具有各自的紋理特征。
在计算机视觉研究中，人们还发现，紋理特征具有一种不依赖于颜色或亮度的反映图像中同质现象的视觉特征，可以从微观上区分图像中不同的物体。
因此，紋理特征是经常要提取的特征。
最常用的提取紋理特征的方法是灰度共生矩阵法。
但这种方法占用内存多，运行速度较慢。
而Gabor变换不但具有最小的时频窗，而且Gabor函数与哺乳动物的视觉感受野相当吻合。
这一点对研究图像特征检测或空间频率滤波非常有用。
恰当的选择Gabor变换的参数，可以出色地进行图像分割、识别与理解。
现简单介绍如下：1.Gabor滤波器的设计Gabor函数的定义为：（1-1）它的傅里叶变换G（u，v）为：（1-2）其中，W为高斯函数的复调制频率。
以g（x，y）为母小波，则通过对g（x，y）进行适当尺度变换和旋转变换，就可以得到自相似的一组滤波器，称为Gabor小波。
（1-3）式中，这里表示总的方向数目（n∈[0，K]），为尺度因子，在上式中用来确保其总的能量与m无关。
由傅里叶变换的线性特性可知，通过改变m和n的值，便可以得到一组方向和尺度都不同的滤波器。
Gabor小波集的非正交性意味着经滤波后的图像中有冗余信息。
可以用下面的方法来减少这些冗余信息。
设和分别代表高频和低频的中心频率，设K是方向的数目，S代表多分辨率分解时尺度变化的次数。
这样，滤波器设计的策略为：确保Gabor滤波器组的响应在频率上半峰幅值能相互接触，且互不重叠。
这样，就可以得到如下计算滤波器参数的公式：（1-4）（1-5）式中：.，图1是经过Gabor小波滤波后的图像，滤波器的从尺度和较度一次增大：2.紋理特征描述与提取给定一幅图像I（x，y），它的Gabor小波变换可定义为：（2-1）这里，*代表取其共轭复数。
如何使用小波变换进行信号特征提取
如何使用小波变换进行信号特征提取信号特征提取是信号处理领域中的一个重要任务，它可以帮助我们从复杂的信号中提取出有用的信息。
而小波变换作为一种有效的信号分析工具，被广泛应用于信号特征提取中。
本文将介绍如何使用小波变换进行信号特征提取，并探讨其在实际应用中的优势和限制。
一、小波变换简介小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同尺度和频率的小波系数。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域局部性。
小波变换通过对信号进行连续或离散的小波分解，得到小波系数，从而实现信号的特征提取和分析。
二、小波变换的优势1. 多分辨率分析能力：小波变换可以将信号分解成不同尺度的小波系数，从而提供了多尺度的信号分析能力。
这使得小波变换在处理具有不同频率成分的信号时具有更好的适应性。
2. 时域和频域局部性：小波变换具有时域和频域局部性，能够更好地捕捉信号的瞬态特征和局部频率变化。
这使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，例如生物信号、地震信号等。
3. 信息压缩能力：小波变换可以通过对小波系数的阈值处理，实现信号的信息压缩。
这对于存储和传输大量信号数据时非常有用，可以减少数据量并保留重要的特征信息。
三、小波变换的应用小波变换在信号特征提取中有广泛的应用，下面以几个具体的应用领域为例进行介绍。
1. 生物医学信号处理：小波变换可以用于生物医学信号的特征提取，如心电图（ECG）信号的QRS波群检测、脑电图（EEG）信号的睡眠分期等。
通过对小波系数的分析，可以提取出与特定疾病或状态相关的特征，为医学诊断和监测提供支持。
2. 图像处理：小波变换可以用于图像的特征提取和压缩。
通过对图像的小波分解，可以提取出不同尺度和方向的纹理特征，用于图像分类、目标检测等任务。
同时，小波变换还可以实现图像的压缩编码，减少图像数据的存储和传输量。
3. 振动信号分析：小波变换可以用于振动信号的故障诊断和预测。
通过对振动信号进行小波分解，可以提取出与故障特征相关的频率成分和能量分布，从而实现对机械设备的故障检测和健康状态评估。
基于小波变换的浮选泡沫图像纹理特征提取
文献 码： 标识 Ａ
中圈分类号： Ｐ９ Ｔ３１
基 于 小 波 变换 的 浮 选 泡 沫 图像 纹 理 特征 提 取
唐朝 晖，孙园园，桂卫华 ，刘金 平
（ 中南大学信息科学与工程学院 ，长沙 ４０ ８） １０ ３ 摘 要：随矿物浮选工况 的变化 ，精选泡沫表面出现亮度分布不均、灰度分布差异性 大的特 点 ， 表现 出明显 的纹理特性 。为定量分析精选
ｂ ｇ ｔ ｅ ｓ ａ ｄ ｇ ｅ ｔｄ ｆｅ ｅ ｃ ｆ ｇ ａ ｅ ｅ ｉｔｉ ｕ ｉ ｎ ｎ ｏ ｄ ｒ【 ｎ ｌ ｚ ｈ ｅ ａｉ ｎ ｅ ｗｅ ｎ ｔｘ ｕｒ ｅ ｔ ｒ ｓ ｏ ｕ ｂ ｅ ｓ ｒａ ｅ ａ ｄ ｆｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｒ ｈ ｎ ｓ ｎ ｒ ａ ｉ ｒ ｎ ｅ ｏ ｒ ｙ ｌｖ ｌｄ ｓｒｂ ｔｏ ．Ｉ ｒ ｅ ０ ａ ａ ｙ ｅ ｔ ｅ ｒ ｌ ｔｏ ｂ ｔ ｅ ｅ ｔ ｅ ｆ ａ ｅ ｆｂ ｂ ｌ ｕ ｃ ｎ ｔ ｔ ｕ ｆ ｏ
第３ ７卷 第 １ 期 ８
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２ １ 年 ９月 ０１
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Ｎｏ． ８ １
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图形 图像处 理 ・
文章编号： ００＿４８０１８ ２６ ３ ｌｏ－ ２（ ｌ１ ０—ｏ －３ ２ ）—０
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１ 概述
浮选 是矿物加工 中应用最广泛的一种选矿方法 ，用于从 矿石 中提取有 用矿物 。在化学药剂等作用下 ，有用矿物疏 水 粘附在气 泡上 ，进 入泡沫层 ，刮 出为精矿 ，因此浮选过程受 药剂 、通气量和刮板速度等 因素 的影响 。目前 ，选厂主要依 靠有经 验 的工 人观察 泡沫表 面状态 ，调整 矿浆液 位和 加药 量。然而实 际操作 的主观性和随意性较大 ，对泡沫结构的判 断没 有统一 的标准 。数字 图像处理技术的应用为工业浮选过
图像纹理特征提取方法综述
图像纹理特征提取方法综述一、本文概述随着计算机视觉和图像处理技术的飞速发展，图像纹理特征提取已成为该领域的一个重要研究方向。
纹理作为图像的基本属性之一，反映了图像的局部模式和结构信息，对于图像识别、分类、分割等任务具有至关重要的作用。
本文旨在全面综述图像纹理特征提取方法的研究现状和发展趋势，以期为相关领域的研究人员提供有益的参考和启示。
本文将首先介绍纹理特征提取的基本概念和研究意义，阐述其在图像处理和分析中的重要性。
随后，将详细综述经典的纹理特征提取方法，包括基于统计的方法、基于结构的方法、基于模型的方法和基于变换的方法等，分析它们的优缺点和适用范围。
在此基础上，本文将重点介绍近年来新兴的深度学习纹理特征提取方法，包括卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）等，探讨它们在纹理特征提取方面的优势和应用前景。
本文还将对纹理特征提取方法的应用领域进行简要介绍，包括图像分类、目标检测、图像分割等，并展望未来的研究方向和挑战。
通过本文的综述，我们希望能够为相关领域的研究人员提供全面的纹理特征提取方法知识，促进该领域的进一步发展。
二、纹理特征提取的基本概念和原理纹理是图像的一种重要属性，描述了图像局部区域的像素排列模式和重复结构。
纹理特征提取旨在从图像中识别并量化这些模式，以用于诸如图像分类、目标识别、场景理解等计算机视觉任务。
在进行纹理特征提取时，主要涉及到几个核心概念，包括滤波器、特征向量、统计量以及纹理模型。
滤波器：滤波器在纹理特征提取中扮演着关键角色，用于检测图像中的特定频率和方向信息。
常见的滤波器包括Gabor滤波器、小波变换滤波器、局部二值模式（LBP）滤波器等。
这些滤波器能够在不同尺度上提取图像的局部信息，从而捕获到纹理的精细结构。
特征向量：通过滤波器处理后的图像数据需要进一步转化为特征向量，以便进行后续的分析和比较。
特征向量通常是一组数值，用于量化图像中某一区域的纹理特征。
常见的特征向量包括灰度共生矩阵（GLCM）的统计量、傅里叶变换系数、小波变换系数等。
基于小波变换的图像特征提取算法研究
基于小波变换的图像特征提取算法研究图像是一种广泛应用的数据形式，随着科技进步，图像的处理和应用也越来越复杂。
一个图像通常会包含大量细节信息，其中有些信息对于特定的应用非常重要。
因此，如何从一张图像中提取出关键信息，成为了图像处理领域的一个重要问题。
其中一个被广泛使用的技术就是小波变换。
小波变换是一种将信号分解成高频和低频小波函数的方法。
它可以用于不同领域的信号分析和处理，包括音频处理、图像处理、视频压缩等。
在图像处理领域，小波变换可以被用于图像特征提取，这对于图像分类、识别、跟踪等应用非常重要。
基于小波变换的图像特征提取算法首先会将原始图像分解成不同的频率子带。
这些子带包含了图像不同频率的信息。
接下来，算法会选择一些特定的频率子带进行分析和处理，以提取出有用的特征信息。
这些特征可以是局部的、全局的，也可以是基于图像的某些属性如颜色、纹理等的信息。
最后，通过对这些特征信息进行组合和分类，可以实现具体的应用。
对于基于小波变换的图像特征提取算法，有许多具体的实现方案。
其中一种常见的方案是基于小波包变换。
小波包变换是对小波变换的一种拓展，它可以更细致地对图像信息进行分解，提高算法的精度和稳定性。
另外，基于小波变换的图像特征提取算法还可以结合其他技术进行优化。
例如，可以将小波变换得到的特征信息与神经网络结合，以进一步提高分类准确率。
同时，算法的实现也需要考虑到计算复杂度和运行时间等问题，以保证算法的实用性和效率。
基于小波变换的图像特征提取算法在图像处理领域有着广泛的应用。
它可以用于医学影像分析、图像识别、面部识别等多个领域。
例如，可以通过提取图像的纹理信息和颜色信息，将图像分类为室内、室外、人物、车辆等类别。
在医学影像分析中，可以通过提取图像中细节信息和异常区域，辅助医生进行诊断和治疗。
总之，基于小波变换的图像特征提取算法具有重要的理论意义和实用价值。
它可以帮助我们从图像中提取出有用的特征信息，辅助我们实现各种图像处理应用。
小波变换在机器学习中的特征提取和分类问题
小波变换在机器学习中的特征提取和分类问题近年来，机器学习在各个领域取得了巨大的发展。
然而，对于复杂的数据集，如图像、声音和文本等，特征提取一直是一个具有挑战性的问题。
为了解决这个问题，小波变换成为了一种重要的工具。
小波变换是一种数学方法，可以将信号分解成不同频率的子信号，从而提取出信号的特征。
首先，让我们来了解一下小波变换的基本原理。
小波变换使用一组称为小波基函数的函数来分析信号。
这些小波基函数具有不同的频率和时间尺度，可以适应不同类型的信号。
通过对信号进行小波变换，我们可以得到信号在不同频率下的能量分布。
这种能量分布可以用来描述信号的特征，例如频率成分和时域特性。
在机器学习中，特征提取是非常重要的。
特征提取的目的是将原始数据转化为一组有意义的特征，以便于后续的分类或回归任务。
传统的特征提取方法通常基于统计学或频域分析。
然而，这些方法往往无法捕捉到信号中的局部特征和时域信息。
而小波变换可以通过分析信号的局部特征来提取更加准确的特征。
小波变换在特征提取中的应用非常广泛。
例如，在图像处理中，小波变换可以将图像分解成不同尺度和方向的子图像。
这些子图像可以捕捉到图像的边缘、纹理和形状等特征。
通过对这些子图像进行特征提取，我们可以得到一组有意义的特征，用于图像分类和识别任务。
类似地，在语音识别中，小波变换可以将语音信号分解成不同频率的子信号，从而提取出语音的频谱特征和语音特征。
这些特征可以用于语音识别和情感分析等任务。
除了特征提取，小波变换还可以用于分类问题。
分类是机器学习中的一个核心任务，其目标是将数据分为不同的类别。
传统的分类方法通常基于统计学或机器学习算法，如支持向量机和随机森林等。
然而，这些方法往往无法处理高维数据和非线性关系。
小波变换可以通过提取信号的局部特征来解决这个问题。
通过对信号进行小波变换，我们可以得到一组有意义的特征，用于分类任务。
这些特征可以用于训练分类器，如神经网络和决策树等。
通过将小波变换与分类器结合起来，我们可以提高分类的准确性和鲁棒性。
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本 目 任 辑 李 瑾 栏 责 编 ： 桂
・ ・ ・ 工智 能 及 识别 技术 ・ ・ ・ 人
基 于小波变换 的纹 理特征提取分析
韩 琳 ’杨 明 ．
（． 东 师 范 大 学 传 播 学 院 ， 东 济 南 ２０ １ ；． 东 大 学 人 事 处 ， 东 烟 台 ２ ４ ２ ） １山 山 ５ ０４ ２鲁 山 ６ ０ ５
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，（ 一２七 ∈ ， ∈ｚ ）
中图分类号 －Ｐ ９ Ｔ ３１
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ９ ３ ４ （０ ７１ — １ ９ — １ １ ０ — ０ ４２ ０ ）１ ２ ３ ５ ０
ＨＡ Ｎ ｎ ，ＹＡＮ Ｇ ｉ ａ Ｌｉ Ｍ ｎｇ
Ｔｅ ｔ ｒ ｅ ｔ ｒ ｔ ｒ ｃ ｉｎ Ｂａ ｅ ｎ Ｗ ａ ｅ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｏ ｍａ ｅ Ｒｅ ｒ ｖ ｘ ｕ ｅ Ｆ ａ ｕ ｅ Ｅｘ ａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｏ ｖ ｌｔＴｒ ｎ ｆ ｒ ｆ ｒ Ｉ ｇ ｔ ｅ ａＩ ｉ
难 。近年 来 ， 于 内容 的 图像 检 索 技 术 （ＢＲ 有 了 长 足发 展 。该技 基 Ｃ Ｉ） 术 通 过 对 图 像 内 容 的 分 析 ， 其 特 征 进 行 合 理 描 述 ． 用 图 像 视 对 利 觉 特 征 检 索 图像 ， 得 检 索 过 程 更 加 有 效 ， 索 结 果 更 能 贴 近 人 使 检 的视 觉 感 受『１ １。 在 基 于 内容 的图 像 检 索 技 术 中 ． 关 键 的 问题 是 抽 取 有 效 的 最 视 觉 特 征 参 数 【】 ２。研 究 表 明 ， 理 特 征 是 最 为显 著 的 视觉 特 征 之 纹 充 分利 用纹 理 特 征 能 大 大 提 高 图 像 检 索 的准 确 率 。但 由 于 纹 理 特征 提 取 的复 杂性 ，纹 理 特 征 的有 效 描 述 方 法 就 显 得 至 关 重 要 。通 常 我 们 希 望 纹 理 特 征 的维 数 不 大 。 取 特 征 参 数 的 计 算 量 抽 小， 能够 对 大 量 的 未 知类 型 的纹 理 进 行 正 确 的分 类 和 理 解 。
摘 要 ： 图像 检 索技 术 中 ， 分利 用 纹理 特 征 能 大 大提 高 图像 检 索的 准 确 率 。 小 波 变换 的方 法提 取 图像 纹 理 特 征 参数 优 势 明显 ． 在 充 用 也
符合 纹 理 识 别 的 特 点
关键词 ： 图像 检 索 ： 纹理 特 征 ： 波 变换 小
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ ｉ ｇ ｅｒ ｖ ； ｅ ｔ ｒ ｅ ｔ ｒ ； ｖ ｌｔ ｒｎ ｆ ｒｎ ｄ ： ｍａ ｅ ｒｔ ｅ ａ ｔｘ ｅ ｆａｕ ｅ ｗａ ｅｅ ａ ｓ ｒ ｉ ｌ ｕ ｔ ｏ
１ 引 言
在 通 过 网络 传 输 的众 多类 型 信 息 中 ， 图像 信 息 以 其 形 象 直 观 、 息量 大 等 特 点 ， 为 重 要 组 成 部 分 。但 图像 信 息 数 据 量 大 ， 信 成 种 类 繁 多 ， 之 排 列 方 式 错 综 复 杂 ， 给 相 应 的 图像 检 索 带 来 困 加 这
２ ４ ２， ｉ ） ６ ０ ５ Ｃｈｎ ａ
Ａｂ ｔａ ｔＩ ｍａ ｅ ｒｔｉｖ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｔ ｅ ｅ ａ ｔ ｕ ｅ ｒｔ ｓｉ ｒ ｖ ｄ ｉ ｈ ｙ ｏ ｘ ｍｕ ｕ ｉ ｚ ｔ ｎ ｏ ｘ ｒ ｅ ｔ ｒ ｓ ｒ ｃ ： ｉ ｇ ｅ ｒ ａ ｔｃ ｎ ｌ ｇ ， ｈ ｘ ｃ ｔ ｄ ａｅ ｉ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｔ ｅ ｗａ ｆｍａ ｉ ｍ ｔ ｉ ｉ ｆ ｎ ｅｌ ｉ ｌａ ｏ Ｔｅ ｔ ｅ Ｆ ａ ｅ ｕ ｕ
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５Ｒｅｚ 存 在性 ： （ ∈Ｖ ， 得 ｛ （ ２ ） Ｚ 构 成 Ｖ 的 ．ｉ 基 ｓ ３ ｘ ） ｊ 使 ｃｘ Ｊ ｌ ｝ ｂ － ｋ ｋ∈ ＿ Ｒｅｚ ， Ｖｆ ）Ｖ ， 在 唯 一 序 列 ｛ ｝ ２ ）使 得 ｉ 基 即 （ ＝ ｊ存 ｓ ｘ ａ ＥＬ（ ， ｋ Ｒ
， ＝ （ ∑ （ ∞ ） 一