2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联
赛数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
10A x
x =->∣，{}
2log B x y x ==∣，则A B =（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,1]-∞-
D ．(,1)-∞-
【答案】B
【解析】分别化简集合,A B ，再求A B .
【详解】
{}210{1A x x x x =->=<-∣∣或 1}(,1)(1,)x >=-∞-+∞，(0,)B =+∞，
则(1,)A
B =+∞．
故选：B. 【点睛】
本题考查了对集合描述法的理解与化简，函数定义域的求法，集合的交集运算，属于基础题.
2．已知0x >，0y >，且14
1x y
+=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9
C ．12
D ．6
【答案】B 【解析】由411y x +=，则41()x y x y y x ⎛⎫
+=+⋅+ ⎪⎝⎭
，化简用均值不等式求最值. 【详解】
由题意可得
411y x +=，则414()559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当3x =，6y =时等号成立，故x y +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值时，注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1”的变形，属于基础题.
3．定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x R ∈都有(1)()f x f x +=；②当
x (1,2]∈时，()2f x x =-.若函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的
最大值是（ ）. A ．5 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】先根据(1,2]x ∈时，()2f x x =-，画出图象，再由函数周期1T =，画出函数()f x 在[0,4]的图象，由函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则()y f x =与log (1)a y x a =>有3个交点，数形结合，列出式子，求得a 的最大值. 【详解】
画出函数()y f x =，log (1)a y x a =>的图象，如下图所示
.
由题意，要使两函数的图象有三个交点，则需满足log 21
log 31a a
<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤，
所以实数a 最大值为3. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数周期性的应用，已知函数零点的个数求参数值，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.
4．已知向量(2,1)a =--，),2(b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）. A ．(1,4)(4,)-⋃+∞ B ．(2,)+∞ C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A
【解析】根据题意可知，0a b ⋅<且,a b 不共线，列式即可解出． 【详解】
依题可得，0a b ⋅<且,a b 不共线，即()2202210λλ--<⎧
⎨-⨯--⨯≠⎩
，解得1λ>-且4λ≠．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．
5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前3项和为7，且53134a a a =+，则3a =（ ）. A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
【答案】C
【解析】由条件列式求首项和公比，再求3a . 【详解】
设{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+得42
34q q =+，得24q =，因为数列{}n a 的各
项均为正数，所以2q
，又()
2123111(124)7a a a a q q a ++=++=++=，所以
11a =，所以2314a a q ==.
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列基本量的求法，重点考查计算能力，属于基础题型. 6．若2
cos 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则11cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）. A ．79-
B ．
79
C ．19
-
D ．
19
【答案】C
【解析】根据诱导公式可得11cos 2cos 2cos 2336πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，再根据
二倍角的余弦公式即可求出． 【详解】
11cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2412cos 121699πα⎛⎫
=--=⨯-=- ⎪⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．
7．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（ ）
A B
C D ．4
【答案】C
【解析】由条件2sin a C =结合正弦定理可得sin A =
，从而可得出3A π=，
由正弦定理可得ABC 的周长为112sin
6B C B π⎛
⎫+=++ ⎪⎝
⎭，则可得
出答案. 【详解】
∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =，
由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin A = .∵ABC 为锐角三角形，∴3
A π
=
.
由正弦定理，得
sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，c C =， ∴ABC 的周长为112sin
6B C B π⎛
⎫++=++ ⎪⎝
⎭，
∴当3
B π
=
，即ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为
211sin 6024
S =⨯⨯︒=
， 故选：C. 【点睛】
本题考查利用正弦定理进行边角的互化，求三角形的周长的最值，属于中档题. 8．已知E 为ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =，AC b =，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =，AQ nb =，则11
m n +=（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．13
【答案】A
【解析】由E 为ABC 的重心可得，()
1
3
AE AB AC =+，结合已知可用,AP AQ 表示AE ，然后由,,P E Q 共线可求. 【详解】
解：由E 为ABC 的重心可得，()
1
3
AE AB AC =
+， ∵AP ma =，AQ nb =，
()
111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=
+=+ ⎪⎝⎭
， ∵,,P E Q 共线，
11113m n ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
， 则
11
3m n
+=， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题. 9．函数21
x y +=
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】采用排除法，先判断函数3y x
=的奇偶性，然后判断其单调性，再带特殊点求函数值得出结果. 【详解】
因为函数y =
0x >时，
y ==y =(0,)
+∞上单调递减， 所以排除选项B ，D ；
又当1x =时，13
y =<， 所以排除选项A . 故选：C. 【点睛】
本题考查函数的图象判断问题，难度一般.一般地，解决根据函数的解析式判断函数图象问题时，要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等，采用排除法选出答案.
10．若数列{}n a 的首项121a =-，且满足2
1(23)(21)483n n n a n a n n +-=-+-+，则
24a 的值为（ ）
A ．1980
B ．2000
C ．2020
D ．2021
【答案】A
【解析】由条件2
1(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+可得
112123
n n a a
n n +-=--，从而数列23n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是首项为21，
公差为1的等差数列，由121a =，可得12121a =-，得出{}n a 的通项公式，进一步得出答案. 【详解】
∵2
1(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+，
∴()()()1232123n n n a n a n +-=-+-()21n -， ∴112123n n a a n n +∴
-=--，所以数列23n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是首项为21，公差为1的等差数列， ∴
21(1)12023
n
a n n n =+-⨯=+-，
∴*
(20)(23),n a n n n =+-∈N . 241980a =，
故选：A. 【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式，注意构造数列的方法，属于中档题.
11．已知(1
2)P ，是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点.设BPC θ∠=，若3
tan
2
4
θ
=
，则()f x 的图像对称中心可以是（ ） A ．()0,0 B ．()1,0
C ．13,02⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．17,02⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】根据P 点坐标及3
tan
2
4
θ
=
，求得,B C 的坐标，由BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，且周期为6，得到答案. 【详解】 如图所示:
取BC 的中点D ，连接PD ，则4PD =，2
BPD θ
∠=
，在Rt PBD 中，由3tan
2
4
θ
=
， 得3BD =.所以(2,2)B --，(4,2)C -，BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，
且周期T 6=，即对称中心为1(3,0)2k -，k Z ∈，当3k =时，对称中心为17,02⎛⎫
⎪⎝⎭
故选：D. 【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
12．已知函数(31)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ） A ．2 B ．2-
C ．1
D ．1-
【答案】A
【解析】根据奇函数的对称关系结合图象可知()f x 的对称性，进而得到()g x 图象的对称性，再由120x x +=可知点的对称，由此得出结论. 【详解】
解法一：函数(31)y f x =-为奇函数， 故(31)y f x =-的图象关于原点对称，
而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移1
3
个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍， 故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称，
()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，
故函数()y g x =图象关于(0,1)对称，所以()()2g x g x +-=， 而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=. 解法二：（特例法）设(31)f x x -=，令31t x =-，∴1
(1)3
x t =
+， 1(t)(t 1)3f ∴=+，∴1
()(1)3
f x x =+.
∵()y g x =与()y f x =关于y x =-对称 ，
1
(1)3
x y ∴-=-+，∴()31g x x =+，
∵120x x +=，所以()()122g x g x +=. 故选：A 【点睛】
本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P x y ，且75x y +=
，则3cos 22πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值是________.
【答案】
24
25
【解析】根据三角函数定义可求出7
cos sin 5
αα+=，由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.
【详解】
由三角函数定义知，cos x α=，sin y α=. ∴7cos sin 5
αα+=
， ∴2
49(cos sin )1sin 225
ααα+=+=， ∴4924sin 212525α=
-=， ∴324cos 2sin 22
25παα⎛
⎫
+== ⎪
⎝
⎭
. 故答案为：2425
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.
14．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最小值为________. 【答案】14
-
【解析】由2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，可求得120BAD ︒∠=，然后如图建立
平面直角坐标系，设点3,2M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用坐标把MA MB ⋅表示出来，231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+
=--，求此二次函数在13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值即可. 【详解】
解：如图，∵1AB AD ⋅=-，2AB =，1AD =， ∴||||cos 1AB AD BAD ⋅∠=-，
∴2cos 1BAD ∠=-，1
cos 2
BAD ∠=-
，∴120BAD ︒∠=.
以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
(0,0),(2,0)A B
，设M x ⎛ ⎝⎭
，13,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ 则231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+
=--.令21()(1)4f x x =--，13,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
， 则()f x 在1,12⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()14min f x =-.
故答案为：1
4
-， 【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系利用了坐标求解，考查了二次函数的性质，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题.
15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且1tan 3
B =
，则tan tan tan tan A C
A C +的值是____________.
【答案】
10
【解析】由条件得2b ac =，利用正弦定理边化角，将
11
tan tan A C
+化弦，再由1
tan 3
B =
求出sin B 可得. 【详解】
∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =， 由正弦定理得2sin sin sin B A C =，
∴
sin sin tan tan sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan sin cos cos A C
A C A C A C
B A
C A C A C B
A C
⋅===++， ∵1tan 3B =
，∴sin B =
，∴tan tan tan tan 10A C A C =
+.
【点睛】
该题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，等比中项，三角式的恒等变形，属于中档题目.
16．已知函数22log ,02()log (4),24
x x f x
x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若1()3f a f a ⎛
⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围
是____________.
【答案】13711110,,63a ⎛⎤
-+⎡⎫
∈ ⎥⎪⎢ ⎣
⎭⎝⎦
【解析】画出()f x 的图象，对a 进行讨论：1013a a <<+
≤，1
123
a a ≤<+≤，10123a a <<<+<，11243a a <<<+<，1
243
a a ≤<+<，结合单调性解不等
式，即可得到所求范围. 【详解】 函数22log ,02()log (4),24
x x f x x x ⎧<≤=⎨
-<<⎩的图象如图所示：
由于13
a a <+
， 当1
013a a <<+≤，即203
a <≤时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；
当1
123a a ≤<+≤，即513
a ≤≤时，函数()f x 递增，显然不合乎题意；
当10123a a <<<+<，即2533a <<，可得221log log 3a a ⎛
⎫ ⎪⎝
≥+⎭-，
解得
2137
36
a -<≤
， 当1
1243a a <<<+
<，即有523
a <<， 由题意可得221log log 43a a ≥--⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，解得11
26
a ≤<， 当1243a a ≤<+
<，即11
23
a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；
综上可得a
的范围是1111,63⎛⎡⎫
⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦，
故答案为：1111,63⎛⎡⎫
⋃ ⎪⎢ ⎣⎭
⎝⎦. 【点睛】
本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度. 三、解答题
17．已知全集为R .函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合
{}
220B x x x =--≥.
（1）求A
B ；
（2）若{}
1C x m x m =-<≤，(
)R
C B ⊆
，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）{}
2A B x x ⋂=≥；（2）(),2-∞. 【解析】（1）先求解集合A ，B ，再求交集； （2）先计算B R
，再对C 分C =∅和C ≠∅讨论，最后综合即可.
【详解】
（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{}
1A x x =>， 又220x x --≥， 得{
2B x x =≥或}1x ≤- ， ∴ {}
2A B x x ⋂=≥. （2）∵{}
12C x x ⊆-<<，
①当C =∅时，满足要求， 此时1m m -≥， 得1
2
m ≤
； ②当C ≠∅时，要{}12C x x ⊆-<<，则1112
m m m m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩
，解得1
22m <<；
由①② 得，2m <，∴ 实数m 的取值范围(),2-∞. 【点睛】
本题考查集合的关系及运算，考查运算能力，是基础题.
18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，
2
3
B π
=
，c = （1）求角C ；
（2）若点D 满足2AD DC =，求ABD △的外接圆半径. 【答案】（1）6
C π
=
；（2）1.
【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得
2sin sin sin B C B =，可求1
sin 2
C =
，结合C 的范围可求结果； （2）先由正弦定理得3b =，即2AD =，在ABD △中，由余弦定理可得1BD =，最后由正弦定理即可得结果. 【详解】
（1）由2sin cos cos b C a C c A =+，
由正弦定理可得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又∵()sin cos sin cos sin sin A C C A A C B +=+=， ∴2sin sin sin B C B =， ∵sin 0B >，∴1sin 2
C =. 又03
C π
<<
，所以6C π
=
.
（2）由正弦定理易知
sin sin b c
B C
==3b =. 又2AD DC =，所以22
33AD AC b ==，即2AD =.
在ABC 中，因为2π3ABC ∠=，6C π=，所以6
A π
=，
所以在ABD △中，6
A π
=，AB =2AD =
由余弦定理得
222
2cos 342212
BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯
=， 即1BD =，由22sin BD
R A
==可知ABE △的外接圆半径为1. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，通过三角恒等变换化简求值，属于中档题.
19．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若4822a a +=，且5a ，8a ，13a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2
1
11n n
n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明1
3
n S ≥
. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析.
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由已知列出关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）由（1）可得11122121n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，再利用裂项相消法求和即可证明；
【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，()()()
12
11121022
7412a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得11a =，2d =，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）()2
21
14111111(21)(21)(21)(21)22121n
n
n n a n b a a n n n n n n ++⎛⎫
=-=-==- ⎪-+-+-+⎝⎭
，
∴1111111112322121221n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⨯-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 因为1n ≥，所以
11
0321n ≥>+，所以2111321
n ≤-<+， 所以13
n S ≥ 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题．
20．已知ABC
的面积为B 是A ，C 的等差中项.
（1）若cos 3sin 2C A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，求边AC 的长； （2）当AC 边上中线BD 取最小值时，试判断ABC 的形状. 【答案】（1
）（2）ABC 为等边三角形. 【解析】（1）由条件可得60B =︒
，由1
sin 2
S ac B ==
，得到12ac =，由
cos 3sin 2C A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭结合正弦定理，得3c a =，可求出a c ，，再由余弦定理可求出
答案. （2）由1()2
BD BC BA =
+，平方可得()22211
(2)944BD a c ac ac ac ∴=++≥+=，根
据取等条件可得出答案. 【详解】
∵ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴60B =︒，
设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由ABC 的面积1
sin 2
S ac B ==，可得12ac =.
（1）∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2a =，6c =. 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，
∴b =AC 的长为（2）∵BD 是AC 边上的中线，1
()2
BD BC BA =
+， ()
()()22222221111
22cos (2)94444
BD BC BA BC BA a c ac B a c ac ac ac ∴=++⋅=++=++≥+=
当且仅当a c ==“＝”，3BD ∴≥，即BD 长的最小值为3，此时ABC 为等边三角形. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，中点公式的向量式的应用，三角形面积公式的应用，以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．
21．已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝
⎭的所有正数的零点构成递增数列
{}n a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）()*34
n a n n N =-
∈；（2）1
(1)22n n T n +=-+. 【解析】（1）令()0f x =可得出()1
4
x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和
公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）求出2n
n b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .
【详解】
（1）1
()2020sin 0()()444
f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫
=-
=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝
⎭， 这就是函数()f x 的全部零点，
已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ， 则其首项等于
14
，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*
34n a n n N =-∈.
（2）3224n
n n n
b a n ⎛⎫=+
=⋅ ⎪⎝
⎭
， 则()1
2
3
1
12223212
2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①
()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②
①-②：(
)()311211
2212222222
12
12n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=
-⋅=⋅---，
所以，()1
12
2n n T n +=-⋅+，
因此，数列{}n b 的前n 项和为()1
122n n T n +=-+.
【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题.
22．已知x ∈R ，定义函数()f x 表示不超过x
的最大整数，例如：1f =，
()3f π=，(0.5)1f -=-.
（1）若()2020f x =，写出实数x 的取值范围； （2）若0x >，且1(2())71x
f x f x f e ⎛
⎫
+=+
⎪+⎝⎭
，求实数x 的取值范围； （3）设()
()f x g x x k x =+⋅，7
2
1,78()2log (7),89
x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩，若对于任意的
[)123,,7,9x x x ∈，都有()()()123g x h x h x >-，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）20202021x ≤<；（2）5
32
x ≤<；（3）6k >-. 【解析】（1）由()f x 表示不超过x 的最大整数，可得x 的取值范围为20202021x ≤<；
（2）由指数函数的单调性，可得110212x <
<+，则1
(7)721
x
f +=+，即有72()8x f x ≤+<，考虑23x <<，解不等式即可得到所求范围；
（3）化简得()h x 在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增，求得()h x 的最值，可得所以
()11g x >在[)7,9恒成立，讨论当7,8x
时，当8,9x 时，由新定义和二次函数的
最值求法，即可得到所求k 的范围. 【详解】
（1）若()2020f x =，则x 表示不超过20201的最大整数，所以202020201x ，
故x 的取值范围为20202021x ≤<； （2）若0x >，可得11012
x e <
<+，(2())7f x f x +=， 则72()8x f x ≤+<，72()82x f x x -≤<-， 当1x =时，()5f x = ，不符合； 当2x =时，()3f x =，不符合； 则3x =时，()1f x =，不符合；
当23x <<时，()2f x =，所以72282x x -≤<-，解得5
32
x ≤<； 所以实数x 的取值范围为
5
32
x ≤<. （3）∵7
2
1,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-≤<⎩， ∴()h x 在[)7,8单调递减，在[)8,9单调递增. 可得max ()(7)1h x h ==，min ()(8)0h x h ==， 则()()()()23781max h x h x h h -=-=， 所以()11g x >在[)7,9恒成立，即()
1f x x k x
+⋅
>， 整理得2
()k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立，
当[7,8)x ∈时，27k x x >-在[7,8)恒成立，即6k >-， 当[8,9)x ∈时，28k x x >-在[8,9)恒成立，即7k >-， 综上可得： 实数k 的取值范围为6k >-. 【点睛】
本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.。