江西省上饶市上饶中学2016届高三数学上学期期中试题理零培优实验理补

上饶中学2015－2016学年高三上学期期中考试数 学 试 卷（理：零、
培优、实验、理补班）
考试时间：120分钟 分值：150分
考察内容：集合与简易逻辑、函数与导数、数列、向量、三角、不等式 一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合A={x|x 2
﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（ ）
A ． A∩B=∅
B ． B ⊆A
C ． A∩B={0，1}
D ． A ⊆B 2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4+a 25=5，则一定有( )
A ．a 6是常数
B ．S 7是常数
C ．a 13是常数
D ．S 13是常数
3.若10<<<y x ，10<<a ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．2log log 3y x a a <
B ．ay ax cos cos <
C ．y x a a <
D ．a a y x < 4.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )
A.21k k -
B.-2
1k k - C.21k k - D.-21k k
-
5.已知点A （﹣1，0），B （1，0），过定点M （0，2）的直线l 上存在点P ，使得，
则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6.设
(0,),(0,)
2
4ππ
αβ∈∈，且
1sin 2tan cos 2β
αβ+=
，则下列结论中正确的是（ ）
A ．
24π
αβ-=
B ．
24π
αβ+=
C ．
4π
αβ-=
D ．
4π
αβ+=
7.已知f （x ）=2x+3（x ∈R ），若|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），则a ，b 之间的关系是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1
()12
f = 如果对于
0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为 （ ）
A ．[)
(]-1,03,4 B ．[)-1,0 C ．(]3,4 D ．[]-1,4
9.已知x ，y 满足
，则使目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4的最优解
为（ ）
A ． （2，﹣2）
B ． （﹣4，0）
C ． （4，0）
D ． （7，3）
10.函数1
4)
62sin(2-+=x
x x y π
的图象大致为（ ）
11.已知点G 是△ABC 的重心，（ λ，μ∈R ），若∠A=120°，，
则的最小值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12.设曲线x
e ax y )1(-=在点),(00y x A 处的切线为1l ，曲线x
e x y --=)1(在点),(10y x B 处
的切线为2l ，若存在]2
3
,0[0∈x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）
]1,)((-∞A ),21)((+∞B )2
3
,1)((C ]23,1)[(D
二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知x ，y ∈（0，+∞），
，则
的最小值为 ．
14.已知数列{a n }中 n n n
n n n n S N n a a a a
a a a a ),(2,42,2,1,2*111
2
21∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥===++++是数列{a n }的前n
项和，则S 2015= 。

15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2
x
y =
与直
线1=x 及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积
12
|12)2(103210π
ππ===⎰x dx x V 圆锥 据此类比：将曲线)0(2≥=x x y 与直线y=2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=________.
16.已知函数2
1
11,[0,]3242
(),()sin()22(0)3221,(,1]
2
2x x f x g x a x a a x x x ππ⎧-+∈⎪⎪==+-+>⎨⎪∈⎪+⎩,给出下列结论:
①函数()f x 的值域为2
[0,]3
; ②函数()g x 在上是增函数; ③对任意0a >,方程()()f x g x =在内恒有解;
④若存在12,[0,1]x x ∈使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是44[,]95
. 其中正确命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、解答题（17题10分，其它每题12分）
17.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且（2a ﹣c ）cosB ﹣bcosC=0． （1）求∠B ；
（2）设函数f （x ）=﹣2cos （2x+B ），将f （x ）的图象向左平移后得到函数
g （x ）的图象，求函数g （x ）的单调递增区间．
18.若m ∈R ，命题p ：设x 1，x 2是方程x 2
﹣ax ﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x 1﹣x 2|对任意实数a ∈(0,2]恒成立，命题q ：函数f （x ）=x 3
+mx 2
+（m+
）x+3在
（﹣∞，+∞）上有极值，求使p 且￢q 为真命题，求实数m 的取值范围．
19.已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，首项a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1=2，且b 2S 2=16, b 3S 3=72． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（Ⅱ）令，其中 3,2,1,,,12121221=+===+-k kb a c a c c k k k k k 求数列{C n }的前2n+1项和T 2k+1 20．定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足：
2
()2()9,(2)(0)1x x
g x g x e h h e +-=+
--==且(3)2h -=-. (1）求()g x 和()h x 的解析式；
(2）1211222,[1,1],()5()(),x x h x ax g x x g x a ∈-++≥-对于均有成立求的取值范围.
21.设正项数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足)(2
212*∈+=
N n n
a S n n . （Ⅰ）计算321,,a a a 的值，猜想}{n a 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）设n T 是数列}1
{
2
n
a 的前n 项和，证明：124+<n n T n . 22.已知函数
ln ()a x
f x x +=
在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行。

（1）求实数a 的值及()f x 的极值；
（2）是否存在区间2
(,)(0)
3t t t +>，使函数()f x 在此区间上存在极值和零点？若存在，求实
数t 的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如果对任意的2
12
,[,)x x e ∈+∞，有
1212
11()()f x f x k
x x -≥-，求实数k 的取值范围。

上饶中学2015－2016学年高三上学期期中考试
数学参考答案（理：零、培优、实验、理补班）
一、选择题
CDDBA CABCD CD
二、填空题：
13.3 14.5239 15. 16.（1）（2）（4）
三、解答题
17. 解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，
（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，
即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，
因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
因为sinA≠0，所以cosB=，
由B是三角形内角得，B=，
（2）由（1）得，B=，
则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），
所以g（x）=﹣2cos，
=﹣2cos（2x+）=2sin2x，
由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：
18. 解：若命题p为真命题，
∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根
∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，
∴|x1﹣x2|==，
∵a∈(0,2]，
∴|x1﹣x2|≤4，
∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈(0,2]恒成立，
则只要|m+1|≥|x 1﹣x 2|max 在a ∈(0,2]成立即可 ∴|m+1|≥4
∴m+1≥4或m+1≤﹣4， ∴m≥3，或m≤﹣5， 若命题q 为真命题， ∵f （x ）=x 3
+mx 2
+（m+
）x+3，
∴f′（x ）=3x 2+2mx+（m+），
∵函数f （x ）=x 3
+mx 2
+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值， ∴f′（x ）=3x 2+2mx+（m+）=0有实根，
∴△=4m 2
﹣12m ﹣40≥0， 解得m≤﹣2，或m≥5， ∵p 且￢q 为真命题， ∴p 真，q 假，
⎩⎨
⎧<<--≤≥∴525
3m m m 或
解得3≤m＜5， 19.（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为，则
，
依题意有，
解得：或（舍去）， ，
． （Ⅱ）
，
令
①
②
①-②得：
，
．
20.(Ⅰ) 92
)(2)(-+
=-+x x e
e x g x g ,① ,92)(2)(-+
=+---x x e e x g x g 即,912)(2)(-+=+-x
x
e e x g x g ②
由①②联立解得: 3)(-=x
e x g .
)(x h 是二次函数, 且1)0()2(==-h h ,可设()12)(++=x ax x h ,
由2)3(-=-h ,解得1-=a .()1212)(2+--=++-=∴x x x x x h
,3)(-=∴x e x g 12)(2+--=x x x h .
(Ⅱ)设()625)()(2+-+-=++=x a x ax x h x ϕ,
()
()33133)(-+-=---=x e x e x e x F x x x ,
依题意知:当11x -≤≤时, min max ()()x F x φ≥
()()()1333x x x F x e x e xe '=-+--+=-+,在[]1,1-上单调递减, min ()(1)30F x F e ''∴==->
)(x F ∴在[]1,1-上单调递增, ()01)(max ==∴F x F
()()170,130
a a φφ⎧-=-⎪∴⎨=+⎪⎩≥≥解得: 37a -≤≤ ∴实数a 的取值范围为[]7,3-.………………………12分
21.（Ⅰ）解：当n=1时，21212111+=
=a S a ，得11=a ；12
12
2221+==+a S a a ，得22=a ； 2
3
21233321+=
=++a S a a a ，得33=a . 猜想n a n =………………………………………….3’ 证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.
（ⅱ）假设当n=k 时，k a k =…………………….4’ 则当n=k+1时，
)2
21(2121)221(212122122111k k k a k a k a S S a k k k k k k +-++=+-++=
-=++++ 结合0>n a ，解得11+=+k a k ………………..6’ 于是对于一切的自然数*
∈N n ，都有n a n =…………7’ （Ⅱ）证法一：因为
)1
21
121(
24
1
1
122
+--=-
<n n n n ，………………10’ 124)1211(2)1211215131311(212111222+=+-=+--++-+-<+++=n n n n n n
T n
证法二：数学归纳法
证明：（ⅰ）当n=1时，11
12
1==T ，3411214=+⨯⨯，341< （ⅱ）假设当n=k 时，1
24+<k k
T k
则当n=k+1时，2
21)1(1
124)
1(1+++<++
=+k k k k T T k k 要证：1
)1(2)
1(41+++<
+k k T k
只需证：
1
)1(2)
1(4)1(11242
+++<+++k k k k k 由于
2
2)1(1
1)22(4)12)(32(41241)1(2)1(4+>
-+=++=+-+++k k k k k k k k
所以
1
)1(2)
1(4)1(11242
+++<+++k k k k k 于是对于一切的自然数*
∈N n ，都有1
24+<
n n
T n 22.（1）221
(ln )
1ln '()x a x a x x f x x x ⋅-+--==
∵()f x 在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行∴
21ln1
'(0)01a f --=
=
∴a=1 ∴
1ln (),0x
f x x x +=
>
2ln '()x
f x x =-
，
当01x <<时，'()0f x >，当1x >时'()0f x <， ∴()f x 在（0,1）上单调递增，在(1,)+∞单调递减， 故()f x 在x=1处取得极大值1，无极小值
（2）∵1x >时，
1ln ()0x
f x x +=
>，
当0x →时，y →-∞，由（1）得()f x 在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，()f x 在区间（0,1）存在唯一零点， 函数()f x 的图象如图所示
∵函数()f x 在区间2
(,),0
3t t t +>上存在极值和零点
∴2013
1ln ()0t t t f t t ⎧<<<+⎪⎪⎨+⎪=<⎪⎩1
111313t t e t e ⎧<<⎪⎪⇒⇒<<⎨
⎪<
⎪⎩
∴存在符号条件的区间，实数t 的取值范围为11
(,)
3e ，
（3）由（1）的结论知，()f x 在2
[,)e +∞上单调递减，不妨设212x x e >≥，则，
212111
()()(
)f x f x k x x ⇔-≥-
212111()()f x k
f x k x x ⇔-≥-
⇔函数
()()k
F x f x x =-
在2
[,)e +∞上单调递减,
又
1ln ()()k x k F x f x x x x +=-
=-，
∴
2ln '()0k x F x x -=
≤，在2[,)e +∞上恒成立，∴ln k x ≤在2[,)e +∞上恒成立
在2
[,)e +∞上
2min (ln )ln 2x e ==，∴2k ≤。