2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考数学试题(B卷)(含答案)

2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考
数学试题（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|−2≤x<2}，B={x|x≥−1}，则集合A∩B为( )
A. {x|x≥−2}
B. {x|−1<x<2}
C. {x|−1≤x<2}
D. {x|−2≤x<2}
2.命题“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定为( )
A. ∃x∈R，x2+2x+1≤0
B. ∀x∉R，x2+2x+1≤0
C. ∃x∉R，x2+2x+1>0
D. ∀x∈R，x2+2x+1≤0
3.若幂函数y=(9m−2)x m，则m=( )
A. 1
3B. 1
2
C. 2
D. 1
4.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−1，则f(−2)=( )
A. −5
4B. −3
4
C. −3
D. 3
5.已知函数f(3x)=6x−4，且f(m)=8，则m=( )
A. 2
B. 6
C. 25
D. 44
6.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1<x<6};乙写错了常数c，得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的解集为( )
A. {x|−1<x<6}
B. {x|−6<x<1}
C. {x|−3<x<−2}
D. {x|2<x<3}
7.若0<a<b<1，则( )
A. a a<b a，b b<a b
B. b a<a a，b b<a b
C. b a<a a，a b<b b
D. a a<b a，a b<b b
8.已知函数f(x)={|x2−4x−5|,x≥0,
1−3x,x<0,则方程[f(x)]2−6f(x)+5=0的解的个数为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下表是某市公共汽车的票价y(单位：元)与里程x(单位：km)之间的函数，如果某条线路的总里程为
20km，那么下列说法正确的是( )
x
0<x <55≤x <1010≤x <1515≤x ≤20y =f(x)
2345A. f(6)=3 B. 若f(x)=3，则x =6
C. 函数的定义域是(0,20]
D. 函数的值域是{2,3,4,5}10.已知定义在R 上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①f(x)为偶函数; ②f(x)为[0,+∞)上的减函数; ③f(−2)=0，下列选项成立的是( )
A. f(x)的单调递增区间为(−∞,0]
B. f(1)<f(−3)
C. 若f(x−1)>f(1)，则x ∈(−∞,0)∪(2,+∞)
D. 若xf(x)>0，则x ∈(−∞,−2)∪(0,2)
11.若a >0，b >0，且1a +2b =1，则下列说法正确的是( )
A. a +b 的最大值是3+2 2
B. ab 的最小值是8
C. a(b−1)的最小值是3+2 2
D. 4a 2+b 2的最小值是32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数f(x)=x 2−x 的定义域为 ．13.已知一元二次不等式(k−3)x 2+2(k−3)x−4<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 ．
14.我们用||x||表示实数x 到离它最近的整数的距离，例如||−1||=0，||74||=14，||−35||=2
5，则||x||的最大
值是 ;对于函数f(x)=||x 2||，若满足f(x)=f(2 3x)，则f(x)有 种可能的值．四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
(1)化简 (π−4)2−(− 2)4+(2024)0;
(2)已知 x −1
x =2，求x +1x 的值．16.(本小题12分)
已知集合A ={x|x 2−(2m +1)x +m 2+m <0}，B ={x|2x−2
x +1<1}．
(1)当m =1时，求A ∩B;
(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
17.(本小题12分)
某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年
(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3促销费用m万元(m≥0)满足x=4−k
m+1
万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销
元来计算)的1.5倍．
售价格定为每件产品年平均成本(此处每件产品年平均成本按9+18x
x
(1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少?
18.(本小题12分)
．
设函数f(x)=x2+1
x2−1
(1)若m>0，且f(m)=3，求m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论;
(3)若f(x)≥a−1
对任意的x∈[2,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
x2−3
19.(本小题12分)
给定函数f(x)，g(x)，我们用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}．
(1)若f(x)=|x+2|，g(x)=x2，请用解析法表示M(x)，并求出M(x)的最小值．
(2)若f(x)=−2x+1，g(x)=(x−1)2−a，其中a为实数．
(ⅰ)当a=2时，写出M(x)的解析式;
(ⅱ)若M(x)的图象与x轴有交点，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.B
6.D
7.D
8.B
9.ACD
10.AD
11.BCD
12.(−∞,2)
13.(−1,3)
14.1
2
；12
15.解：(1)原式=|π−4|−(2)4+1=4−π−4+1=1−π；
(2)∵x−1
x
=2，
∴(x−1
x
)2=4，即x−2+1
x
=4，
∴x+1
x
=6．
16.解：(1)当m=1时，A={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，
∵B={x|−1<x<3}，
∴A∩B={x|1<x<2}；
(2)∵A={x|x2−(2m+1)x+m2+m<0}={x|[x−(m+1)](x−m)<0}，∴A={x|m<x<m+1}，∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A⫋B，
显然A≠⌀，则由A⫋B⇒{−1≤m,
m+1≤3,解得−1≤m≤2.
17.解：(1)由题意知，当m=0时，x=3，则3=4−k，解得k=1，
所以x=4−1
m+1
，
因为每件产品的销售价格为1.5×9+18x
x
元，
所以2025年该产品的利润y=1.5x×9+18x
x −9−18x−m=40.5−9
m+1
−m(m≥0)．
(2)因为当m≥0时，m+1>0，
所以9
m+1
+m+1≥29=6，
当且仅当9
m+1
=m+1，即m=2时，等号成立．
所以y≤−6+41.5=35.5．
故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元．
18.解：(1)∵f(m)=3，∴m2+1
m2−1
=3，∴m2=2，
又m>0，则m=2；
(2)f(x)在区间(1,+∞)上单调递减．
证明：f(x)=x2+1
x2−1=1+2
x2−1
∀x1，x2∈(1,+∞)，且x1<x2，
则f(x1)−f(x2)=
2
x21−1
−
2
x22−1
=2(x 2
2
−x21)
(x21−1)(x22−1)
，
由1<x1<x2，得1<x21<x22，
∴x22−x21>0，(x21−1)(x22−1)>0，
∴2(x 2
2
−x21)
(x21−1)(x22−1)
>0，
于是f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减．
(3)f(x)≥a−1
x2−3
对任意的x∈[2,+∞)恒成立，
即x2+1
x2−1≥a−1
x2−3
对任意的x∈[2,+∞)恒成立，(∗)
设x2−1=t，由x∈[2,+∞)可得t∈[3,+∞)，
(∗)式等价于t+2
t ≥a−1
t−2
，
因为t−2>0，整理得t−4
t
≥a−1恒成立，
设g(t)=t−4
，由对勾函数性质知，
t
g(t)在[3,+∞)上单调递增，g(t)最小值为g(3)=5
．
3
故a−1≤g(3)=5
．
3
∴a≤8
，
3
].
∴实数a的取值范围是(−∞,8
3
19.解：(1)设ℎ(x)=x2−|x+2|={x2−x−2,x≥−2,
x2+x+2,x<−2,
当x<−2时，ℎ(x)=x2+x+2>0;
当x≥−2，ℎ(x)=x2−x−2，令ℎ(x)≥0，得x≥2或−2≤x≤−1;
当−1<x<2时，ℎ(x)<0．
故当x∈(−∞,−1]∪[2,+∞)时，g(x)≥f(x);
当x∈(−1,2)时，g(x)<f(x)．
故M(x)={x2,x∈(−∞,−1]∪[2,+∞),
|x+2|,x∈(−1,2).
当x∈(−∞,−1]∪[2,+∞)时，M(x)有最小值1;
x∈(−1,2)时，1<M(x)<4．
综上，M(x)的最小值为1．
(2)设φ(x)=f(x)−g(x)=−2x+1−(x−1)2+a=−x2+a，
(i)当a=2时，φ(x)=−x2+2，φ(x)在(−∞,0)上是增函数，在(0,+∞)上是减函数，且φ(2)=φ(−2 )=0，
故当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，φ(x)<0;
当x∈(−2,2)时，φ(x)>0，
所以M(x)={−2x+1,−2<x<2,
(x−1)2−2,x≤−2或x≥2.
(ii)φ(x)=f(x)−g(x)=−x2+a，φ(x)在(−∞,0)上是增函数，在(0,+∞)上是减函数，
 ①当a<0时，φ(x)<0，f(x)<g(x)恒成立，
故M(x)=g(x)=(x−1)2−a>0，此时M(x)图象与x轴无交点;
 ②当a=0时，φ(x)=−x2≤0，即f(x)≤g(x)，
故M(x)=g(x)=(x−1)2，可知，M(x)与x轴有交点(1,0);
 ③当a>0时，φ(x)=−x2+a，令φ(x)=0，解得x=±a，
可知，当x∈(−∞,−a)∪(a,+∞)时，φ(x)<0;
当x∈(−a,a)时，φ(x)>0，
故M(x)={−2x+1,−a<x<a,
(x−1)2−a,x≤−a或x≥a,
则M(a+1)=(a+1−1)2−a=0，即M(x)图象与x轴有交点(a+1,0)．综上，a的取值范围为a≥0.。