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高中数学综合题（难题）
●难点磁场
(★★★★★ )设函数 f(x)的定义域为 R ，对任意实数 x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=－4.
(1)求证： f(x)为奇函数；
(2)在区间［－ 9，9］上，求 f(x)的最值 .
●案例探究
［例 1］设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对
称，对任意 x 1 、x 2∈［ 0, 1
］,都有 f(x 1 21 · 2 且
f(1)=a>0.
+x )=f(x ) f(x ),
2
(1)求 f( 1 )、f( 1
);
2
4
(2)证明 f(x)是周期函数；
(3)记 a n =f(n+ 1
),求 lim (ln a n ).
2n
n
[ 分 析 ] 技 巧 与 方 法 ： 由 f(x 1 2 1 · 2 变 形 为
+x )=f(x ) f(x )
f ( x) f ( x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x
) 是解决问题的关键 .
2 2
2
2
2
(1) 解：因为对 x 1 ∈［ 0, 1
］,都有 f(x 1 2 1
·
2
所以
f(x)=
,x
2
+x )=f(x )
f(x ),
f (
x
x )
f ( x
) ≥ 0,
2 2
2
x ∈［ 0,1］
又因为 f(1)=f( 1 + 1 )=f( 1 )·f( 1 )=［f( 1
)］ 2
2
2
2 2 2
f( 1 )=f( 1 + 1 )=f( 1 )·f( 1 )=［f （ 1 ）］2
2 4 4 4
4
4
又 f(1)=a>0
1
1
∴ f( 1 )=a 2
,f( 1 )=a 4
2 4
1 / 4
(2)明：依意y=f(x)关于直 x=1 称，故 f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.
又由 f(x)是偶函数知 f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－ x 以 x 代得 f(x)=f(x+2)，表明 f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个
周期 .
(3)解：由 (1)知 f(x)≥0,x∈［ 0,1］
∵ f( 1
)=f(n
·
1
)=f(1
－1
)=f(1)
· －·1
) 22n2n+(n 1)2n2n f((n 1)2n
=⋯⋯
=f( 1 )·f( 1 )·⋯⋯· f( 1 )
2n2n2n
1
=［f( 1 )］n=a 2
2n
1
∴f( 1 )=a 2 n .
2n
又∵ f(x)的一个周期是 2
1∴f(2n+ 1 )=f( 1 ),因此 a n=a 2n
2n2n
∴ lim (ln a n )lim (1
ln a) 0.
n n2n
● 点
一、
1.(★★★★ )函数 y=x+a 与 y=log a x 的象可能是 ()
2 / 4
2.(★★★★★ )定义在区间 (－∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数，偶函
数g(x)在区间［ 0，+∞)的图象与 f(x)的图象重合，设 a>b>0,给出下列不等式：
① f(b)－ f(－a)>g(a)－ g(－ b)②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－ a)④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)
其中成立的是 ()
A. ①与④
B.②与③
C.①与③
D.②与④
二、填空题
3.(★★★★ )若关于 x 的方程 22x+2x a+a+1=0 有实根，则实数 a 的取值范围是 _________.
三、解答题
4.(★★★★ )设 a 为实数，函数 f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.
(1)讨论 f(x)的奇偶性；
(2)求 f(x)的最小值 .
5.(★★★★★ )设 f(x)= 1lg 1x .
x 11x
(1)证明： f(x)在其定义域上的单调性；
(2)证明：方程 f-1(x)=0 有惟一解；
(3)解不等式 f［x(x－1 )］< 1 .
22
3 / 4
6.(★★★★★ )定义在 (－1，1)上的函数 f(x)满足①对任意 x 、y ∈
(－1,1),都有 f(x)+f(y)=f( x y 1 xy
);②当 x ∈(－1,0)时，有 f(x)>0.
求证： f (
1
) f ( 1
)
f (
2
1
) f ( 1
) . 5
11
n
3n 1 2
7.(★★★★★ )某工厂拟建一座平面图 (如下图 )为矩形且面积为
200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16
米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为
每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且
池无盖 ).
(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长
x(米)的函数关系式， 并指出
其定义域 .
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最
低？并求最低总造价 .
8.(★★★★★ )已知函数 f(x)在(－∞ ,0)∪(0,+∞)上有定义，且在
(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又 g(θ)=sin 2
θ－mcos θ－2m,θ∈［0, ］,
2
设 M={ m|g(θ)<0,m ∈R}, N={ m|f ［g(θ)］<0}, 求 M ∩N.
4 / 4。