2018.5北京3中高二数学答案(理)

1
（Ⅱ）设切点坐标为 (x0 , y0 ) ，则 y0 x0 ln x0 ，
切线的斜率为 ln x0 1 ，
所以， ln x0
1
y0 1 ， x0
解得 x0 1 ， y0 0 ，
所以直线 l 的方程为 x y 1 0 .
…………………5 分
…………………6 分 …………………7 分

2ak ak 2

2 2
2 k 1
2

4 2k 4

(k
2. 1) 1
k 1
所以，当 n k 1 时公式也成立.
综合 1）、2），
an

2 对于任何 n N* n 1
都成立
4分 5分 6分
7分 8分
22、（本小题 12 分）
解：（Ⅰ） f (x) ln x 1， x 0 ，
1分
令 f (x) 0 ，得 x1 3， x2 1． f (x) 与 f (x) 在 (, ) 上的情况如下：
x (, 3) 3
f (x)

0
f (x)
↗
27
(3, 1)
↘
1
(1, )
0

5
↗
所以 f (x) 的极大值为 f (3) 27 ； f (x) 的极小值为 f (1) 5
B 卷【选修 2-2 模块+选修 2-3 模块】满分 50 分
一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）
1、 1 ，
，
(x 1)2
；
2、 3 4 i ； 55
3、 60 ；
4、5；
5、16 ；
6、 78；
7、 (5,6) ；
8、①③
2
二、解答题（本题 18 分）
9. 解：（Ⅰ） f (x) x3 3x2 9x 的定义域是R ，且 f (x) 3x2 6x 9 ．
二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）
13、 3 ， 2 ；
14、1 ；
15、 3 ， 10 ；
16、 (0,) ， (1,0) ；
17、 4 ； 3
18、 x 3 ； x
19、 a 3 ；
三、解答题（共 20 分） 21、（本小题 8 分）
解：（1）计算得
a2

2 3
,
a3

1 2
……………………1 分
由 f (x) 0 得 x 1 ， e
……………………2 分
所以， f (x) 在区间 (0, 1) 上单调递减，在区间 (1 , ) 上单调递增. ………………3 分
e
e
所以， x 1 是函数 f (x) 的极小值点，极大值点不存在. e
…………………4 分
北京三中 2017—2018 学年度第二学期学业测试
高二年级数学（理））期中试卷参考答案 2018.5
试卷满分：150 分考试时间：120 分钟 A 卷【选修 2-2】满分 100 分
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B D C B D D B B C A
当 ea1 1 ，即 a 1 时，在区间[1, e] 上， g(x) 为递增函数，
所以 g(x) 最小值为 g(1) 0 .
ห้องสมุดไป่ตู้
…………………10 分
当1 < ea1 < e ，即1 a 2 时， g(x) 的最小值为 g(ea1) a ea1 . ……………11 分
当 a 0 时， f (x)≥ 0 ，则 f (x) 在 (, ) 上单调递增 （3 分）
当 a 0 时， f (x) 在 (，ln a) 上单调递减， f (x) 在 (ln a， ) 上单调递增． （5 分）
(2)解：由 F(x)

f
(x)
1
x2

0 ，得 a

ex
（Ⅲ） g(x) x ln x a(x 1) ，
则 g(x) ln x 1 a ，
…………………8 分
解 g(x) 0 ，得 x ea1 ，
所以，在区间 ( 0, ea1) 上， g(x) 为递减函数，
在区间 ( ea1, ) 上， g(x) 为递增函数.
…………………9 分
4分
（Ⅱ）由 f ( 4) 20 及（Ⅰ）中结论可知：
当 c 1 时，函数 f (x) 在区间[4, c] 上的最小值为 f (1) 5 ；
当 4 c 1时，函数 f (x) 在区间[4, c] 上的最小值大于5 ．
因此， c 的取值范围是[1, ) ．
6分
10．解：(1)解： f (x) ex a （1 分）
（8 分）
∴ h(x)≥ h(1) 1 0 , g(x) 0 ，∴ g(x) 在 1, 2 上单调递增 2
（9 分）
∴ g(x)
ex

1 2
x2
1
在
1, 2
上的最小值为 g(1) e
3
，最大值为 g(2)
1 (e2
3)
x
2
2
（11 分）
∴当 e 3 ≤ a ≤ 1 e2 3 时，函数 F(x) f (x) 1 x2 在 1, 2 上有且仅有一个零点（12 分）
2
2
2
3

2 4
,
a4

2 5
20、10. 3分
（2）根据计算结果，可以归纳猜想出
an

2 n 1
1)当 n
1 时，左= a1
1 ，右= 2 11
1，左=右，所以归纳出的公式成立.
2)假设当 n

k （ k N* ）时，公式成立，即 ak

2， k 1
那么，当 n

k
1时， ak1

1 2
x2
1
2
x
ex 1 x2 1
(x 1)ex 1 x2 1
考查函数 g(x) 2 x
( x 1, 2)，则 g(x)
2 x2
令 h(x) (x 1)ex 1 x2 1， 2
（6 分） （7 分）
h(x) x(ex 1)
当1 x 2 时， h(x) 0 ，∴ h(x) 在 1, 2上单调递增
当 ea1 e ，即 a 2 时，在区间[1, e] 上， g(x) 为递减函数，
所以 g(x) 最小值为 g(e) a e ae .
………………12 分
综上，当 a 1 时， g(x) 最小值为 0 ；
当1 a 2 时， g(x) 的最小值 a ea1 ；
当 a 2 时， g(x) 的最小值为 a e ae .