2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)

(5)
2
(A ) 8+ 2 .5 (B ) 6+ 2 5 (C ) 8+ 2 3
(D ) 6+ 2 3
2015年高考理科数学押题密卷（全国新课标II 卷）
2015年高考绝密押题，仅限 VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播, 违者必究； 说明：
一、 本试卷分为第 I 卷和第n 卷•第I 卷为选择题；第n 卷为非选择题，分为必考和选 考两部分.
二、 答题前请仔细阅读答题卡上的 注意事项”，按照 注意事项”的规定答题. 做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑•如需改 用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案.
考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回. 选择题：本大题共 12小题，每小题5分, 有且只有一项符合题目要求.
动, 四、
共60分，在每小题给出的四个选项中,
(1) 已知集合 A = {x |x 2— 5x + 6W 0}, B= {x ||2 x — 1| > 3}，则集合 A n B =
(3) (A ) {x |2 w x < 3} (C ) {x |2 v x w 3} 1 — i 1 + i (1 + i)汁 (1 —厂 (A )— 1
(B ) 1
-1^宀曰.
—
b 满足 | a | = | b | = 2,
(A ) 4 (B ) 6
等比数列 {a n }的前n 项和为S n , (A ) 7
(B ) 8
(B) (D ) {x |2 w x v 3}
{x | — 1 v x v 3}
(D ) i
60 , a •( a + b )等于
(D ) 4 + 2、.：3
且4a 1,2a 2,a 3成等差数 列，若 a 1=1，则 S 4 为 (D) 15
空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 (C )— i
a 与
b 的夹角为 (C ) 2+ ;'3
(C ) 16
1
正视图
侧视图
一 2 ------- ' 俯视图
(6) (x 2—二)的展开式中的常数项为
x
(11)
某方便面厂为了促销， 制作了 3种不同的精美卡片，每袋方便面随
机装入一张卡片,
集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面 5袋，能获奖的概率为
(12) 给出下列命题：
1
_ 1 0 2 O)
log 05 3 23 (一). ； ②函数 f (x) log q x 2si n x 有 5 个零点； 3
x 4 x
5
㊂函数f (x) =ln
的图像以(5,)为对称中心；
x 6 12
12
曾已知a 、b 、m n 、x 、y 均为正数，且 a * b ,若a 、m b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、
y 成等比数列，则有 n > n , x <y .
其中正确命题的个数是
(A ) 15
(B )— 15 (C 20 (D )— 20
(7) 执行右边的程序框图，则输出的
(A) 5040 ( B ) 4850
(C 2450
(8) 2
x + 4x + 3, x w 0, 已
知函数f (x )=
3 x ,
x > 0,
则方程 的实根个数为 (A ) 3 (B ) 2
(C ) 1
(D ) 0
(9)
2 2
x y
若双曲线孑一孑=1 (a >0,
1
的距离等于焦距的—，则双曲线的离心率为
b >0) 一个焦点到一条渐近线
(10) (B )攀
(C)
(D )手
偶函数f (x )的定义域为R
若f (x + 2)为奇函数，且f (1)
=1,则 f (89) + f (90)为
(A )— 2
(B )— 1
(C ) 0
(D ) 1
(A )
31 81
(B ) 33
81 81
(D )
50 81
(D ) 2550
f (x ) + 1= 0
(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个
第口卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.
(13) _______________________________________________________________ 由直线x = 1, y= 1 - x及曲线y= e x围成的封闭图形的面积为 ____________________________ .
n n
(14) __________________________________________________________________ 数列｛a n｝的通项公式a n= n sin — + 1,前n项和为S,则S? 015 = ____________________________________________ .
x —y + 5> 0,
(15) 已知x、y满足x + y >0, 若使得z = ax+ y取最大值的点(x, y)有无数个，则a
x w 3,
的值等于 ___________ .
(16) _______________________________________________________________________ 已知圆O x2+ y2=8,点A(2 , 0),动点M在圆上，则/ OMA勺最大值为____________________ .
三、解答题：本大题共70分，其中(17) — (21)题为必考题，(22), ( 23), (24)题为
选考题•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分)
已知f(x)=sin (2x ——) + 2COS2X.
6
(I)写出f(x)的对称中心的坐标和单增区间；
(□)△ ABC三个内角A B C所对的边为a、b、c,若f (A) =0, b+ C=2.求a的最小值.
(18) (本小题满分12分)
某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年
级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的
有100人.
(I)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关
系？
(n)将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数
为X,求X的分布列和期望E( X).
附:
P (心 k o ) 0.010 0.005
0.001
k o
6.635
7.879 10.828
n ( ad — be )
(a + b )( c + d )( a + e )( b +d )
(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 (D ) 4 个
(19) (本小题满分12分)
(22)(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲
如图，在△ ABC 中，/ C = 90o , BC= 8, AB= 10, 0为 BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D E 连结DE
(I)若BD= 6,求线段DE 的长；
(n)过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ,
如图，在三棱柱 ABGABG 中，已知 A 吐侧面 BBCC, BO ^2 , AB= BB = 2,Z BCC
厂点E 在棱BB 上.
(I)求证：CB 丄平面ABC
(n)若BE =入BB ,试确定 入的值，使得二面 角
ACE -C 的余弦值为專 (20)(本小题满分12分) 设抛物线y 2=4m x ( m>0)的准线与x 轴交于F , 1 焦点为F 2；以F 1、F 2为焦点，离心率 e =2 2 2/6
的椭圆与抛物线的一个交点为 日一， );
3 〜
uuu 自F 1引直线交抛物线于 P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为 M 设
F 1P 3 uuu F 1Q
.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程； 1
(n)若 ［了"，求|PQ 的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
2 e
x
X
已知 f (x ) = e (x -a — 1)
+ ax .
(I)讨论f (x )的单调性；
(n)若x 》0时，f (x ) + 4a >0,求正整数 a 的值.
参考值：e 2~ 7.389 , e 3~ 20.086
请考生在第(22), (23), (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
题记分•作答时用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. A
C
D
O
证明：AF= EF.
(23)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程
2 2
x y
已知椭圆c： 4 + 3 = 1，直线I: x=—3 + 寸3t
y=2 3+t
(t为参数)
(I)写出椭圆C的参数方程及直线I的普通方程;
(H)设A(1 , 0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线求点
P的坐标.
l的距离相等,
(24)(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲
已知函数f (x) = | x —1| .
(I)解不等式f(x) + f (x+ 4) >8;
b
(n)若| a| v 1, | b| v 1,且a* 0,求证：f (ab) > | a| f ().
a
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关.
理科数学参考答案
2015年高考绝密押题，仅限 VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播, 违者必究； 、选择题： CABDA ACBBD DC 、填空题： (13) e —亍; (14) 1007; (15)— 1; (16)
4
三、解答题: (17)解：(I)化简得: f (x )=cos ( 2x + 3 单增区间为： [k 2
3 ,k 6] (k z)
(□)由(I) 知：
f (A ) cos(2
A
3)1
0 cos(2 A 3)
Q 0 A
2A
7
3
3
3
2A 一
于是： A
3
3
根据余弦定理：
2
a
b 2
2
c 2bc cos =4
3
当且仅当
b c
1
时，
a 取最小值1.
k 对称中心为：^,D (kz ) (18) (I) (6)
分
1
(9)
分
, b c 2
3bc
4 3(
)2 1
2
.............................. 12分
因为k =
800( 60X 500— 140 X
100)
160X 640X 200X 600
2
-=16.667 > 10.828 .
所以能在犯错概率不超过
0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关.
1 所以当入=亍时，二面角
ACE-C 的余弦值为專
(20) 解:
(n)每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率 频
率视为概率，即每次抽取 为+ .由题意可知X B(3, 0.375 .将
1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率
X
0 1 2
3 p 125 225 135 27 512 512 旋 512
3 厂)，从而X 的分布列为
E (X ) = np =专
12分
(19)解:
(I)因为 BC= 2 , CC = BB = 2，/ BCC=〒,
在厶BCC 中，由余弦定理，可求得 CB = 2 ,
所以 GB 2+ B C = C C, CB 丄 BC 又 ABL 侧面 BCG 1，故 AB1 BC, 又CBH AB- B ,所以GB 丄平面ABC
(n)由(I)知， BC BA BC 两两垂直， 以B 为空间坐
标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则 B (0 , 0, 0) , A (0 , 2, 0) , C ( 2 , 0, 0), 13A =(0, 2 , - 2),
B E =(3B + 入目B = 13B + ^<5
C = ( — 2 入，0 , 2 入一2),
设平面ACE 的一个法向量为 m= (x , y , z),则有 m- S A = 0,即 2y — 2 z = 0 ,
m i- S E = 0 , .2 入 x + (、2 ― 2 入)z = 0 ,
令 z = .2 ,取 m -(宀日,1,
2),
分 又平面GEC 的一个法向量为 n = (0 , 1, 0), 1
2 =芈，解得
3 5
所以cos m n =吕
i m i n |
5分
(I)由题设，得:
4 9a 2
12
②
a 2
由①、②解得a = 4, b = 3,
2
匕1
3
y 2= 4x .
Qg y 2)、M (X 1,— y 1), y 1=入y 2 ③
设直线PQ 的方程为y = k (x +1)，与抛物线的方程联立，得:
ky 2 4y
4k
y 1 y 2= 4
4
y 1 + y 2=
k
(21) 解:
x
x
由◎ ◎ ◎消去y i , 得:
k 2
1)2
I PQI J k 12 I y 2
y 1
由方程O 得: I PQ I 、(1 ；2)16 16k
16
16k 4
k 7
化简为: I PQ I 2
，代入 入
：
I PQ I 2
(1)4
2
16 1)2
16
疋
：
那么: 2)2
16
1 [2
,1)
PQ |2
I PQ I (0,
17
4
亿 寸
12分
x 2
椭圆的方程为一
4
易得抛物线的方程是：
(H)记 P (x 1, y"、
UJU uuu
②(I) f (x) = e (x—a) —x+ a= (x—a)(e —1),
由a >0，得：
x € ( —g, 0)时，f (x ) >0, f (x )单增；
x € (0 , a )时，f (x ) v 0, f (x )单减； x €(a ,+g )时，f (x ) >0, f (x )单增.
所以，f (x )的增区间为(—g, 0) , (a ,+m );减区间为(0 , a ). (5)
分
2
a
(n)由(I)可知，x >0 时，f min (x ) = f ( a ) =— e + —,
2
a a
所以 f (x ) + 4a >0,得 e — 2 — 4a w 0. (7)
分
2 a
a a
令 g ( a ) = e — — 4a,贝U g (a ) = e — a —4;
令 h ( a ) = e a — a — 4,贝U h (a ) = e a — 1 >0,所以 h ( a )在(0，+g )上是增函数， 又 h (1) = e — 5v 0, h (2) = e 2— 6>0,所以 a °€ (1 , 2)使得 h (a 。

)= 0,
即 a € (0 , a o )时，h (a ) v 0, g (a ) v 0 ； a €(a o ,+g )时，h (a ) > 0, g (a ) > 0, 所以g (a )在(0 , a °)上递减，在(a °,+g )递增.
又因为 g (1) = e —牙—4v 0, g (2) = e 2— 10v 0, g (3) = e 3 —牙—12> 0, 所以：a = 1或2.
............ 12分
(22) 解:
(I)T BD 是直径，•••/ DEB= 90o ,
在 Rt △ BDE 中, DE= BD — BE" T -18
5
(n)连结 OE T EF 为切线，•/ OE T 90o ,
AEF F Z OE T 90o , 又C = 90o ,.°./ A +Z B = 90o ,又T OE= OB OEB= / B,
•••/ AEF = / A,「. AE=EF.
BE BC 4 BD T A E T V ,
•/ BD= 6, • BE T
24
10分
(23) 解:
2
2
9 — 4cos 9 = 5,又 sin 9 + cos 9 = 1，得 sin
10分
(24) 解：
—2x — 2, x w — 3,
(I) f (x ) + f (x + 4) = |x — 1| + |x + 3| = 4,
— 3< x < 1,
2x + 2, x > 1.
当 x v — 3 时，由一2x — 2>8,解得 x w — 5; 当一3w x wi 时，f (x ) W8不成立； 当x > 1时，由2x + 2>8,解得 x >3.
............ 4分
所以不等式f (x ) W4的解集为{x |x w — 5，或x >3}.
............ 5 分
b
(n) f (ab ) > | a | f ()即 | ab — 1| > | a — b |.
a
............ 6 分
因为 |a | v 1, | b | v 1,
所以 |ab — 1|2— | a — b | 2= (a 2b 2 — 2ab + 1) — (a 2— 2ab + b 2) = (a 2— 1)( b 2— 1) > 0, 所以 | ab — 1| > | a — b | .
(I) C:
x = 2cos 9 , y = 3s in 9
(9 为参数)，I : x - 3y + 9= 0.
(n)设 P (2cos 9 ,
'3sin 9 ),
则 |AR = \(2cos 9 — 1)2+ ( 3sin 9 ) 2= 2 — cos 9 ,
P 到直线I 的距离d =
|2cos 9 — 3sin 9 + 9|
2
2cos 9 — 3sin
2
由 | Ap = d 得 3sin
故所证不等式成立. 10分。