广东省汕头市金平区2011-2012学年高二数学上学期期末试题 理 新人教A版

东厦中学2011-2012学年第一学期期末考试
高二级数学（理）科试卷
试卷说明：试卷共4页，答卷4页
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）
A ．（31，1，1）
B ．（－1，－3，2）
C ．（－21，23，－1）
D ．（2，－3，－22）
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,24S S ==，则9a =（ ）
A ． 13
B ． 14
C ．15
D ． 16
3．“a＝b”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2
＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
4．抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）
A ．1716
B ．1516
C ．78
D ．0 5．若a 、b 为实数, 且a +b=2, 则3a +3b 的最小值为（ ）
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
6. 若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．x y 2
2±= B ．x y 2±= C ．x y 3±= D ．x y 22±= 7．数列}{n a 中，)
1(2+=n n a n ，则前n 项和n S 等于（ ） A ．1+n n B ．12+n n C ． 21++n n D ．22+n n
8．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）
A.5或54 D.5或53
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分
9．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边，若
1,3,2a b A C B ==+=，则sin C =____________．
10．已知圆心在x 2O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则
圆O 的方程是___________．
11.与双曲线222=-y x 有共同的焦点，且经过点)0,3(-M 的椭圆的标准方程为__________. 12.坐标平面上的点),(y x 位于线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≤≤+0
15y x x y y x 所表示的区域内（含边界），则目标
函数y x z 43+=的最大值是
13. 两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则5
5b a = . 14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面
60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证
明过程或演算
15．（本小题满分12分）
已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边,S 是ABC ∆的面积.若35,5,4===S b a ,求边c 的长度.
16.（本题满分12分）
已知定圆Q ：,64)3(22=+-y x ，动圆M 和已知圆内切，且过点P(-3,0)，求圆心M 的轨迹及其方程.
17．（本小题满分14分） 已知椭圆过点)2
3
,1(P ，其焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F .
（1）求椭圆的方程。

（2）过1F 作倾角为45°的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形2ABF 的面积
18．（本小题满分14分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管为平均每天每吨3元，购面粉每次需支付运费900元． 设该厂x （*N x ∈）天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为y 元。

（平均每天所支付的总费用=天数所有的总费用） （1）前三天面粉保管费用共多少元；
（2）求函数y 关于x 的表达式； （3）求函数y 最小值及此时x 的值
19．（本小题满分14分）
如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，
12,4AB BC BB ===，E 是棱1CC 上的点，且
1CE =；
F 是1DD 中点
（1）求异面直线DB 与CF 所成角的大小；
（2）求证：1
AC ⊥平面BDE ． （3）求二面角B —DE —C 的余弦值
20．（本小题满分14分）
已知数列是首}{n a 项、公比都为q （q>0且q ≠1）的等比数列，*)(log 4N n a a b n n n ∈=.
（1）当q=5时，求数列}{n b 的前n 项和S n ；
（2）当15
14=
q 时，若1+<n n b b ，求n 的最小值.
参考答案
一、选择题
c c a b b
d b b
二、填空题
9、1 10、22
(2)2x y ++= 11、15922=+y x 12、18 13、6512 14、24 三、解答题
15．由三角形面积公式：1sin 2
S ab C = ………………………2分
∴sin 2
C = ………………………3分 又(0,)C π∈，∴233C ππ=
或 ………………………6分 当3
C π
=时，由余弦定理
: c ==9分 当23
C π=时，由余弦定理
: c 11分 ∴
c =61 ………………………12分
16.解：由圆的方程得，圆心Q(3,0)，半径r=8 ，2分；
|PQ|=6<8∴P 在定圆内 3分
设动圆圆心为M(x,y)，则|MP|为半径，又圆M 和圆Q 内切,故|MQ|=8-|MP|
∴|MQ|+|MP|=8 6分
∴M 的轨迹是以P,Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，∴2a=8,b 2=7 10分
∴动圆圆心M 的轨迹方程是: 12分
17．（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>由条件知椭圆焦距22c =，得1c = ……2分
又椭圆过点)2
3
,1(P ，其焦点为)0,1(1-F 和2(1,0)F ，则椭圆长轴长 17162
2=+y x
1235324222
a AF AF =+==+= ………………4分 所以2a =，则23
b =
所求椭圆方程为： 13
42
2=+y x ………………………………6分 （2）由题意，直线l 的方程为1+=x y ……………………6分
联立直线与椭圆方程消去y,得08872
=-+x x ……………………8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则7
8,782121-=-
=+x x x x ………………………10分 由弦长公式：7244)(2||11||21221122=-+=-+=x x x x x x AB …………………12分
点
2F （1，0）到直线AB 的距离d =
=
∴三角形2ABF 的面积1||2S AB d =⋅= …………………14分
18．解：（1）前三天面粉保管费用共多少元为：
10231831236=⨯+⨯+⨯（元）…………2分
（2）由题意知：
∴购买面粉的费用为6180010800x x ⨯=元， …………4分
保管等其它费用为3(6126)9(1)x x x ⨯++
+=+， ……6分 ∴ 108009(1)900100108099()x x x y x x x
+++==++（*N x ∈）……8分 （3）108009(1)900100108099()x x x y x x x +++=
=++
10809910989≥+⨯，10分 即当100x x
=，即10x =时，y 有最小值10989， 13分 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。

14分
19．以点A 为原点，1AB AD AA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则
B （2，0，0）、D （0，2，0）、
C （2，2，0），E （2，2，1）、F （0，2，2），A 1（0，0，4）…………2分
（1）DB →=（2，—2，0），CF → =（—2，0，2），设异面直线DB 与CF 所成角为θ …………4分 则
||1cos |cos ,|2
||||DB CF DB CF DB CF θ→→→→→→•=<>== ………5分 ∴︒=60θ ，即异面直线DB 与CF 所成角为60° …………6分
（2）∴()1
2,2,4AC =-，()0,2,1BE =． …………7分 ()1
222(2)400AC DB =⨯+⨯-+-⨯=，
()1
2022410AC BE =⨯+⨯+-⨯=， 11
,AC BD AC BE ∴⊥⊥． ∴1A C BE ⊥，1A C BD ⊥． ………………………9分
B BD BE = ，BE ⊂平面BDE ，ED ⊂平面BDE ， ∴1A
C ⊥平面BDE ． ………………………10分
（3）由（2）()1
2,2,4AC =-是平面BDE 的一个法向量…………………11分 (0,1,0)j =是平面CDE 的一个法向量 ………………………12分
向量1AC j 与所成角是二面角B-DE-C 的平面角（或其补角）
1116cos ,6||||
AC j AC j AC j <>== 二面角B —DE —C 的余弦值为
66 ……………14分
20．解：（1）由题得5log 5log log ,444⋅⋅=⋅=⋅=∴=n
n n n n n n n n q q a a b q a ………2分 5log )55251(42n n n S ⨯++⨯+⨯=∴ ---------------------------------------3分
设n n n T 552512⨯++⨯+⨯= -----------------------------------------（1） 13255)1(52515+⨯+-+⨯+⨯=n n n n n T ----------------------------（2）
(2)-(1)：112254)15(5555554++⨯--=⨯-++++=-n n n n n n n T
)1554(165+-⨯=n n n n T , 5log )1554(1654+-⨯=n n n n S ------------- 8分
（2）1514log )1514(log 44n n n n n a a b ==, 1514log )1514()1514)(1(411n n n n n n b b -+=-++-------------------------------------10分
0)1514log 151514()1514(4>-=n n 14,0151514>>-∴n n ，即取15≥n 时，1+<n n b b .
所求的最小自然数是15.---------------14分。