2016-2017年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高二（下）
期中数学试卷（理科）
一、选择题（每题4分，共48分）
1．（4分）在复平面内，复数﹣2+3i对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A．方程x2+ax+b＝0没有实根
B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根
3．（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4
4．（4分）定积分cos xdx＝（）
A．﹣1B．0C．1D．π
5．（4分）函数y＝xe x的导数是（）
A．y＝xe x B．y＝x+xe x C．y＝e x D．y＝（1+x）e x 6．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，+∞）7．（4分）若＝1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2C．D．
8．（4分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
9．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4B．﹣2C．0D．2
10．（4分）设（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
11．（4分）某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第
一、第四节，则不同排法的种数为（）
A．24B．22C．20D．12
12．（4分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）
A．B．
C．D．≥
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…
照此规律，第五个不等式为．
14．（4分）物体的运动方程是s＝﹣t3+2t2﹣5，则物体在t＝3时的瞬时速度
为．
15．（4分）定积分（2x+）dx的值为．
16．（4分）若函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，则实数m 的取值范围．
17．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；
②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；
③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（7分）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
19．（7分）求曲线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x+3围成的图形的面积．
20．（8分）已知a，b，c均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣
2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
21．（10分）某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？
22．（8分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n﹣2．
（1）求a1，a2，a3并由此猜想a n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．
23．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
2016-2017学年陕西省延安实验中学大学区校际联盟高
二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共48分）
1．（4分）在复平面内，复数﹣2+3i对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由复数的几何意义可知：
复数﹣2+3i对应的点为（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
2．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A．方程x2+ax+b＝0没有实根
B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b＝0没有实根．
故选：A．
3．（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4
【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵＝，
∴x＝1，则切点的横坐标为1，
故选：A．
4．（4分）定积分cos xdx＝（）
A．﹣1B．0C．1D．π
【解答】解：cos xdx＝sin x＝sinπ﹣sin0＝0﹣0＝0
故选：B．
5．（4分）函数y＝xe x的导数是（）
A．y＝xe x B．y＝x+xe x C．y＝e x D．y＝（1+x）e x 【解答】解：根据题意，函数y＝xe x，
其导数y′＝（x）′e x+x（e x）′＝e x+xe x＝（1+x）e x，
故选：D．
6．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
令f′（x）＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，
解得：﹣1＜x＜1，
故f（x）在（﹣1，1）递减，
故选：C．
7．（4分）若＝1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：根据导数的定义可得，＝
故选：C．
8．（4分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
【解答】解：当n＝k时，左端＝+++…+，
那么当n＝k+1时左端＝++…+++，
故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，
故选：C．
9．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4B．﹣2C．0D．2
【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），
令x＝1，得到f′（1）＝2+2f′（1），
解得：f′（1）＝﹣2，
故选：B．
10．（4分）设（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：令x+2＝1，所以x＝﹣1，将x＝﹣1代入（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得
[（﹣1）2+1]（﹣2+1）9＝a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11＝2×（﹣1）＝﹣2．
所以选A
11．（4分）某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第
一、第四节，则不同排法的种数为（）
A．24B．22C．20D．12
【解答】解：先排体育课，有2种排法，
再排语、数、外三门课，有A33种排法，
按乘法原理，不同排法的种数为2×A33＝12．
故选：D．
12．（4分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）
A．B．
C．D．≥
【解答】解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
故选：C．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…
照此规律，第五个不等式为1+++++＜．
【解答】解：由已知中：不等式：
1+＜，
1++＜，
1+++＜，
…
归纳可得：第n个不等式为：1+++…+＜，
当n＝5时，第五个不等式为1+++++＜，
故答案为：1+++++＜
14．（4分）物体的运动方程是s＝﹣t3+2t2﹣5，则物体在t＝3时的瞬时速度为3．
【解答】解：s′＝﹣t2+4t
∴物体在t＝3时的瞬时速度为﹣32+4×3＝3
故答案为3
15．（4分）定积分（2x+）dx的值为3+ln2．
【解答】解：（2x+）dx＝（x2+lnx）|＝4+ln2﹣1﹣0＝3+ln2，
故答案为：3+ln2．
16．（4分）若函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，则实数m 的取值范围[1，+∞）．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣＝m，
函数f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，
∵函数y＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上是单调递减函数，
∴对称轴m≥1．
即m的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
17．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；
②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；
③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是①④．
【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0
∴函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故
④正确
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确
∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确
故答案为：①④
三、解答题：本大题共6小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（7分）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【解答】解：（1）∵复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i是实数，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m＝﹣1．m＝2
（2）复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i是虚数，
∴m2﹣m﹣2≠0
∴m≠﹣1．m≠2
（3）复数z＝m2﹣1+（m2+3m+2）i是纯虚数
∴m2﹣m﹣2≠0且m2﹣1＝0
∴m＝1．
19．（7分）求曲线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x+3围成的图形的面积．
【解答】解：由，解得或
∴曲线y＝x2﹣2x+3及直线y＝x+3的交点为（0，3）和（3，6）
因此，曲线y＝x2﹣2x+3及直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是
S＝（x+3﹣x2+2x﹣3）dx＝（x2﹣x3）＝．
20．（8分）已知a，b，c均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣
2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0，
而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．21．（10分）某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？
【解答】解：由容积为4800m3，深为3m，
设水池底面的长为x米，宽为即米，总造价为y，
则y＝•1.5a+2•3（x+）a＝2400a+6（x+）a≥2400a+6a•2＝2880a．
当且仅当x＝，即x＝40，取得最小值2880a．
则当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880a元．
22．（8分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n﹣2．
（1）求a1，a2，a3并由此猜想a n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）∵S n＝2a n﹣2，
当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2．
当n＝2时，a1+a2＝2a2﹣2，解得a2＝4．
当n＝3时，a1+a2+a3＝2a3﹣2，解得a3＝8．
猜想：a n＝2n．
（2）当n＝1时，显然猜想成立．
假设n＝k时，猜想成立，即a k＝2k．
则当n＝k+1时，S k+1＝2a k+1﹣2．
∴S k+a k+1＝2a k+1﹣2，
∴2a k﹣2+a k+1＝2a k+1﹣2，
∴a k+1＝2a k＝2•2k＝2k+1．
∴当n＝k+1时，猜想成立．
∴a n＝2n．
23．（10分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9，
∴得a＝3，b＝9，
则f（x）＝﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x﹣3），
由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），
由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，f（﹣2）＝8+12﹣18+c＝2+c，f（2）＝﹣8+12+18+c＝22+c，
则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝22+c＝20，
则c＝﹣2．
（3）由（1）知当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，当x＝3时，函数取得极大值f（3）＝﹣27+27+27+c＝27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则得，得﹣27＜c＜5，
即c的范围是（﹣27，5）．。