2019年士兵军校考试《数学》向量及其应用考点与练习(1)
武警士兵考军校军考模拟题：数学部分(四)
武警士兵考军校军考模拟题：数学部分（四）关键词：武警考军校 军考模拟题 京忠教育 军考数学 武警考试资料1（2010-11）已知向量(3,2),(1,0)a b =-=- ，向量ka b + 与2a b - 垂直，则k=2（2012-16）（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----.（1）求已线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅= ，求t 的值.3（2013-17）（7分）已知12,e e 是夹角为23π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a b ⊥，求实数k 的值.4（2014-19）（10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a=（1,2）.（1）若c =c//a ，求向量c 的坐标；（2）若2b =，且a+2b 与2a-b 垂直，求向量a 与b 的夹角. 5.（2007-13）若复数Z 满足(1)Z i +=2，则Z 的实部是6.（2009-9）若复数1a i z i-=+是纯虚数，则a= 7.（2010-10）复数3(1)(2)i i i --+的共轭复数是 8.（2012-1）若复数2(1)a i -是纯虚数，则实数a 的值 （ ） A.1± B.-1 C.0 D.19.（2014-2）在复平面内，复数52i i-的对应点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.（2008-9）已知复数1121,1z i z z i =-=+ ，则复数2z =11.(2010-2)复数z 满足1(1)z z i -=+，则z 的值是 （ ）A.1i +B.1i -C.iD.i -12（2011-2）设复数122z =-+，则2z z +的值为 （ ）A.iB.i -C.1D.-113（2013-4）复数23201...i i i i +++++的值等于 （ ）A.1B.-1C.iD.-i14（2014-8）两个圆锥有等长的母线，而他们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的高之比为 （ ）A .2:1B C.1:215（2007-15）球O 的截面把垂直于截面的直径分为1:3球O 的表面积为16.（2009-13）在北纬60︒圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长为2R π（R 是地球的半径），则AB 两地的球面距离是17（2010-15）用平面α截半径R 的球，如果球心到平面α的距离是2R ，那么截得的小圆的面积与球的表面积的比值是18（2011-9）已知球与正方体的表面积相等，则球与正方体的体积之比为 （ ）π D.π19.（2013-12）如果球的直径，圆锥的底面直径和圆锥的高三者相等，那么球与圆锥的体积之比是=20（2009-6）设,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三阿哥不同平面，则下列命题是真命题的是（ ）A.若m,n 与l 所成的角相等，则m//nB.若γ与,αβ所成的角相等，则//αβC.若//αβ，m α⊂，则//m βD.若m,n 与α所成的角相等，则m//n21.（2010-7）设,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中真命题是（ ）A.若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB.若,,l αβα⊥⊂则l β⊥C.若,l n m n ⊥⊥，则//l mD.若//,l l βα⊥，则αβ⊥22（2011-8）设有不同的直线a ，b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题： （ ） ①若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥③若,l n m n ⊥⊥，则//l m④若//,l l βα⊥，则αβ⊥A.0个B.1个C.2个D.3个23.（2012-15）已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题： ①若,,//,l m l ααβ⊂⊂则//αβ②若,//,l l m αβαβ⊂⋂=，则//l m③若,//,l l m αβαβ⊂⋂=，则//l m④若,//,//l m l ααβ⊥，则m β⊥其中真命题是24.（2013-5）设有不同的直线a 、b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ②若//a α，//a β，则//αβ③若若a γ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确的个数是 （） A.0 B.1 C.2 D.325.（2014-9）平面α//β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a//α,a//βB.存在一条直线a,a α⊂,//a βC.存在两条平行直线a,b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线a,b ，,.//,//a b a b αββα⊂⊂26.（2007-19）（14分）在正方体中，M ，N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1CD 与AB 的中点.（1）求证：MN//平面11ADD A ；（2）求异面直线MN 和AC 所成角的余弦值.27.（2009-22）（13分）如图，在三棱锥P-ABC 中，,,30PA PB PA PB AB BC BAC ==⊥⊥∠=︒,平面PAB ABC ⊥.（1）求证：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角P-AC-B 的平面角的正切值.28（2010-21）（12分）如图，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若22PA PB BC ===，求A 点到平面PBC 的距离.29（2011-20）（14分）三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形，90PCA ∠=︒，D 为PA的中点，二面角P-AC-B 为120︒，PC=2，AB =（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成角的正弦值. 30（2012-21）（13分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC=DC=1，90BCD ∠=︒，E ，F 分别为AC ，AD 上的动点，且EF//平面BCD ，二面角B-CD-A 为60︒.（1）求证：EF ⊥平面ABC ；（2）若BE ⊥AC ，求直线BF 和平面ACD 所成角的余弦值.31（2013-21）（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC=3,BC=4,AB=5, 点D 是AB 的中点.求证：（1）1AC BC ⊥;（2）1AC ⊥平面1CDB .32.（2014-21）（12分）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面SAB SBC ⊥,,AB BC AS AB ⊥=,过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为棱SA 、SC 的中点.求证：（1）平面EFG ABC ⊥;（2）BC SA ⊥.。
军校考试大纲数学考点—直线的方向向量
军校考试大纲数学考点—直线的方向向量
关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学
空间直线
空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。
直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。
已知定点Pο(xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点P ο与v是确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
平面直线
把直线上的向量以及与之平行的向量叫做直线的方向向量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量(以原点为起点)。
即已知直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
张为臻博客
若直线l的斜率为k,则l的一个方向向量为(1,k)
若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为(x2-x1,y2-y1)
对向量的模长没有要求，每条直线的方向向量都有无数个。
军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。
士兵军校考试之军考数学练习题1
士兵军校考试之军考数学练习题1关键词：士兵军考 军校考试 张为臻 军考数学 练习题1.函数)(sin R x x y ∈=π的部分图像如图所示，设O 为坐标原点，P 是图像的最高点，B 是图像与x 轴的交点，则OPB ∠tan 的值为( )A.10B.8C.8/7D.4/72.已知函数1)(cos )(2+-=m x x f 在1cos -=x 时取得最大值，在m x =cos 时取得最小值，则实数m 的取值范围是( )A.1-≤mB.1≥mC.10≤≤mD.01≤≤-m3.若集合{}1|-==x y x A ，{}2|2+==x y y B ，则=⋂B A ( )A.[1，+∞)B.(1,+∞)C.[2，+∞)D.(2，+∞)4.函数x y 2sin =是( ) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函5.已知幂函数αx x f =)(的图像过点(4,2)，若f(m)=3，则实数m 的值为( ) A.3B.±3 C.±9D.96.若31)cos(-=+απ，则αcos 的值为( ) A.31 B.-31C.322D.-322参考答案与解析1．B 。
【准维解析】过P 作OB 的垂线，垂足为D ，∵22||===ππOB T ，1||=DP ，2141||==T OD ，2343||==T BD ，OPB ∠tan =21，23tan =∠BPD ，∴OPB ∠tan =8232112321)tan(=⨯-+=∠+∠BPD OPD ，故选B. 本题考查两角和与差的三角函数。
2．C 。
【准维解析】设x t cos =，则[]1,1-∈t ，依题意知1)()()(2+-==m t x f t g 在t=-1时取得最大值，而在t=m 时取得最小值，结合二次函数的图像可知⎩⎨⎧≤≤-≥-11)1()1(m g g 即⎩⎨⎧≤≤-+-≥+--111)1(1)1(22m m m ，也就是⎩⎨⎧≤≤-≥110m m ，所以10≤≤m ，故选C. 本题考查余弦函数的值域、二次函数的图像与性质。
消防士兵考军校真题试卷：数学部分(四)
消防士兵考军校真题试卷：数学部分（四）关键词：消防考军校 真题试卷 京忠教育 军考数学 消防考试资料 一．单项选择题(每小题5分）1．设全集{}1,0,1,2,3I =-，集合{}1,3M =，则CIM=（A ）{}1,0,1,2,3- （B ）∅ （C ）{}1,3（D ）{}1,0,2-2．已知向量(1,1)=- a ，(2,5)= b ，则2=-a b（A ）(4,3)（B ）(0,7)-（C ）(0,6)-（D ）(0,3)3．在等比数列{}n a 中，若2=2a ，51=4a ，则公比=q（A ）12-（B ）2- （C ）2（D ）124．函数10)y x =-<≤的反函数为（A ）1)y x =<≤ （B ）1)y x <≤（C ）10)y x =-<≤（D ）10)y x =-<≤5．已知平面向量a ，b ，a 4=，b 5=，10⋅=a b ，则向量a 与b 的夹角θ=（A ）90︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒6．若0.33a =，b=3，0.23c =-，则a ，b ，c 之间的大小关系是（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c b a << 7．若直线40x y +-=与圆22240x y x y a ++--=相切，则实数a 的值为（A ）12- （B ）2-（C ）152（D 8．函数11y x x =+-(1)x >的最小值为 （A ）4（B ）3 （C ）2 （D ）19．若双曲线22214x y b-=（0b >）的一条准线方程为x =，则b 的值为（A（B（C ）1 （D ）2 10．已知直线l α⊥平面,直线m β⊂平面，则下列四个命题中，正确的命题是（A ）若αβ⊥，则//l m （B ）若αβ⊥，则l m ⊥ （C ）若l m ⊥，则//αβ（D ）若//l m ，则αβ⊥11．已知函数sin()y A x ωϕ=+()x ∈R ，其中0A >，0ω>，π||2ϕ<，它在长度为一个周期的闭区间6π⎡-⎢⎣，5π⎤⎥6⎦上的图象如图所示，则该函数的解析式是 （A ）π3sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()x ∈R（B ）π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()x ∈R （C ）1π3sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()x ∈R （D ）17π3sin 212y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()x ∈R 12．有6名即将退伍的战士与排长合影留念，7人站成一排，排长站在正中间，并且甲、乙两名战士相邻，则不同的站法有（A ）48种 （B ）96种 （C ）192种（D ）240种二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．sin 330︒= ．14．二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 （用数字作答）．15．已知数列{}n a 中，14a =，132n n a a +=-()n *∈N ，则4a = ． 16．设集合{},A x x m x =<∈R ，{}|2|3,B x x x =-<∈R ．若A B B =I ，则实数m 的取值范围是 ．O 3-6π- 56π xy17．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，现沿EF 将正方形折成直二面角（如图），M 为CF 的中点，则异面直线CE 与BM 所成角的余弦值为 ．18．已知定义在区间[]22,- 上的奇函数()f x 单调递减．若2(2)(21)0f m f m -+->，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）已知cos θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 2θ的值．20．（12分）已知二次函数2()1f x ax bx =++ 是偶函数，且(1)0f =．（1）求a ，b 的值；（2）设()(2)g x f x =+若()g x 在区间[2,]m - 上的最小值为3-，求实数m 的值．21．（12分）在等比数列{}n a 中，已知公比2q =，n S 是{}n a 的前n 项和，N n *∈，且328S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设23log n n b a =，N n *∈．① 求证{}n b 是等差数列； ② 求{}n b 的前10项和10T ．22．（12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点(2,0)，离心率12e =．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为12，求AB 的值．23．（14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，点E 是棱AC 的中点．（1）求证BE ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1C BC E --的大小； （3）求点1A 到平面1BC E 的距离．ABC1A1B1CE。
【军考】高中学力士兵考军校数学科目每日一练习题集
第 11 天 单元练习.................................................................................................................................................. - 40 单元练习答案与详解.............................................................................................................................. - 43 -
◎考点一：同角关系...................................................................................................................... - 48 ◎考点二：两角和差与二倍角公式.............................................................................................. - 48 ◎考点三：复合三角函数性质...................................................................................................... - 49 ◎考点四：解三角形...................................................................................................................... - 51 第四章 三角函数答案与详解............................................................................................................ - 55 ◎考点一：同角关系...................................................................................................................... - 55 ◎考点二：两角和差与二倍角公式.............................................................................................. - 57 ◎考点三：复合三角函数性质...................................................................................................... - 60 ◎考点四：解三角形...................................................................................................................... - 63 -
士兵军校考试数学—立体几何相关考点归纳总结(1)
士兵军校考试数学—立体几何相关考点归纳总结(1)关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训士兵军考军考数学考点平面表示方法：(1)用希腊字母α、β、γ写在一个角上。
如平面α、平面β。
(2)用四个顶点的字母或者对角线的字母。
如平面ABCD、平面AC。
平面与直线1、点A在平面α内，记作A∈α;点B不在平面α内，记作B不属于α。
2、点P在直线l上，记作P∈l;点P在直线l外，记作P不属于I。
3、如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者平面α经过直线l，记作l⊂α，否则说直线l在平面α外，记作l不属于α。
4、平面α、β相交于直线l，记作α∩β=l。
5、直线a在平面α内记作 a⊂α公理公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理二：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理三：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
张为臻博客推论推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线，有且只有一个。
平面相交的判定如果两个平面有一个公共点，就说这两个平面相交。
线面平行的判定平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面平行的判定1、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、垂直于同一条直线的两个平面平行。
线面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线平行。
平面平行的性质1、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。
线面垂直的判定1、一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2、如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。
平面垂直的判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
公安边防消防警卫部队院校招收士兵学员统考复习指导用书——数学考纲
考试大纲第一章集合与简易逻辑1.了解集合的意义及其表示方法；了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法；了解符号属于、不属于、包含、不包含、等于的含义，并能正确运用它们表示元素与集合、集合与集合的关系。
2.了解逻辑连词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件与充要条件的意义。
第二章函数1.理解函数的概念，会求一些常见函数的定义域。
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法。
3.了解反函数的概念及互为相反数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4.理解正比例函数、反比例函数、一次函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式。
5.理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质；会求二次函数的解析式及最大值或最小值；能运用二次函数的知识解决有关问题。
6.理解幂函数的概念，掌握幂函数的图像和性质。
7.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图像和性质。
8.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。
9.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决一些简单的实际问题。
第三章数列1.理解数列的概念，了解数列通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项。
2.理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题。
第四章不等式1.理解不等式的性质及其证明。
2.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数定理，并会解决一些简单的实际问题。
3.掌握用分析法、综合法和比较法证明简单的不等式。
4.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，会解一元二次不等式，会表示不等式或不等式组的解集。
士兵军考试题：军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题
阶段性检测试题一、选择题（共9小题，每题4分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( D )A ．∅B ．(0，13]C ．[13，1] D ．(－∞，1](1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，13]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a 3a 9＝2a 52，a 2＝2，则a 1＝( C )D ．2解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，∴a6＝2a5，q ＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C.3．已知f(x)＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<0，则( D )A ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x)≥0B ．p 是假命题，⌝p ：∃x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0C ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)>0D ．p 是真命题，⌝p ：∃x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0解析：选D.因为f′(x)＝3cos x －π，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<f(0)＝0，所以p 是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.4．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为(D )解析：选⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，故cos 〈a ，b 〉＝－32，故所求夹角为5π6.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A ) A ．f(x)＝21xB ．f(x)＝x 2＋1 C ．f(x)＝x 3 D ．f(x)＝2－x解析：选中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f(x)＝x3是奇函数．D 中f(x)＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．6．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( B)解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f(x)＝ax 是增函数， g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选B.7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1 n －1n －1[解析] (1)由已知Sn ＝2an ＋1，得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn)，即2Sn ＋1＝3Sn ，Sn ＋1Sn ＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.[答案] B8.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( B )A ．0B ．1 D ．3 解析：选＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)，∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z 的最大值为1.9.已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( C )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选－2S10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d . 又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.二、填空题（共8小题，每题4分）1、函数f (x )＝10＋9x －x 2lg （x －1）的定义域为( )解析：要使函数有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，解①得－1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y ＝)24cos(x -π的单调减区间为________．(3)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k∈Z)，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．3、函数f(x)＝43323--+x x x 在[0，2]上的最小值是( ) A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选′(x)＝x2＋2x －3，令f′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－173.4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA2＋AC2＝2 2. 答案：225、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n3.答案：49－4n36、若命题“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．因为“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.7、若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． ∵f (x )是以4为周期的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝sin 7π6＝－12.又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝－316，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝12－316＝516.8．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的值为________．解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x)≥0显然成立； 当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3（1－2x ）x4，所以g(x)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a≥4.当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1，0)上单调递增， ∴g(x)min ＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a ＝4. 答案：4三．计算下列各题：（18分）(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； 解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.求角A 的大小； [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.四、（12分）已知2311:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
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士兵考军校数学基本常识军考考点解剖：指数与对数关键词：军考 士兵考军校 京忠军考 基本常识 考点解剖 指数与对数一、京忠军考考点解剖：指数幂的运算法则(1))0(10≠=a a ； )0,(1≠∈=-a N n aa n n ； n m n m a a = (2)),,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=+(3)),,0()(Q s r a a a rs s r ∈>=(4)),0,0()(Q r b a b a ab r r r ∈>>=二、京忠军考考点解剖： 指数函数①一般形式：()0,1x y a a a =>≠；指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质： 1a> 01a <<（1）定义域：(,)-∞+∞三、京忠军考考点解剖：对数的运算性质：（1）如果0,0,0,0,a a M N >≠>>那么①()log log log MN M N a a a =+N M MN a a a log log )(log +=② log log log ;M M N Na a a =-③log log ()n M M a a n n R =∈ （2）换底公式：log log (01,0)log N Na b b a a b a b N =>≠>、且、四、京忠军考考点解剖：对数函数 （1）对数的定义：若N a b =,则数b 叫做以a 为底N 的对数,记作log b N a =（2）常用对数与自然对数：对数log (a 0,a 1)Na >≠,当底数①a=10时,叫做常用对数,记作N lg ；②a=e <e=2.71828…> 时,叫做自然对数,记作ln N .（3）常用的结论：对数恒等式：log (0,1)Na a N a a =>≠；负数和零没有对数. log 1a = 0 ；log a a = 1 ；log a N a = N .（4）对数函数：函数log (a 0,a 1)xa y =>≠叫做对数函数.（5）对数函数的图像特征和性质（6）对数函数与指数函数互为反函数,它们的图像关于直线y=x 对称.五、京忠军考考点解剖：指数对数方程根据指数对数的运算,通过整理,转化成一般的一元一次方程在求解.注：0 x a ,对数中真数>0.。
解放军军校考试《数学》大纲：函数(1)
解放军军校考试《数学》大纲：函数(1)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点函数在数学上的定义：给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f(A),得到另一数集B,也就是B=f(A).那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。
例:设数集A={1、2、3、4、5},对A施加对应法则求平方，得B={1、4、9、16、25}也就是B=f(A)=A^2，这个关系式就是函数。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量(数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化)，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量(函数)：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
映射定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f:A→B。
其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a);a 称为b关于映射f的原象。
集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。
则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。
(函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象)张为臻博客元素输入值的集合X被称为f的定义域;可能的输出值的集合Y 被称为f的值域。
函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。
注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。
士兵考军校数学基本常识军考考点解剖
士兵考军校数学基本常识军考考点解剖：函数关键词：军考 士兵考军校 京忠军考 基本常识 考点解剖 函数一、京忠军考考点解剖：函数（1）函数的定义:如果变量x 在某个变化范围内任意取定一个数值时,按照某个对应法则,变量y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数,其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,x 的取值范围叫做函数的定义域,y 的取值范围叫做函数的值域,记作()y f x =（2）函数的三要素：定义域,值域和对应法则.同一函数的概念,当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们就是同一函数,值域是由定义域和对应法则共同确定.（3）函数的表示方法：解析式,列表法,图像法.解析式注意有分段函数.（4）分段函数：根据自变量的划分区间,进行代入计算即可.二、京忠军考考点解剖：函数的单调性1.单调性定义：设函数()y f x =的定义域为,(,)D a b D ⊆,对于任意的12,(,)x x a b ∈：如果当时12x x <,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在区间(,)a b 内是增函数如果当时12x x <,都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在区间(,)a b 内是减函数如果函数()y f x =在(,)a b 内是增函数或是减函数,就说函数()f x 在(,)a b 内具有单调性,或称()f x 是(,)a b 内的单调函数,(,)a b 叫函数的单调区间2.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法 （适用于函数单调性的证明；分式和根式函数单调性的判断）设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x 1＜x 2,若f (x 1)＜f (x 2),则此函数为增函数；反知,若f (x 1)＞f (x 2),则此函数为减函数.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：①任取x 1,x 2∈D,且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．特别提醒：求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数,求a 的取值范围（答：） （2）同增异减法 （复合函数的单调性）复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下图：（3）导数法 （适用于对数函数,指数函数和幂函数的单调区间的求解）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x ) ≥0解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )≤0解不等式,得x 的范围,就是递减区间.三、京忠军考考点解剖：函数的奇偶性（1）定义：设函数()y f x =的定义域为D,其定义域关于原点对称,若对于定义域内的任何一个x,都有()()f x f x -=-,就称函数为奇函数；若对于定义域内的任何一个x,都有()()f x f x -=,就称函数为偶函数 （2） 函数奇偶性的性质：①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定也是奇函数.⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否关于原点对称；②比较)(x f -与)(x f 的关系.③扣定义,下结论.⑵图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数. ⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；③若奇函数()f x 定义域中含有0,则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件.（3）确定函数奇偶性的常用方法若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f ()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数； 对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数.③若()f x 为偶函数,则()()(||)f x f x f x -==.四、京忠军考考点解剖:反函数1.反函数的定义：设函数()y f x =,它的定义域是D,值域是C,从式子()y f x =中求出x,得到式子()x y φ=.如果对于y 在C 中的每一个值,通过式子()x y φ=,x 在D 中都有唯一的它对应那么式子()x y φ=就可以表示以x 为因变量,以y 为自变量的函数,这个函数()x y φ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,即1()()x y y f x φ-==.在函数式子1()x f y -=中,y 为自变量,x 为因变量,但在习惯上一般以y 为因变量,以x为自变量.为此我们习惯把1()x fy -=改写为1()y f x -=2.反函数的性质： ①反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域；②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.求反函数的一般步骤3.求反函数步骤：（1）求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域,这定义域在结论中是必须指出的. （2）在原函数的解析式中反求x,写成x=g(y).（3）x, y互换,即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.（4）下结论（注意给出反函数定义域）（5）点（a,b）原函数上,则点（b,a）在反函数上.。
消防士兵考军校真题试卷：数学部分(六)
消防士兵考军校真题试卷：数学部分（六）关键词：消防考军校 真题试卷 京忠教育 军考数学 消防考试资料 一、单项选择题(每小题5分）1. 设集合}2,1,0,1,2{--=A ，}21|{<<-=x x B ，则=B A A. }0{ B. }1{C. }1,0{D. }1,1{-2. 在各项均为实数的等比数列}{n a 中，若311=a ，94=a ，则=1011a aA. 3-B. 3C. 9-D. 93. 已知平面向量)2,1(=a ，=b )3,(m ，若a ∙b 4=，则实数=mA. 2-B. 1-C. 1D. 24. 函数)01(12≤≤-+=x x y 的反函数为 A. )10(1≤≤-=x x y B. )21(1≤≤-=x x yC. )10(1≤≤--=x x yD. )21(1≤≤--=x x y5. 若0=a ，3log 2=b ，4.0log 2=c ，则c b a ,,的大小关系是 A. c b a << B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<6. 将函数)3sin(π+=x y (∈x R )的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，所得函数图象对应的解析式为 A. )32sin(π+=x y B. )322sin(π+=x yC. )32sin(π+=x yD. )62sin(π+=x y7. 已知圆O 的方程为122=+y x ，过点)0,2(-P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 的面积为A. 3B.23C. 2D. 328. 函数b a x f x +=)((0>a ，且1≠a )的图象如图所示，则b a +的值为 A. 2B. 4C. 2-D. 4-9. 过抛物线x y 42=的焦点且倾斜角为 45的直线交抛物线于B A ,两点，则线段AB 的长为A. 5B. 6C. 7D. 810. 对于空间两条直线m ，n 和两个平面α，β，使得n m //成立的一个条件为 A. α//m ，β//n ，βα// B. α⊥m ，β⊥n ，βα//C. α//m ，β//n ，βα⊥D. α⊥m ，β⊥n ，βα⊥11. 函数)0(142>+=x x x y 的最大值为A.41 B.21 C.2 D. 412. 将5名战士分配到4个行动小组中去，每个行动小组至少分到1名战士，则不同的分配种数为A. 120B. 240C. 360D. 480二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 13. 已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则=αtan . 14. 在数列}{n a 中，11=a ，31+=+n n a a (∈n N *)，则=8a .15. 已知集合{}R ∈<+=x x x A ,3|12|，{}R ∈<-=x x x x B ,022，则=B A .16. 在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中，常数项为(用数字作答).17. 在ABC ∆中， 30=∠A ， 90=∠C ，D 是AB 的中点. 将ABC ∆沿CD 折成如图所示的直二面角A CD B --.设E 为AC 的中点，则异面直线BE 与AD 所成的角为.18. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当),0(∞+∈x 时，)1()(+-=x x x f . 若)2()(2f m m f >-，则m 的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.（10分）已知71sin =x ，20π<<x .(Ⅰ) 求x tan 的值；(Ⅱ) 求)6cos(π+x 的值.20.（12分）设函数c bx x x f ++=2)((其中∈c b ,R ).(Ⅰ) 若关于x 的方程1)(=x f 的解集为}1,0{，求c b ,的值；(Ⅱ) 若关于x 的不等式2)(≤x f 的解集为]0,2[-，求函数)(x f 在区间]3,3[-上的最大值与最小值.21.（12分）已知数列}{n a 的通项公式为c n a nn ++=221，其中∈c R ，∈n N *，且21=a .(Ⅰ) 求c 的值； (Ⅱ) 设n n n a b 21-=，∈n N *，证明}{n b 是等差数列； (Ⅲ) 求数列}{n a 的前n 项和n S (∈n N *).EDBAC22.（12分）如图，正四棱柱ABCD D C B A -1111中，底面边长为2，高为3. 设AC 与BD 相交于点O ，E 为棱1BB 的中点.(Ⅰ) 求二面角1A CD A --的正切值；(Ⅱ) 证明//OE 平面CD B A 11； (Ⅲ) 求点B 到平面CD B A 11的距离.23.（14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为35，长轴的两个端点分别为)0,3(-A ，)0,3(B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上异于B A ,的任意一点，21,k k 分别是直线PA 与PB 的斜率，求证：21k k 是定值；（Ⅲ）设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆相交于N M ,两点. 若ON OM ⊥，求直线l 的方程．1A。
高中士兵学历军考数学模拟试卷及答案
高中士兵学历军考数学模拟试卷及答案关键词：冠明军考 军考模拟试卷 军考教材 士兵考军校教材 士兵考军校试卷一、选择题(每小题4分，共36分）1.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝（ ） A.[0，2] B.(1，3) C.[1，3) D.(1，4)2.已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.i 是虚数单位，复数7i34i （ ）A.1iB.1+i -C.1731+i 2525 D.1725+i 77-4.设U 为全集.A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝φ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若log 4(3a ＋4b ）＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是（ ） A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3 D.7＋4 36.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ） A.22+45361x y = B.22+36271x y = C.22+27181xy=D.22+1891xy=8.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A.36π B.64π C.144π D.256π9.用数学归纳法证明2n＞2n ＋1，n 的第一个取值应是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题4分，共32分）10.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （n *∈N ），则数列}1{na 的前10项和为 .11.i 是虚数单位，复数.12.在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆=2sin ρθ的公共点的个数为 .13.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 .14.有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为 .15.设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为 .16.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为 . 17.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝ . 三、解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分） 18.已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }. （1）求a ，b 的值；（2）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图像上（*n ∈N ）. （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点22()a b ，处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量222m ⎛= ⎝⎭，()=sin ,cos n x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.21.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列及均值E (X ).22.已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). （1）讨论f (x )的单调性；（2）当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.23.已知点A (0, 2),椭圆E :2222+x y a b +=1(a>b>0)2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点.（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.24.如下图所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE＝ CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D 'EF 的位置.（1）证明：AC ⊥HD ′；（2）若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ ABCFE 的体积.。
军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点173：向量方法在研究几何问题中的应用
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军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点173：向量方法在研究几何问题中的应用关键词：军校考试张为臻军考大纲军校考试培训军考数学一、向量法在解析几何中的应用向量法在解析几何中的应用主要是通过建立直角坐标系，把几何问题坐标化，代数化，利用代数方法研究曲线性质。
用向量法解决解析几何问题的优越性在于将错综复杂的位置关系演化化为纯粹的代数运算。
用向量法解解析几何问题的基本思路是根据题意巧妙构造向量，或把题中有关线段看作向量，角看作两向量夹角，利用向量运算的几何意义和有关公式(如数量积公式、定比分点公式等)进行运算，并注意利用共线向量和垂直向量的充要条件，从而使问题得到解决。
凡涉及两直线平行、垂直、夹角、线段比、三点共线等的解析几何问题，可考虑利用向量法解之。
利用向量法解解析几何问题的步骤是：建立直角坐标系，必要时设参数，求出相关点和向量的坐标;根据已知条件和向量的有关性质列出等式;进行向量运算求得结果。
1、夹角问题若求角的值或判断两角是否相等，或判断两直线夹角是锐角、直角、钝角等。
常用数量积公式去计算其余弦值(进而求出角)或去判断余弦值符号。
2、平行问题平行、共线问题是高考的热点之一，从近年的高考命题来看，可以考小题，也可以考大题。
涉及平行、共线的问题常利用共线向量的充要条件来帮助解题。
3、垂直问题垂直问题也经常在高考题中出现，尤其是在解答题中。
可以利用向量垂直的充要条件，即两向量数量积为0来处理。
4、轨迹问题求轨迹方程的方法有很多，利用向量法求轨迹方程有时可以起到减少运算，条理清晰，事半功倍的效果。
张为臻博客向量法是解决解析几何问题的一把利剑，它可以使问题简单化，避免讨论，它为求解解析几何问题开辟了一条新途径，利用向量法巧解高考数学试题已成为解题的一种技巧，鉴于高考试题中利用向量法来解的解几试题已屡见不鲜，因此掌握这种技巧已十分必要。
二、向量法在立体几何中的应用立体几何主要培养学生的逻辑推理能力与空间想象能力，要求学生能判断点、线、面的位置关系，进行角、距离的计算，很多学生对此感到困难。
数学：二0一九年军队院校招生文化科目统一考试
2019年军考士兵高中数学试题一、单项选择（每小题4分，共36分）．1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（0，+∞）2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．43. 设a b 、是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知421353=2,4,25a b c ==，则（ ）A ． b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ． c<a<b5. 直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为 （ ）.4A B C D 6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ）A m ∥β且1l ∥αB m ∥1l 且n ∥2lC m ∥β且n ∥βD m ∥β且n ∥2l9. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则()=-1f （ ）A 3B 2C -1D -3二、填空题（每小题4分，共32分）10. 设向量，，且，则m= ．11. 设tanα，tanβ是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为 ．12. . 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若,24,363==S S 则9a = 。
士兵考军校数学基本常识军考知识点
士兵考军校数学基本常识军考知识点士兵考军校数学基本常识军考知识点：函数部分关键词：军考士兵考军校京忠军考基本常识军考知识点函数知识点一：函数周期性一．知识点解析：设对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T,对于定义内的任何一个x,都有等式()()f x T f x +=,则()f x 是周期为T 的周期函数.一个周期函数,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.二、京忠军考强化训练1．设函数是以3为周期的奇函数,且,则（）A ．1>a B ．1-a D ．2-<a< p="">2．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（） A.10个 B.9个 C.8个 D.7个3．若是上周期为5的奇函数,且满足,则的值为（）A ．B ．1C ．D ．2知识点二：指数对数互为反函数（在对数函数中体现）知识点解析：对数函数与指数函数互为反函数,它们的图像关于直线y=x 对称.知识点三：幂函数一、知识点解析：1.幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 2.幂函数的性质)( )(R x x f ∈a f f =>)2(,1)1(()f x R (1)1,(2)3f f ==(8)(4)f f -1-2-二、京忠军考强化训练1．下列所给出的函数中,是幂函数的是（） A ．3x y -= B ．3 -=x y C ．32x y = D ．13-=x y 2．已知幂函数过点)8,2(P ,则其解析式为___________.3．若函数1,0()1(),03x x x f x x ?<??=??≥??,则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.知识点四：零点问题一．知识点解析：函数f(x)=0时x 的值即为零点.二、京忠军考强化训练 1．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（） A.0 B.1 C.2 D.无数个 2．函数f(x)＝lo g 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3知识点五：二次函数一．知识点解析：（1）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；③已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．（2）二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点；③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >恒成立；当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <恒成立．（3）二次函数常用解题方法总结：①求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；②求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；③根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；④二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 二、京忠军考强化训练1．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x －1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x －1)2+32．若二次函数b x a x y +-+=)1(232在区间(,1]-∞上为减函数,那么（）A.2a <- B.2a ≥- C.2-≤a D.2->a3．已知二次函数2()()f x ax bx c a c =++≠,若(1)0f -=,则函数()f x 有（）个零点A ．0B ．1C ．2D ．与a 有关</a<>。
2019年军考之边消防军考数学模拟考卷1
2019年军考模拟题（1）一、填空题1．已知集合A＝{}2log ,1y y x x =>，B＝{}2,1x y y x -=>，则A∪B＝（）A．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B．{}0y y >C．ΦD．R 2．化简31i i -+=（）.A．1+2iB．1–2i C．2+i D．2–i3．下列叙述正确的是（）A．tan y x =的定义域是R B．y x =的值域为R C．1y x =的递减区间为()(),00,-∞+∞ D．x x y 22cos sin -=的最小正周期是π4．函数y =2x +1的图象是（）5．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m、n ,下列命题中真命题是（）A．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B．若//,a b b α⊂,则//a αC．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD．若//,,,a b αβαγβγ== 则//a b 6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||35=b ，则b 等于()A．(6,3)-B．(3,6)-C．(6,3)-D．(3,6)-7．直线1y kx =+与圆220x y kx y ++-=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（）A．0B．1C．2D．38．在等比数列｛a n ｝中，已知,11=a 84=a ，则=5a （）A．16B．16或－16C ．32D．32或－329．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则(2)f -=（）A．14B ．4-C ．41-D．410．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是（）A．()()+∞-∞-,11, B．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C．()()+∞-∞-,,2222 D．()()+∞-∞-,,2211．若0x <且1x x a b >>，则下列不等式成立的是()A．01b a <<<B．01a b <<<C．1b a<<D．1a b <<12、已知函数x x g 2)(=，且有2)()(=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值为()A．21B．41C、2D．4二、填空题:本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13．若n S 是数列}{n a 的前n 项的和，2n S n =，则=++765a a a ________．.14．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率2e =，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为．16．过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC＝8，AC ＝10，则球的体积是17．已知(p x x -22)6的展开式中，不含x 的项是2720,则p 的值是______.18．已知函数)41(,2),3(log ,2,43)(1162-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-=-f x x x x x f 则的值等于三、大题19.（本小题满分10分）在ABC ∆内，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，c b a ,,成等差数列，且c a 2=.（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若4153=∆ABC S ，求b的值。
2019年武警云南总队院校招生考试数学试题
等级
A
B
C
D
频数
24
频率
12 0.1
（Ⅰ）补充完成上述表格中的数据； （Ⅱ）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这 60 名考生中抽取10 名．在这10 名考生中，从成绩为 A 等
和 B 等的所有考生中随机抽取 2 名，求至少有1名成绩为 A 等的概率．
士兵高中数学试题第 3页（共 4 页）
22. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) x3 3ax2 3bx c 在 x 2 处有极值，其图象在 x 1 处的切 线平行于直线 6x 2 y 5 0 ， （Ⅰ）求 a ， b 的值;
D．不能确定
2. 设复数 z 满足 (1 2i)z 5i ，则 z
A． 2 i
B. 2 i
C. 2 i
D. 2 i
3. 若 lg a , lg b 是方程 2x 2 4x 1 0 的两个实根，则 ab 的值等于
A． 2
B．100
C． 1 2
D． 10
4.
由圆 x2
y2
x
2
与平面区域
2018 年武警云南省总队院校招生考试预考
士兵高中数学试题
考 1. 本试题共三大题，考试时间 150 分钟，满分 150 分。 试 2. 将部别、姓名、考生号分别填涂在试卷及答题卡指定位置上。 须 3. 所有答案均填涂在题卡上，填涂在试卷上的答案一律不得分。 知 4. 考试结束后，试卷及答题卡全部上交并分别封存。
11.
已知函数
f
x
lo3gx2,xx,
x
0
0
，则
f
f
1 4
．
12.在直角坐标系中，已知 A(cos 20 , sin 20 ), B(cos 80 , sin 80 ) ，则 | AB | 的值是____________．
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2019年士兵军校考试《数学》|向量及其应用考点与练习（1）关键词：士兵军考张为臻军校考试辅导向量数量积坐标运算坐标表示
【考试大纲】
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
理解平面向量数量积的含义、物理意义及其与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【综合分析】张为臻老师详细解读考试大纲要求，本篇选取部分考试大纲内容，以历年真题为考察点，对向量及其应用相关内容做针对性讲解，主要研究的考题是从2010年到2018年，统计发现，2011年、2012年向量类的考题出现在选择题第四题，2013年出在选择题第六题，其余2010年、2014年-2018年考题均出在填空题第一题，2017年和2018年题号有所变化，填空题（1）变成填空题（10），但这不影响我们的统计分析，根据对历年真题的研究，不难总结出一些出题人的规律，发现向量是每年的必考点，有时候还穿插在其他考题中，例如：简单逻辑题，圆锥曲线综合题等。
在此就不一一举例了，本篇主要阐述历年真题中常运用的向量定义和公式，同时针对向量及其应用的选择题和填空题进行加强实战应用。
【定义概述】
一、平面向量坐标表示
（1）向量的坐标表示：在平面直角坐标中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，这样平面内的一个向量a都可由x、y唯一确定，有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作：a=(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴的坐标，a=(x,y)叫做向量的坐标表示。
（2）平面向量的坐标运算：已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a+b=（x1+x2，y1+y2）；a-b=（x1-x2，y1-y2）；λa=（λx1，λy1）.
已知A=（x1，y1），B=（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1）.
（3）平面向量共线的坐标表示
设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2）且b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
二、平面向量数量积的相关概念
（1）向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ（00
≤θ≤1800）叫做向量a 和向量b 的夹角，记作<a ，b>。
（2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b=|a||b|cos θ.
（3）数量积的几何意义：设θ为a ，b 的夹角，则|a|cos θ叫做向量a 在向量b 方向的投影，|b|cos θ叫做向量b 在向量a 上的投影。
三、平面向量数量积的坐标运算
设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2），θ是a 与b 的夹角，则
（1）a ·b=x 1x 2+y 1y 2；
（2）|a|=2121y x +； （3）cos θ=222221212
121||||y x y x y y x x b a b a +++=⋅
（4）a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
【准维例题】1.已知向量a =(2，1)， a •b =10，| a+b |=5√2，则| b |=（ ）
A ．5
B ．25
C ．√5
D ．√10
【准维解析】A 。
本题主要考查数量积的定义和数量积的坐标运算。
∵向量 a =(2，1)，a •b =10，又∵| a +b |=52，∴(a+b)2=50，即|a|2+|b|2+2a •b =50，即5+|b |2+20=50，即|b|2=25，∴| b |=5，故答案为A 。
【准维例题】2.已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b 与b 垂直,则|a|=（ ）
A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．4
【准维解析】C 。
本题主要考查对用坐标表示向量的数量积，用数量积判断两个向量的垂直关系等考点的理解。
2a-b=(2+1,2x-x)=(3,x)，2a-b 与b 垂直,则有(2a-b)*b=0，即有(3,x)*(-1,x)=0，-3+x2=0，x2=3，|a|=、√（1+x 2）=√（1+3）=2，故选C 。
【准维例题】3.已知向量a=（1，1），b=（2，x ），若a+b 与4b-2a 平行，则实数x 的值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
【准维解析】D 。
本题主要考查平面向量共线的坐标表示和平面向量的坐标运算。
∵a=（1，1），b=（2，x），∴a+b=（3，x+1），4b-2a=（6，4x-2），由于a+b与4b-2a 平行，得6（x+1）-3（4x-2）=0，解得x=2．故选D。
【准维例题】4.平面向量a 与b的夹角为60°，a =（2，0），| b |=1 则|a +2b |=______．【准维解析】2√3。
本题主要考查数量积的定义和数量积的坐标运算。
∵平面向量a与b的夹角为60°，a =（2，0），| b |=1 ∴| a +2b |= (a +2b )2 = a2+4×a•b +4b2= 4+4×2×1×cos60°+4 =4+4+4=12，| a +2b |=2√3故答案为2√3．【准维例题】5.已知a ，b 为向量，| a |=1，| b |=2，(a+3b )•(3a+b )=25，则a，b的夹角为______．
【准维解析】π/3 。
本题主要考查数量积和向量夹角的定义和数量积的坐标运算。
∵( a +3b )•(3a +b )=25，∴3+12+10a·b =25，∴a·b =1，∴cosθ= 1/2 ，∵θ∈[0，π]，∴θ= π/3，故答案为π/3 。
【准维例题】
6.设a =(1，-2)，b =(-3，4)，c =(3，2)，则(a +2 b )•c =______．
【准维解析】-9。
本题主要考查对用坐标表示向量的数量积等考点的理解。
∵ a =（1，-2），b =(-3，4)，∴ a +2b =（-7，6）∴( a +2b )·c =3×（-7）+2×6=-9，故答案为-9．
【准维例题】
7.已知向量a=(2,1),b=(-3,4),则向量a在b方向上的投影为____.
【准维解析】-2/5。
本题主要考查平面向量数量积的几何意义。
|a|=√(22+12)=√5，|b|=√[(-3)2+42]=5，向量a与向量b夹角的余弦值cosx=a*b/|a|*|b|=(2,1)(-3,4)/5√5=-2/5√5=-(2√5)/25，向量a在b方向上的投影=|a|cosx=√5*[-(2√5)/25]=-2/5.。