高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4

1．2.2 同角三角函数的基本关系
课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2
，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：
sin 2α＝________；cos 2α＝________；
(sin α＋cos α)2＝____________________；
(sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；
sin α·cos α＝______________________＝________________________.
(2)tan α＝sin αcos α
的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.
一、选择题
1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )
A.14
B.12 C ．1 D.32
2．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若sin α＝45
，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43
4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13
D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－
52，则tan α＋1tan α
的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8
6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )
A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2
二、填空题
7．已知α是第四象限角，tan α＝－512
，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.
9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2
，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题 11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α
.
12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x
.
能力提升
13．证明：
(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1
＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．
(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；
(2)求tan θ＋1tan θ
的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α
2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2
sin α＋cos α2－12 1－sin α－cos α22 (2)cos αtan α sin αtan α
作业设计
1．C 2.B 3.A
4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α
＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12
－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α
. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α
＝－8.] 6．B [方法一 由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1
联立消去cos α后得(－5－2sin α)2
＋sin 2α＝1.
化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0
∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255
. ∴cos α＝－5－2sin α＝－
55. ∴tan α＝sin αcos α
＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，
∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，
∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，
∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]
7．－513
8.45
解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1
， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 9．－32
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34
， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32
. 10.34
解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，
∴k 1＝1或k 2＝－7.
当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34
. 11．解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α
＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α
＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α
＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α
＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α
＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23
. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x
＝cos 2x －sin 2x 2cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x
＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x
＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α
－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2α
cos 2α
＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α＋cos αsin 2α－cos 2α
＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α
＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋
sin 2α，
右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：
sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴a 2＝1＋2a .
解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2
∵sin θ≤1，cos θ≤1，
∴sin θcos θ≤1，即a ≤1，
∴a ＝1＋2舍去．
∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a (1－a )＝2－2.
(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2
＝－1－ 2.。