第二节常见离散型随机变量的概率分布

例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
10 ，若X 0，
解：设X 为一周5个工作日停用的天数，Y 为一周利润，则Y 使用5个工作日可以看作5次“伯努利实验”， 设备挺用看为成功，成功的概率为0.2，
7
2
2
，若X ，若X ，若X
１，， ２， ３．
而随机变量X作为伯努利实验成功的次数，服从参数为（5，0.2）的二项分布，
P{Y 10} P{X 0} 0.85 0.3277，P{Y 7} P{X 1 } 5 0.2 0.84 0.4096，
P{Y 2} P{X 2} 100.22 0.83 0.2048，P{Y 2} P{X 3} 10.328 0.410 0.205 0.0579．
enp
(k 0,1,, n)
２、泊松随机质点流
以v(t)表示在长为t的时间内出现的随机质点数．在相当 广泛的情形下，随机变量v(t)服从参数为λt的泊松分布：
Pv(t) k (t)k eλ t (k 0,1,2,)
k! 其中λ是单位时间出现的随机质点的平均个数，称做质 点流的强度．我们称服从泊松分布律的随机质点流为泊 松随机质点流，简称泊松流．
2、超几何分布与二项分布的关系 直观上，当a+b充分 大而抽样次数n相对较小时，自有限总体的非还原抽样 和还原抽样的差别应相对小，因而超几何分布的概率接 近二项分布的概率：
Cka
Cnk b
Cn ab
Ckn pk (1－p)nk
其中 p = a/(a+b)．
例2.18 假设一批产品，其中a件不合格品和b件合格品．
(2) 最多破损30件的概率
P{X
30}
30
C1k2000.02 k 0.981200k
k 0
30 k 0
24k e24 k!
0.90415 ．
例2.22 假设一日内到过某商店的顾客人数服从参数为λ的
泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p．以X表示一日
内到过该商店并且购货的人数，试求X的概率分布． 解 设ν为一日内到过该商店的顾客的人个数，由条件知
例2.14 假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概 率）为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为 保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调 整，至少需要安排几个人值班？
解 由条件知，每台设备出故障的概率为0.10．以X表示10台 设备中同时出现故障的台数，则X服从参数为(10,0.10)的二 项分布．假设需要安排k个人值班，则k应该满足条件：
( p)m m!
e
k 0
1 (1
k!
p)k
( p)m ee(1p) ( p)m e p．
m!
m!
于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X服从参数
为λp的泊松分布．
则X服从参数为p的0-1分布．
例2.13 以非还原无次序抽样的方式随机地Ω0={a,b,c,d,e}
中取出三个元素，设X是a和b同时出现的次数，求X的概率 分布．
解： 从 0 {a, b, c, d, e} 中随机取出三个元素，其基本事
件空间为
Hale Waihona Puke (abc), (ade),
(abd ), (abe), (acd ), (ace),
按验收规则，对于给定的 n 和 c ( c n a b).
在随机抽验的n件中，如果不合格品不超过c件，则接收， 否则拒收．问这批产品被接受的概率为多少？
解：以 n 表示随机抽样的 n 件不合格产品的件数，自N a b
件产品中随机的抽样取 n 件，导致事件 Ak = k k 的取法
为
C
k a
所以Y的概率分布为Y
~
2 0.0579
2 0.2048
7 0.4096
10 0.3277
.
三、超几何分布
称随机变量X服从超几何分布，参数为(n,a,b)，如果
P
X k
CkaCbnk Cnab
(k 0,1,, n)
假设其中 n a.
1、超几何分布的典型应用 假设总体Ω含个a+b元素， 其中a个元素具有特征Ā ，b个元素具有特征．以X表示 自Ω 的n次非还原抽样具有特征A出现的次数，则X服从 参数为（n,a,b）的超几何分布．
2、自有限总体的还原抽样 设是含N个元素的总体，其中a个
元素具有某种特征A，表示自Ω的n次还原随机抽样中特征A, vn出现的次数，每次抽样特征A出现的概率p=a/N，等于Ω中 具有特征A的元素的比率．因此，假设Ω中具有特征A的元素 的比率为P，则自Ω的n次还原随机抽样可视为n次伯努利试验
，抽到具有特征A的元素为成功（成功的概率为P），否则为 失败，从而成功的次数vn服从参数为(n,p)的二项分布．
Cbn
k
种：自 a
件不合格产品中随机地抽取
k 件，总共
有
C
k a
种不同取法，而每一种取法对应着自 b 件合格产品中随
机取
n－k 件的 Cbn
所以有P X
k种k 取法Cka.
Cnk b
Cn
c
ab
PX c PX
k 0
(k 1, 2, , min{a,
k
c
Cka
Cnk b
．
Cn
k0 ab
P{ k} 0.95 通过对不同的k试算，可以找出满足条件的k
值．设k=1,2,3，有
PX 1 PX 0 PX 1 0.9010 100.909 0.10 0.74；
PX 2 PX 1 PX 2 0.74 C120 0.908 0.102 0.93 0.95；
PX 3 PX 2 PX 3 0.93C130 0.907 0.103 0.9874 0.95．
ν服从参数为λ的泊松分布．设X为一日内到过该商店并
且购货的人数．由全概率公式知，对于n=0,1,2,…，有
P X m P X m n P n
nm
nm
Cmn
pm
(1
p)nm
n n !
e
e
nm
Cmn
pm
(1
p)nm
n n!
( p)m m!
e
1
nm n m
(1
!
p) nm
其中q=1－p,0<p<1．
01
n
01
n
图2.4 二项分布纵条图
二项分布的概率恰好是二项式 ( p q)n 展开的各个项：
n
1 ( p q)n Ckn pkqnk k 0
分布因此而得名． 二项分布是非常重要的离散型分布，有极广泛的 应用，其应用可以归结为如下两种情形：
1、伯努利试验成功的次数 只计“成功”和“失败”两 种结 局的试验，称做伯努利试验．将一伯努利试验独立地重 复作n次，称做n次伯努利试验．以vn表示n次伯努利试 验成功的次数，则随机变量vn服从参数为(n,p)的二项分 布，其中p是每次试验成功的概率.
(bcd ), (bce), (bde), (cde)
在10个基本事件中的3个
既含有a又有b其
余7个中都不同时含有a和b，所以X 服从0 1分布：
0 1
X
~
0.7
0.3.
二、二项分布
称随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，记作 X~B(n,p)，如果有（图2.4）
PX k Ckn pkqnk (k 0,1, ,n)