八年级数学上册数怎么又不够用了(无理数)(人教版)

数怎么又不够用了
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

（1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？ （2）a 可能是整数吗？说说你的理由。

（3）a 可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。

（4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。

事实上，在等式22
a 中，a 即不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数。

1
1
做一做
（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b ，b 满足个么条件？ （3）b 是有理数吗？
在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但都
不是有理数。

随堂练习
1．如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？
B C
D
习题1.1
1、长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？ 试一试
1、右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。

试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。

面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢？
a
2
（1）如图，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。

（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
还可以继续算下去吗？
a可能是有限小数吗？
事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数。

做一做
（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。

（2）如果精确到百分位呢？
事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数。

同样，对于体积为2的正方形，借助计算器，可以得到它的棱长c=1.25992105%…，它也是一个无限不循环小数。

议一议
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
.
11
2
,
45
8
,
9
5
,
5
4
,3
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

无限不循环小数叫做无理数（irrational number）.
除了像上面的数a, b, c是无理数外，我们十分熟悉的圆周率
14159265
.3
=
π也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。

再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。

想一想
你能找到其他的无理数吗？
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
,75.0,3
4,
14.3∙
∙- 0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。

解：有理数有：.75.0,3
4,
14.3∙
∙-
无理数有：0.1010001000001…。

随堂练习
1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
.18,7
1
,
,7.3,
458.0--∙
π 读一读
无理数的发现
毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约前580—约前500）为代表人物的一个学派。

毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机。

毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。

公元前5世纪，毕棕哥拉斯学派的一个成员希伯索斯（Hippasus ）发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。

这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。

据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。

但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。

假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数p ，q 的比
()互质q p q
p
,，于是有.2,2222
q p q p ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
因此2p 是偶数，p 是偶数。

于是可设p=2m ，那么222222,24m q q m p ===。

这就是说，2q 是偶数，q 也是偶数。

这与“p, q 是互质的两个整数”的假设矛盾。

从无理数的发现可以看出无理数并不“无理”，它和有理数一亲，都是现实世界中客观存在的量的反映。

习题1.2
1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
,779.3,180
559
∙∙- 10101010.234-（相邻两个1之间有1个0），
0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）。

2、（1）设面积为10的正方形的边长为x, x 是有理数吗？说说你的理由。

（2）估计x 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。

（3）如果结果精确到百分位呢？。