苏教版高中数学必修五第3章 不等式.docx

第3章不等式（苏教版必修5）
1
n
这
17.(14分)不等式2
2
(23)(3)10m m x m x -----<对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.
18.（16分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？
19.（16分）已知二次函数()f x 满足(2)0f -=，且
24
22
x x f x +≤≤（）对一切实数x 都成立. （1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式；
（3）设1
()
n b f n =
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：43(3)
n n
S n >
+.
20.（16分）某村计划建造一个室内面积为72 m 2
的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
第3章 不等式（苏教版必修5）答题纸
得分：
一、填空题
1. 2.3． 4．5. 6.7. 8.9.10.11.12. 13. 14. 二、解答题 15． 16. 17.
18.
19.
20.
第3章 不等式（苏教版必修5）参考答案
1.（-2，1）∪（2，+∞）解析：原不等式化为(2)(1)(2)0x x x +-->，解得21x -<<或2x >.
2.④解析：∵2x y =是增函数，而01b a <<<，∴1222b a <<<.
3.三角形 解析：原不等式组可化为0002x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＞，＞，或000 2.x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪≤≤⎩
＜，＜，
在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，
∴不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩
，
表示的平面区域是一个三角形
.
第3题图第4题图
4.
4
3解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩
得交点A 的坐标为（1，1），
又,B C 两点的坐标分别为（0，4），40,
3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，故144
41233ABC S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△. 5.
()()()f c f b f a c b a >>
解析：特殊值法.令7a =，31b c ==，，满足0a b c >>>，∴ 2log (11)1+＞2log (31)
3+＞2log (71)7+.故()()()
f c f b f a c b a
>>. 6.4 解析：不等式1()9a x y x y ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
对任意正实数,x y 恒成立，则1219y ax a a a x y +++
≥+≥a ≥2或4a -（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.
7.21x ≤解析：依题意得10,10,
(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩
或，
所以1,
1,2121R x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈--≤≤-⎪⎩⎩
或1x <-或12121x x -≤≤-⇒≤-. 8.8 解析：M =
b c a +·a c b +·a b
c
+≥8ab bc ac ••=8.
9.[21,)-+∞解析：令cos x θ= ，1sin y θ=+，则()sin cos 1x y θθ-+=---=π2sin 4θ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭-1，
∴ max ()2x y -+=-1.∵0x y c ++≥恒成立，∴ max ()2c x y ≥-+=-1. 10.≤ 唯一 解析：因为4a b cd +==，由基本不等式得2a b ab +≥，故4ab ≤.
又2
()4
c d cd +≤，故4c d +≥，所以ab c d ≤+，当且仅当2a b c d ====时，等号成立.
11.{|31}x x -≤≤解析：依题意得2241(3)(1)031x x x x x +-≤-⇒+-≤⇒∈-，［］.
12.4 解析：由题意知(11)A ，，∴10m n +-=，∴1m n +=， ∴
1m +1n =11()222
4n m n m m n m n m n m n ⎛⎫
++=++≥+•= ⎪⎝⎭
. 13.19解析：先在平面直角坐标系xOy 内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图中阴影部分）.把25z x y =+变形为
5152y x z =-+，得斜率为25-，在y 轴上的截距为1
5
z ，随z 变化
的一族平行直线.由图可以看出，当直线515
2
y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距
1
5
z 最大，即z 最大. 解方程组283x y y +=⎧⎨=⎩，，得23.x y =⎧⎨=⎩，
故23M （，）
.此时max z =2×2+5×3=19.第13题图
14.40解析：设长为x 米，宽为y 米，则610100x y +≤，即3550x y +≤.∵0255335x y x y +≥•≥，当且仅当
35x y =时等号成立，,x y 为正整数，∴只有当324525x y ==，
时面积最大，此时面积40xy =平方米. 15.解：由22(2)(23)x a a a x ---+30a +>，得[(2)3]()0a x x a --->. ①当2a =时，20x -<，解得2x <. ②当2a >时，原不等式可以化为32()0a x x a ⎛
⎫
⎪⎭
--⎝-
>. 因为2323(3)(1)222
a a a a a a a a -++-+--==-
--， 所以当3a =时，2(03)x ->，则x ∈R 且3x ≠. 当23a <<时，
32a a >-，解得3
2
x a >
-或x a <.
当3a >时，
32a a <-，解得3
2
x a <
-或x a >. ③当2a <时，原不等式可以化为3(2)0a x x a ⎛
⎫
⎪⎭
--⎝-
<. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---，所以当12a -<<时，32a a <-，所以32
a x a -<<；
当1a =-时，2(01)x +<，不等式无解；当1a <-时，32a a >-，所以3
2
a a x <<
-. 所以原不等式的解集为： 当1a <-时，32a x a x ⎧⎫
⎨⎬-⎩<<
⎭
； 当1a =-时，不等式无解； 当12a -<<时，32x
a x a <<⎧
⎫⎨⎬-⎩⎭
；
当2a =时，{|2}x x <； 当23a <<时，32a x x a x ⎧⎫
<>
⎨⎩⎭
-⎬或； 当3a =时，{|3}x x x ∈≠且R ； 当3a >时，32x x x a a ⎧⎫<
>⎨-⎬⎩⎭
或. 16.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积
(20)(225)2402550018 500254018 50018 500S a b ab b a a b =++=+++=++≥++
24 500，当且仅当2540a b =时等号成立，此时5
8
b a =，将其代入①式得120a =，从而75b =，
即当12075a b ==，时，S 取得最小值24 500.
故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 17.解：若2230m m --=，则1m =-或3m =. 当1m =-时，不合题意；当3m =时，符合题意.
若2230m m --≠，设22()(23)(3)1f x m m x m x =-----，
则由题意，得22
230,
230,m m m m m ∆2⎧--<⎪⎨=[-(-3)]+4(--)<⎪⎩
解得135m -<<. 综合以上讨论，得1
35
m -<≤.
18.解：设投资人分别用x y ，万元投资甲、乙两个项目，
由题意，得10,
0.30.1 1.8,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为0.5z x y =+.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线0:0.50l x y +=，并作平行于直线0l 的一组直线
0.5x y z +=，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上
的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线10x y +=与直线0.30.1 1.8x y +=的交点.
解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩
得4,
6,x y =⎧⎨=⎩此时，40.567z =+⨯=(万元).
∴ 当46x y ==，时，z 取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大. 第18题图
19.（1）解：∵ 24
22
x x f x +≤≤
（）对一切实数都成立， ∴4(2)4f ≤≤，∴(2)4f =.
（2）解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠.
∵(2)0(2)4f f -==，，∴424,1,
42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩
∵22ax bx c x ++≥，即2240ax x a -+-≥，∴2
14240410a
a a ∆=--≤⇒-≤（）（）， ∴ 14
a =，241c a =-=，故2
()14x f x x =++.
（3）证明：∵ 21441
14()(2)(2)(3)23n b f n n n n n n ⎛⎫==>=- ⎪+++++⎝⎭
，
∴ 1211111111444344523333(3)
n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+++-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ＞. 20.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则72ab =，
蔬菜的种植面积(4)(2)428802(2)8042S a b ab b a a b ab =--=--+=-+≤-=32（m 2
）.
当且仅当2a b =，即126a b ==，时，max 32S =.
答：当矩形温室的边长为6 m ，12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2
.。