高中数学经典高考难题集锦(解析版)

2015年10月18日杰的高中数学组卷

一．解答题（共10小题）

1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

2．（2010•模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．

（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；

（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．

4．（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

5．（2009•）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．

（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数；

（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．

6．（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；

（Ⅱ）当时，求直线l的方程；

（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

7．（2009•天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．

（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，说明理由．

8．（2007•）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求k的取值围；

（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l

向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．

2015年10月18日杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；

（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

考

点：

直线和圆的方程的应用．

专

题：

计算题；压轴题．

分析：（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．

解答：解：

（1）证明：点（t＞0），

因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．

所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．

于是圆C的方程是．则．

由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，

于是多边形EACB为Rt△A EB，

其面积．

所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．

（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，k MN=﹣2．

所以由k EC•k MN=﹣1，得t=2，

所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

点评：（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；

（2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．

2．（2010•模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．

（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；

（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

考

点：

直线与圆的位置关系；二次函数的性质．

专

题：

计算题；压轴题．

分析：（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．

（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量围的改变．

解答：解：（Ⅰ）直线l方程，

原点O到l的距离为（3分）

弦长（5分）

•ABO面积•

∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），•∴（﹣1＜k＜1且K≠0）（8分），（Ⅱ）令，

∴

．

∴当t=时，时，S max=2（12分）

点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量围的改变．

3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．

考

点：

直线与圆的位置关系．

专

题：

综合题；压轴题．

分析：设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a 与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，

则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，

知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2

又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，由此有或