1-6 弱导近似

[∇
和
2 t
2 t
2 2 2 + k0 n − β2 R E tR = −∇ t E tR • ∇ t ln n
2 2 + k0 n − β2 w E tw = 0
]
[
]
(1-6-5) (1-6-6)
[∇
]
将 E tR • (1 − 6 − 6 ) − E tw • (1 − 6 − 5) 对整个横截面积分，得到
当介电常数由 ε(x , y ) 变为 ε(x , y ) + δε(x , y ) 时，场解 F(x，y)及传播常数β均相应变至
F( x , y) + δF(x , y ) 及 β + δβ 。下面将证明：在一阶近似 条件下, δβ正比于δε, 而与δF 无关。 ．．．．
对于扰动后的场，式（1-6-3）可写为
]
(1-6-3)
其中 F 可以代表 Ex、Ey、Hx 或 Hy。式（1-6-3）的特点在于， ∇ t 不一定要在直角坐标系中展 开，而是视 n (ξ, η) 而定。例如，对于圆截面光纤，n=n(r)， ∇ t 就在圆柱坐标系中展开为
2
①
由§1-1 的折射率定则可知, ∆
≤ 1 的光波导,导光能力很弱,故得名.
ˆ 或只有 E y y ˆ ，而与折射率的横向分布规律无关 ˆ 、 Hxx ˆ 、 Hv y 总可以 使 Et 和 Ht 只有 E x x 。 ．．
换言之， 矢量波动方程式（1-3-13）将化为标量波动方程（忽略 ∇ t ln n 项）
2
[∇
2 t
2 2 + k0 n (ξ, η) − β 2 F(ξ, η) = 0 2
(1-7-1) (1-7-2)
将式（1-7-2）两边都乘以 F，并在整个横截面 A∞ 积分，利用二维散度定理得
δβ 2 ∫ F 2 dA = ∫
A∞
[FH (δF ) − β FδF]dA = ∫ [FH (δF ) − H (F)δF]dA = ∫ [F (∇ δF + k n δF ) − (∇ F + k n F )δF ] dA = ∫ [F (∇ δF ) − (∇ F )δF ] dA = ∫ ∇ • [F (∇ δF ) − δF(∇ F )] dA = ∫ ∇ [− δF∇ F + F∇ δF ] • d l = 0
这两种偏振态的本征值将完全相同，称为简并。对于椭圆截面光纤，x、y 可分别与其长轴和短
ˆ 和E y y ˆ 的本征值 β x 和 β y 并不相等，这种现象称为线双折射。实际 轴重合，但此时相应于 E x x
的圆截面光纤总有一定的椭圆度，因而造成同一模式中两个偏振态的传播常数总是有些不同。 关于偏振态的讨论见本书第九章。
[
]
(1-7-8)
式（1-7-8）右方第二项为 0。为了证明此点，在式（A1-15）中分别令 ϕ = δF ， A = ∇ t δF 以 及 δ = F,
A = ∇ t F ，则有
∇2 t =
∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2
这意味着 E z 、 E y 、 H x 、 H y （而不是 E r 、 E φ 、 H r 、 H φ ）对于 r 的关系满足贝塞尔或变 态贝塞尔函数。对于阶跃折射率分布的弱导光波导，在边界上场应满足的条近似看成是电场和 磁场的全部六个分量分别连续，而不管它们是切向分量还是法向分量。 3．解的举例
(1-7-6)
和
β =
2
∫
+∞
0
∫
+∞
0
rF (r )dr
2
(1-7-7)
c
参见 A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, London, 1983.
二、介电常数变化引起的传播常数扰动，变分定理
β2 =
∫
A∞
FH(F)dA
2 ∫ A∞ F dA
(1-7-3)
出发，还可以由本征函数求解本征值。在式（A1-15）中令 φ = F, 度定理， 有
A = ∇ t F ，并利用二维散
∫
A∞
F∇ 2 t (F )dA = − ∫ A∞ (∇ t F ) dA
2 2
(1-7-4)
代入式（1-7-3），得到 β 积分表达式的常用形式：
β
2
∫ =
A∞
2 2 [k 0 n ( x , y)F 2 − (∇ t F) ]dA 2 2 ∫ A∞ F dA
(1-7-5)
对于一维限制薄膜光波导和二维限制的圆对称光纤，式（1-7-5）分别简化为
2 2 2 ∂F(x ) 2 k 0 n (x )F (x ) − dx ∫−∞ ∂ x β2 = +∞ 2 ∫ F (x )dx +∞ −∞ 2 2 2 ∂F(r ) 2 ( ) ( ) k n r F r − 0 rdr r ∂
2 2 ∇2 t δF + ω µ 0 (εδF + Fδε ) = 2βδβ F + β δF
等式双方均乘以 F 并对整个横截面积分，有
2 2 2βδβ ∫ F 2 dA = ∫ ω2 µ 0 δεF 2 dA + ∫ A∞ F∇ 2 t δF + ω µ 0 εFδF − β FδF dA A∞ A∞
∫ A∞ E tw • E tR dA
(1-6-8)
若令 δβ = β R − β w ，并考虑到
2 β2 E tR w − β R ≈ −2β w • δβ,
V 2 2 ≈ E tw , 2β w ≈ 2k 0 n1）， ∇ t ln n =
一、 β 2 稳定理理及 β 2 积分表达式c
由式（1-6-3），在求解无损弱导光波导本征函数 F 时有
2 2 2 [∇ 2 t + k 0 n (x , y )]F = β F 2 2 H(F) = [∇ 2 t + k 0 n (x , y )]F
令
则有 和
H(F) = β 2 F H(δF) = β 2 δF + Fδβ 2
β −β
2 R
2 w
∫ [E =
A∞
tw
• ∇ t E tR • ∇ t ln n 2 dA
A∞
(
)]
∫
E tw • E tR dA
(1-6-7)
其中考虑到了
∫ [E
A∞
tw
ˆ • ∇ t E tR • ∇ t ln n 2 − E tR • ∇ 2 t E tw dA = ∫ l [E tw ∇ t • E tR − E tR ∇ t • E tw ]ndl ⇒ 0
2 A∞ A∞ A∞ 2 t 2 0 2 2 t 2 0 2 A∞ 2 t 2 t A∞ t t t l t t t
2
证毕。物理上，β2 稳定定理是指：当本征函数受到扰动 F → F + δF 时，本征值是稳定的， β
的变分为零（δβ2=0）。此点甚易理解：在多模光波导中，各导波模的场分布极大不同，但其本 征值的变化范围(k0n1~k0n2)却极窄。由
−3
左右；对于单模光纤 ∆ ≈ n × 10 ，β的误差将
−3
§ 1-7
传播常数(本征值)的积分表达式及变分定理
本节将证明无损弱导光波中导波模的两个十分重要的性质，即在一阶近似下：第一，传播 常数（本征值）β对于场解(本征函数)F 是稳定的，表示为
δβ 2
2
F→F+ δF
=0
2
称为 β 稳定定理。与这一性质相应的有 β 的积分表达式(或称变分表达式),可以由场的近似解 求传播常数(或由本征函的近似解求本征值)。 β 稳定定理的意义还在于：第一，β的准确度比
(
)
]
另外，由矢量恒等式（A1-15）对式（1-6-7）中分子的被积函数进行相应变化后，其第一项
∇ t (φA t ) 可以化为一个线积分
∫
A∞
ˆ dl ⇒ 0 ∇ t A t dA = ∫ l A t • n
故式（1-6-7）变为
β −β
2 w
2 R
∫ (∇ =
A∞
t
• E tw )E tR • ∇ t ln n 2 dA
与这一性质相应的有的积分表达式或称变分表达式可以由场的近似解求传播常数在第五章中我们将看到在近似解法中为了求解的方便假定的场解有时与实际有所出入但仍然相当准确
§ 1-6
弱导近似
一般情况下直接求解矢量波动方程十分困难。然而，当折射率的变化量不大或 ∆ << 1 时, 可以使数学处理大为简化,同时在物理上可以建立许多关于模式场分布规律的明确概念。这种光 波导称为弱导 光波导①，用于光通信和光信息处理的波导绝大多数可归入此类。因此，弱导近似 ．． 也有很大的实际意义。本节主要讨论弱导光波导的基本概念和利用这一近似在求解本征值时的 误差估计。
c
参见 A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, London, 1983, Ch. 32.
2. 误差估计 用式（1-6-3）来近似确定弱导光波导中导波模的传播常数，有时会导致较大误差。这里对 该误差与△的关系加以估计(两者间应满足正变关系)。分析的巧妙之处在于: 并不是针对各个 具体情况求精确解与近似解的差(繁杂而无普适性)，而是在普遍情况下直接做出误差估计。既 然是估计，就可进行相当的简化。 假定实际的场分布及传播常数为 E tR 和 β R ，而弱导近似后的场和传播常数为 E tw 和 β w ， 它们分别满足
一、弱导近似下本征函数的特点
1．场各横向分量间的关系 由弱导定义，n1≈n2，或在（1-5-1 ）中 ∆ << 1 。由式（ 1-5-6 ）可知，导波模的传播常数 β的变化范围很小
β ≈ k 0 n1 ≈ k 0 n 2
(1-6-1)
物理上, n 1 ≈ n 2 意味着平面电磁波矢只有基本上和 z 轴平行才能形成完全内反射。由于场 矢量和波矢正交，这又表明 E z ≈ 0 和 H z ≈ 0 （实际上是 E z << Et , H z << H t ）。因此可 以用 TEM 波来描述场的各横向分量间的关系，即
Ht =
ε0 ˆ × Et n1 z µ0
(1-6-2)
2．矢量波动方程的化简 Et、Ht 本身又可以分成 x、y 分量或 r、 φ 分量等等。一般来说这要根据折射率的横向分 布规律确定。但在弱导 条个下，可以近似认为折射率的变化只造完全内反射，而对场的偏振状 ．． 态不产生影响。即 Et 和 Ht 可以看成是线偏振 的；只要适当选择横向直角坐标 x 和 y 的取向， ．．．
ˆ ）。它们对应于不同的 图 1-6-1 画了圆截面阶跃折射率光纤中的电力线分布（ E t ≈ E y y
导波模，称为线偏振模（ LP 模）。其中 x ， y 轴取向的选择可以根据对称性确定，对于
ˆ 和 Et ≈ E y y ˆ n = n (r ) 的圆截面光纤，x（或 y）可任意选取。对于某一模式而言， E t ≈ E x x
二、弱导近似的误差c
1. 物理概念 弱导近似只是一种近似，实际上并不能得真正的线极化模。图 1-6-2 对此进行了说明： 在弱导条件下，如图 1-6-1（a）所示的 LP 模的电力线实际上是如图 1-6-2（a）的样子，电力 线有很小的弯曲。这意味着 E t 除了有 y 分量以外，还有很弱的 x 分量（一般 E x 比 E y 小一 个数量级）。和金属边界波导相比，后者的边界条件使电力线发生明显的弯曲（E 必须与边界 垂直），图 1-6-2（d）对此进行了示意。
2
F 的为高.在第五章中我们将看到,在近似解法中,为了求解β的方便,假定的场解有时与实际有 所出入,但β仍然相当准确。换言之，在求β时不必对 F 的准确性”孜孜以求”；第二，由互易定 理出发，我们将证明折射率的微扰与它所导致的传播常数微扰成正比，而场分布的扰动可以略 去不计，这也是很有实际意义的。光纤（缆）所处环境状态（温度、压力等）的变化使折射率 （导波模的传播常数）产生扰动，使光波导输出端面处的相位产生起伏。对某些光通信系统而 言，这是应予克服的不稳定因素。另一方面，它又构成一类光波导传感的基础：利用相位干涉 原理测出光波导输出端的相位变化，反过来可以测定外界因素的变化。这方面的进一步讨论见 第九章。
2
∇tn2 ≈ −(2∆ )∇ t f n2
可以得到
(2∆ ) 2 • ∫ A∞ (∇ t • E tw )E tw • ∇ t fdA δβ ≈
3
2V
∫
A∞
E tw • E tw dA
(1-6-9)
此式说明，利用弱导近似得到的本征值与其精确值相比，误差在 (2∆ ) 2 量级。对于光通信常用
3
的多模光纤 ∆ ≈ 1 ~ 2% ，相应于误差在 10 进一步减小。