{高中试卷}湖南省衡阳县高一上学期期末质量检测数学试题[仅供参考]

20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
湖南省衡阳县20XX-20XX学年高一上学期期末质量检测数
学试题）（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则()
A. A∩B={x|x<0}
B. A∪B=R
C. A∪B={x|x>1}
D. A∩B=⌀
【答案】A
【解析】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，故A 正确，D错误；A∪B={x|x<1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．
2.下列四组函数，表示同一函数的是()
C. f(x)=2−4，g(x)=√x−2⋅
A. f(x)=2，g(x)=x
B. f(x)=x，g(x)=x2
x
3
√x+2D. f(x)=x，g(x)=√x3
【答案】D
【解析】解：A.f(x)=√x2=|x|，g(x)=x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．B.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以定义域不同，
x−2≥0，解得x≥2，所以B不是同一函数．C.由x2−4≥0，解得x≥2或x≤−2，由{x+2≥0
两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为3=x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别R，且g(x)=√x3
判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増的函数为()
B. y=lnx
C. y=x3
D. y=x2
A. y=1
x
【答案】C
【解析】解：由于y=1
在区间(0,+∞)上单调递减，故排除A；由于y=lnx不是奇函数，故
x
排除B；由于y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増，故它满足条件；由于y=x2是
偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()
A. 如图是棱台
B. 如图是圆台
C. 如图
是棱锥D. 如图不是棱柱
【答案】C
【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．
5.函数y=log a(x+2)+1的图象过定点()
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (−2,1)
D. (−1,1)
【答案】D
【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=log a(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象．又∵函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点，由平移向量公式，易得函数y= log a(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过(−1,1)点，故选：D．由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=log a(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点
6.经过点(−1,0)，且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程是()
A. 2x−y+2=0
B. 2x+y+2=0
C. 2x−y−2=0
D. x−2y+1=0
【答案】A
，∴与之垂直的直线斜率为2，∴所求直线方【解析】解：∵直线x+2y−3=0的斜率为−1
2
程为y−0=2(x+1)，化为一般式可得2x−y+2=0故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
7.在四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有()个．
A. 0个
B. 1个
C. 3个
D. 4个
【答案】D
【解析】解：如图，PA ⊥底面ABC ，△ABC 是∠ABC 为直角的直角三角形，则四面体P −ABC 的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D ．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．
8. 直线x −√3y +1=0的倾斜角为()
A. π3
B. π6
C. 2π3
D. 5π
6
【答案】B
【解析】解：直线x −√3y +1=0的斜率为k =√33，设倾斜角为α，可得tanα=√33，由0≤α<π，且α≠π2，可得α=π6，故选：B ．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．
9. 函数f(x)=ln(x 2+1)的图象大致是() A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵x 2+1≥1，又y =lnx 在(0,+∞)单调递增，∴y =ln(x 2+1)≥ln1=0，∴函
数的图象应在x 轴的上方，又f(0)=ln(0+1)=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A 符合．故
选：A ．∵x 2+1≥1，又y =lnx 在(0,+∞)单调递增，∴y =ln(x 2+1)≥ln1=0，函数的图象应在x 轴的上方，在令x 取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
10. 已知函数f(x)是R 上的奇函数，且满足f(x +2)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，
f(x)=2x −1，则方程f(x)=log 7|x −2|解的个数是()
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】B
【解析】解：函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．作出在同一坐标系中画y=2x−1和y=log7|x−2|图象，
从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，且满足f(x+2)=−f(x)，求解f(x)的周期T=4，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，作出图象，f(x)=log7|x−2|解的个数，即为2x−1=log7|x−2|图象的交点个数.数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题.属于基础题．
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则这个函数解析式为______．
【答案】y=x12(x≥0)
．这个【解析】解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，∴2α=√2∴α=1
2
函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是______，
【答案】45∘
【解析】解：∵BB1//DD1，∴∠BB1A是直线AB1与
DD1所成的角，∵AB⊥BB1，AB=BB1，∴∠AB1B=
45∘，∴直线AB1与DD1所成的角是45∘．故答案为：
45∘．由BB1//DD1，得∠BB1A是直线AB1与DD1所成
的角，由此能求出直线AB1与DD1所成的角．本题考
查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
13.已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，
C(−1,0)，则△ABC的面积为______．
【答案】5
【解析】解：由A(1,3)，B(3,1)，设AB 的直线方程为y =kx +b ，则{1=3k +b 3=k+b ，解得：
k =−1，b =4．AB 的直线方程为x +y −4=0．C(−1,0)到直线AB 的距离ℎ=
|−1−4|√2=5√2．AB 的距离d =√(3−1)2+(3−1)2=2√2．则△ABC 的面积S =12×√2×2√2=5．故答案为：5．根
据A(1,3)，B(3,1)，求出AB 的直线方程，和AB 的距离，利用点到直线的距离就是AB 为底的高，即可得△ABC 的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式.属于基础题．
14. 已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的
表面积为______，
【答案】12π
【解析】解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则正方体的表面积为6a 2=24，得a =2，
所以，2R =√3a =2√3，
则R =√3，因此，这个球的表面积为4πR 2=12π．故答案为：12π．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a ，然后利用2R =√3a 求出球体的半径R ，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．
15. 已知函数f(x)=2
x−1，若x ∈[2,6]，则该函数的最大值为______．
【答案】2
【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图示：，∴函
数f(x)在[2,6]递减，∴函数f(x)最大值=f(2)=2，
故答案为：2．先求出函数的图象，得到函数的单
调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的
单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础
题．
三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）
16. 计算下列各式的值(1)(827)−13−(π−1)0+√214(2)log 3√27+lg 25
−lg4． 【答案】解：(1)原式=(23)3×(−13)−1+√(32)2=32−1+32=2．(2)原式=log 3332+lg 25×4
=3
2−1=12．
【解析】(1)利用指数运算法则即可得出；(2)利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．
17. 已知直线l 1：x +2y +1=0，l 2：−2x +y +2=0，它们相交于点A ．(1)判断直线l 1和
l 2是否垂直？请给出理由；(2)求过点A 且与直线l 3：3x +y +4=0平行的直线方程．
【答案】解：(1)直线l 1的斜率k 1=−12，直线l 2的斜率k 2=2，∵k 1k 2=−1
2×2=−1∴l 1⊥l 2(2)由方程组{−2x +y +2=0x+2y+1=0解得点A 坐标为(35,−45)，直线l 3的斜率为−3，所求直线方程为：y −(−45)=−3(x −35)化为一般式得：3x +y −1=0．
【解析】(1)先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于−1，故可得两直线垂直．(2)先求出交点A 的坐标，再根据斜率等于直线l 3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．
18. 已知函数f(x)=x 2−2|x|−3．(1)作出函数f(x)的大致图象，并根据图象写出函数f(x)
的单调区间；(2)求函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．
【答案】解：(1)f(x)=x 2−2|x|−3={x 2+2x −3,x <0x 2−2x−3,x≥0
．图象如图：由图象知函数的单调减区间是(−∞,−1]，(0,1]．单调增区
间是(−1,0]，(1,+∞)；(2)结合图象可知最小值为f(1)=f(−1)=−4，最大值为f(4)=5．
【解析】(1)写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；(2)直接由图象得到函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．
19. 直线l 过点(−1,0)，圆C 的圆心为C(2,0)．(Ⅰ)若圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得
的弦长也为2，求直线l 的方程；(Ⅱ)若直线l 的斜率为1，且直线l 与圆C 相切；若圆C 的方程．
【答案】解：(Ⅰ)设直线l 的方程为y =k(x +1)，则∵圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得的弦长为2，∴圆心到直线l 的距离为√3，即|3k|√k 2+1=√3，解得k =±√2
2，即直线l 的方程为
y═±√2
2
(x+1)；(Ⅱ)∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y=x+1，∵直线l与圆C相切，
∴r=3
√1+1=3√2
2
，∴圆C的方程为(x−2)2+y2=9
2
．
【解析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；(Ⅱ)根据直线l与圆C 相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，
属于中档题．
20.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥面
ABCD垂足为点A，PA=AB=4，点M是PD的中点(1)
求证：PB//平面ACM(2)求证：BD⊥平面PAC：(3)求
四面体A−MBC的体积．
【答案】证明：(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO．∵点O，M分别是BD，PD的中点，∴MO//PB．又PB⊄面ACM，MO⊂面ACM，∴PB//面ACM…(3分)(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥
面PAC…(6分)(3)∵V A−MBC=V M−ABC=1
3⋅S△ABC⋅ℎ，且ℎ=1
2
PA，∴V A−MBC=1
3
⋅(1
2
⋅AB⋅
AD)⋅(1
2⋅PA)=2
3
…(9分)
【解析】(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.证明MO//PB，然后证明PB//
面ACM．(2)证明PA⊥BD，AC⊥BD，然后证明BD⊥面PAC．(3)通过V A−MBC=V M−ABC=
1
3
⋅S△ABC⋅ℎ，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力．
21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[−1,1]，a+b≠0时，有
f(a)+f(b)
a+b
>0成立．(1)判断f(x)在[−1,1]上的单调性(2)解不等式f(log2(x+√2))≤
f(1
2
)(3)若f(x)≤m2−2am+11对所有的a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)f(x)在[−1,1]上单调递增…(1分)任取x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，则−x2∈
[−1,1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)
x1+(−x2)
⋅(x1−x2).由已。