重点高中数学经典高考难题集锦(解析版)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．解答题〔共10小题〕1．〔2021•宣威市校级模拟〕设点C为曲线〔x＞0〕上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．〔1〕证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；〔2〕设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，假设|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．〔2021•江苏模拟〕直线l：y=k〔x+2〕与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．〔Ⅰ〕试将S表示成的函数S〔k〕，并求出它的定义域；〔Ⅱ〕求S的最大值，并求取得最大值时k的值．3．〔2021•越秀区校级模拟〕圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．4．〔2021•柯城区校级三模〕抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点〔2，1〕．〔Ⅰ〕求抛物线的标准方程；〔Ⅱ〕是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+〔y+1〕2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？假设存在，求出直线的方程，假设不存在，说明理由．5．〔2021•福建〕〔1〕矩阵M所对应的线性变换把点A〔x，y〕变成点A′〔13，5〕，试求M的逆矩阵及点A的坐标．〔2〕直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：〔θ为参数〕试判断他们的公共点个数；〔3〕解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．6．〔2021•东城区一模〕如图，定圆C：x2+〔y﹣3〕2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A〔﹣1，0〕的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．〔Ⅰ〕当l与m垂直时，求证：l过圆心C；〔Ⅱ〕当时，求直线l的方程；〔Ⅲ〕设t=，试问t是否为定值，假设为定值，请求出t的值；假设不为定值，请说明理由．7．〔2021•天河区校级模拟〕圆C：〔x+4〕2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为〔﹣3，0〕．〔1〕假设点D〔0，3〕，求∠APB的正切值；〔2〕当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；〔3〕在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．8．〔2007•海南〕在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P〔0，2〕且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．〔Ⅰ〕求k的取值范围；〔Ⅱ〕是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．9．如图，圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共10小题〕1．〔2021•宣威市校级模拟〕设点C为曲线〔x＞0〕上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．〔1〕证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；〔2〕设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，假设|EM|=|EN|，求圆C的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；〔2〕由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．解答：解：〔1〕证明：点〔t＞0〕，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．所以点E是直角坐标系原点，即E〔0，0〕．于是圆C的方程是．那么．由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，其面积．所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．〔2〕假设|EM|=|EN|，那么E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，k MN=﹣2．所以由k EC•k MN=﹣1，得t=2，所以圆C的方程是〔x﹣2〕2+〔y﹣1〕2=5．点评：〔1〕重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；〔2〕重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．2．〔2021•江苏模拟〕直线l ：y=k 〔x+2〕与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ． 〔Ⅰ〕试将S 表示成的函数S 〔k 〕，并求出它的定义域； 〔Ⅱ〕求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．考点：直线与圆的位置关系；二次函数的性质． 专题：计算题；压轴题． 分析： 〔Ⅰ〕先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．〔Ⅱ〕换元后把函数S 的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变． 解答：解：〔Ⅰ〕直线l 方程， 原点O 到l 的距离为〔3分〕弦长〔5分〕•ABO 面积•∵|AB|＞0，∴﹣1＜K ＜1〔K ≠0〕，• ∴〔﹣1＜k ＜1且K ≠0〕〔8分〕， 〔Ⅱ〕 令 ，∴．∴当t=时，时，S max =2〔12分〕点评： 此题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变． 3．〔2021•越秀区校级模拟〕圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；压轴题．分析：设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆P的圆心为P〔a，b〕，半径为r，那么点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；又因为P〔a，b〕到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，由此有或解方程组得或，于是r2=2b2=2，所求圆的方程是：〔x+1〕2+〔y+1〕2=2，或〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．4．〔2021•柯城区校级三模〕抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点〔2，1〕．〔Ⅰ〕求抛物线的标准方程；〔Ⅱ〕是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+〔y+1〕2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？假设存在，求出直线的方程，假设不存在，说明理由．考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕设抛物线方程为x2=2py，把点〔2，1〕代入运算求得p的值，即可求得抛物线的标准方程．〔Ⅱ〕由直线与圆相切可得．把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及，求得，求得点O到直线的距离，从而求得，由此函数在〔0，4〕单调递增，故有，从而得出结论．解答：解：〔Ⅰ〕设抛物线方程为x2=2py，由得：22=2p，所以p=2，所以抛物线的标准方程为x2=4y．〔Ⅱ〕不存在．因为直线与圆相切，所以．把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0．由△=16k2+16t=16〔t2+2t〕+16t＞0，得t＞0或t＜﹣3．设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，∴．∵∠MON为钝角，∴，解得0＜t＜4，∵，点O到直线的距离为，∴，易证在〔0，4〕单调递增，∴，故不存在直线，当∠MON为钝角时，S△MON=48成立．点评：此题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．5．〔2021•福建〕〔1〕矩阵M所对应的线性变换把点A〔x，y〕变成点A′〔13，5〕，试求M的逆矩阵及点A的坐标．〔2〕直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：〔θ为参数〕试判断他们的公共点个数；〔3〕解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．考点：直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：〔1〕由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M 的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；〔2〕把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比拟大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；〔3〕分三种情况x大于等于，x大于等于0小于和x小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．解答：解：〔1〕由题意可知〔x，y〕=〔13，5〕，即，解得，所以A〔2，﹣3〕；设矩阵M的逆矩阵为，那么•=，即，且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2所以矩阵M的逆矩阵为；〔2〕把圆的参数方程化为普通方程得〔x+1〕2+〔y﹣2〕2=4，圆心〔﹣1，2〕，半径r=2那么圆心到直线的距离d==＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，所以直线与圆的公共点有两个；〔3〕当x≥时，原不等式变为：2x﹣1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[，2〕；当0≤x ＜时，原不等式变为：1﹣2x ＜x+1，解得x ＞0，所以原不等式的解集为〔0，〕；当x ＜0时，原不等式变为：1﹣2x ＜﹣x+1，解得x ＞0，所以原不等式无解． 综上，原不等式的解集为[0，2〕． 点评： 此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．6．〔2021•东城区一模〕如图，定圆C ：x 2+〔y ﹣3〕2=4，定直线m ：x+3y+6=0，过A 〔﹣1，0〕的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点． 〔Ⅰ〕当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； 〔Ⅱ〕当时，求直线l 的方程； 〔Ⅲ〕设t=，试问t 是否为定值，假设为定值，请求出t 的值；假设不为定值，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程． 专题：压轴题． 分析： 〔Ⅰ〕根据，容易写出直线l 的方程为y=3〔x+1〕．将圆心C 〔0，3〕代入方程易知l 过圆心C ．〔Ⅱ〕过A 〔﹣1，0〕的一条动直线l ．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l 与x 轴垂直时，进行验证．当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k 〔x+1〕，由于弦长，利用垂径定理，那么圆心C 到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K 来得出直线l 的方程为．〔Ⅲ〕同样，当l 与x 轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l 的斜率存在时，设直线l的方程为y=k〔x+1〕，代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和〞和“两根之积〞去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．解解：〔Ⅰ〕由，故k l=3，答：所以直线l的方程为y=3〔x+1〕．将圆心C〔0，3〕代入方程易知l过圆心C．〔3分〕〔Ⅱ〕当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；〔4分〕当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k〔x+1〕，由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．〔8分〕〔Ⅲ〕当l与x轴垂直时，易得M〔﹣1，3〕，，又A〔﹣1，0〕那么，，故．即t=﹣5．〔10分〕当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k〔x+1〕，代入圆的方程得〔1+k2〕x2+〔2k2﹣6k〕x+k2﹣6k+5=0．那么，，即，=．又由得，那么．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．〔14分〕另解一：连接CA，延长交m于点R，由〔Ⅰ〕知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故〔14分〕另解二：连接CA 并延长交直线m 于点B ，连接CM ，CN ，由〔Ⅰ〕知AC ⊥m ，又CM ⊥l ， 所以四点M ，C ，N ，B 都在以CN 为直径的圆上， 由相交弦定理得．〔14分〕点评： 〔1〕用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．〔2〕解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．〔3〕涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和〞和“两根之积〞整体求解．这种方法通常叫做“设而不求〞． 7．〔2021•天河区校级模拟〕圆C ：〔x+4〕2+y 2=4，圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切，圆D 与y 轴交于A 、B 两点，定点P 的坐标为〔﹣3，0〕． 〔1〕假设点D 〔0，3〕，求∠APB 的正切值；〔2〕当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的最大值；〔3〕在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，说明理由．考点：直线和圆的方程的应用． 专题：计算题；证明题；压轴题． 分析： 〔1〕由中圆C ：〔x+4〕2+y 2=4，点D 〔0，3〕，我们易求出CD 的长，进而求出圆D 的半径，求出A ，B 两点坐标后，可由tan ∠APB=k BP 得到结果．〔2〕设D 点坐标为〔0，a 〕，圆D 半径为r ，我们可以求出对应的圆D 的方程和A ，B 两点的坐标，进而求出∠APB 正切的表达式〔含参数r 〕，求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB 的最大值； 〔3〕假设存在点Q 〔b ，0〕，根据∠AQB 是定值，我们构造关于b 的方程，假设方程有解，那么存在这样的点，假设方程无实根，那么不存在这样的点． 解答： 解：〔1〕∵|CD|=5， ∴圆D 的半径r=5﹣2=3，此时A 、B 坐标分别为A 〔0，0〕、B 〔0，6〕∴tan ∠APB=k BP =2〔3分〕 〔2〕设D 点坐标为〔0，a 〕，圆D 半径为r ，那么〔r+2〕2=16+a 2，A 、B 的坐标分别为〔0，a ﹣r 〕，〔0，a+r 〕∴，∴==∵|r+2|2≥16， ∴r ≥2，∴8r ﹣6≥10， ∴∴．〔8分〕〔3〕假设存在点Q 〔b ，0〕，由，，得∵a 2=〔r+2〕2﹣16， ∴欲使∠AQB 的大小与r 无关，那么当且仅当b 2=12，即，此时有，即得∠AQB=60°为定值，故存在或，使∠AQB 为定值60°．〔13分〕 点评： 此题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据中圆C ：〔x+4〕2+y 2=4，圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切，圆D 与y 轴交于A 、B 两点，确定圆D 的方程，进而求出A ，B 的方程是解答此题的关键．8．〔2007•海南〕在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2+y 2﹣12x+32=0的圆心为Q ，过点P 〔0，2〕且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． 〔Ⅰ〕求k 的取值范围； 〔Ⅱ〕是否存在常数k ，使得向量与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．考点： 直线和圆的方程的应用；向量的共线定理． 专题： 计算题；压轴题． 分析：〔Ⅰ〕先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，〔Ⅱ〕A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，根据〔1〕中的方程和韦达定理可求得x 1+x 2的表达式，根据直线方程可求得y 1+y 2的表达式，进而根据以与共线可推知〔x 1+x 2〕=﹣3〔y 1+y 2〕，进而求得k ，根据〔1〕k 的范围可知，k 不符合题意． 解答： 解：〔Ⅰ〕圆的方程可写成〔x ﹣6〕2+y 2=4，所以圆心为Q 〔6，0〕，过P 〔0，2〕且斜率为k 的直线方程为y=kx+2．代入圆方程得x 2+〔kx+2〕2﹣12x+32=0， 整理得〔1+k 2〕x 2+4〔k ﹣3〕x+36=0． ①直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于△=[4〔k ﹣3〕2]﹣4×36〔1+k 2〕=42〔﹣8k 2﹣6k 〕＞0， 解得，即k 的取值范围为．〔Ⅱ〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么，由方程①，②又y 1+y 2=k 〔x 1+x 2〕+4． ③ 而．所以与共线等价于〔x 1+x 2〕=﹣3〔y 1+y 2〕，将②③代入上式，解得．由〔Ⅰ〕知，故没有符合题意的常数k ．点评：此题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解．9．如图，圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AC 的长为，直线PC 与直线AO 交于点M ．又知当AP=时，点P 的速度为v ，求这时点M 的速度．考点：直线与圆的位置关系． 专题：压轴题． 分析： 设AP 的长为x ，AM 的长为y ，用x 表示y ，并用复合函数求导法那么对时间t 进行求导．解答：解：如图，作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COA=θ， 由题意弧AC 的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈〔0，π〕．∵△APM ∽△DCM ，∴．∵DM=y ﹣〔1﹣cos 〕，DC=sin ，∴∴．上式两边对时间t 进行求导，那么y ′t =y ′x •x ′t ．∴y ′t =当时，x ′t =v ，代入上式得点M 的速度．点评： 此题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．10．过原点O 作圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0的任意割线交圆于P 1，P 2两点，求P 1P 2的中点P 的轨迹．考点： 直线与圆的位置关系；轨迹方程． 专题： 计算题；压轴题；数形结合． 分析： 设割线OP 1P 2的直线方程为y=kx 与圆的方程联立得〔1+k 2〕x 2﹣2〔1+2k 〕x+4=0，再由韦达定理得：，因为P 是P 1P 2的中点，所以，再由P点在直线y=kx上，得到，代入上式得整理即可．要注意范围．解答：解：设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程，得：x2+k2x2﹣2x﹣4kx+4=0即〔1+k2〕x2﹣2〔1+2k〕x+4=0设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标；由韦达定理得：又设P点的坐标是〔x，y〕P是P1P2的中点，所以又P点在直线y=kx上，∴，代入上式得两端乘以，得即x2+y2=x+2y〔0＜x＜〕这是一个一点为中心，以为半径的圆弧，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．点评：此题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．考点卡片1．二次函数的性质【知识点的认识】其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．【解题方法点拨】以y=ax2+bx+c为例：①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0〔＜0〕时，图象开口向上〔向下〕；对称轴x=﹣；最值为：f〔﹣〕；判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．假设△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，那么有x1+x2=﹣，x1•x2=；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为〔0，〕，准线方程为y=﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y=a〔x+b〕2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a〔x﹣1+b〕2+c；例题：y=2x2+x﹣3那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣，最小值为f〔﹣〕=﹣，；△=1+24=25＞0，故方程2x2+x﹣3=0有两个根，其满足x1+x2=﹣；x1•x2=﹣；另外，方程可以写成〔y+〕=2〔x+〕2，当沿x轴向右，在向下平移时，就变成y=2x2；【命题方向】重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运用韦达定理．2．向量的共线定理【概念】共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．【定理】假设向量=〔1，2〕，向量=〔2，4〕，那么=2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2=0，即当向量=〔x1，y1〕与向量=〔x2，y2〕平行时，有x1•y2﹣x2•y1=0，这也是两向量平行的充要条件．【例题解析】例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，那么λ=﹣0.5．解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得=k〔〕∴2=k．﹣1=λk解得，λ=﹣0.5故答案为﹣0.5．根据向量共线的充要条件，假设向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．【考点分析】向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理，要学会应用这两个定理去判别向量之间的关系．3．平面向量数量积的运算【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①〔±〕2=2±2•+2．②〔﹣〕〔+〕=2﹣2．③•〔•〕≠〔•〕•，从这里可以看出它的运算法那么和数的运算法那么有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法那么类比推导向量的数量积的运算法那么：①“mn=nm〞类比得到“〞②“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞；③“t≠0，mt=nt⇒m=n〞类比得到“⇒〞；④“|m•n|=|m|•|n|〞类比得到“||=||•||〞；⑤“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞类比得到“〔〕•=〞；⑥“〞类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的选项是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn=nm〞类比得到“〞，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt=nt⇒m=n〞不能类比得到“⇒〞，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|=|m|•|n|〞不能类比得到“||=||•||〞；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•=〞，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴〞不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn=nm〞类比得到“〞；向量的数量积满足分配律，故“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n〞不能类比得到“⇒〞；||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|〞不能类比得到“||=||•||〞；向量的数量积不满足结合律，故“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•=〞；向量的数量积不满足消元律，故〞不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比拟多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．4．直线的一般式方程【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c=0．5．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对〔x，y〕表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标〔x，y〕中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C〔看做适合某种条件的点的集合或轨迹〕上的点与一个二元方程f〔x，y〕=0的实数解建立了如下的关系：〔1〕曲线上点的坐标都是这个方程的解；〔2〕以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤〔直接法〕〔1〕建系设点：建立适当的直角坐标系，用〔x，y〕表示曲线上任一点M的坐标；〔2〕列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p〔M〕}；〔3〕代入：用坐标表示出条件p〔M〕，列出方程f〔x，y〕=0；〔4〕化简：化方程f〔x，y〕=0为最简形式；〔5〕证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】〔1〕直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式〔如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等〕进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．〔2〕定义法：假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义〔如椭圆、双曲线、抛物线、圆等〕，可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一根本轨迹的定义条件．〔3〕相关点法：用所求动点P的坐标〔x，y〕表示动点M的坐标〔x0，y0〕，即得到x0=f 〔x，y〕，y0=g〔x，y〕，再将x0，y0代入M满足的条件F〔x0，y0〕=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．〔4〕待定系数法〔5〕参数法〔6〕交轨法．6．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C=0与圆〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2=r2〔r＞0〕的位置关系的判断方法：〔1〕几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=①相交：d＜r②相切：d=r③相离：d＞r〔2〕代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△=0③相离：△＜0．7．直线和圆的方程的应用【知识点的知识】1、直线方程的形式：2、圆的方程：〔1〕圆的标准方程：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2=r2〔r＞0〕，其中圆心C〔a，b〕，半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2．其中，圆心〔a，b〕是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．〔2〕圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0〔D2+E2﹣4F＞0〕其中圆心〔﹣，﹣〕，半径r=．8．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：〔1〕y2=2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F〔，0〕，〔p可为正负〕〔2〕x2=2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F〔0，〕，〔p可为正负〕四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2=2px〔p＞0〕，焦点在x轴上x2=2py〔p＞0〕，焦点在y轴上图形顶点〔0，0〕〔0，0〕对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点〔，0〕〔0，〕焦距无无离心率e=1 e=1准线x=﹣y=﹣9．二阶矩阵【知识点的知识】1、矩阵由m×n个数a ij〔i=1，2，…，m；j=1，2，…，n〕排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．为表示这个数是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a ij位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的〔i，j〕元．以数a ij为〔i，j〕元的矩阵可简记作〔a ij〕或〔a ij〕m×n．矩阵A也记作A m×n．注意：①矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号〔在数表外加上双竖线〕是不同的，这是两个不同的概念．②矩阵的行数和列数不一定相等．2．二阶矩阵由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或〔aij〕表示〔其中i，j分别为元素aij所在的行和列〕．2．矩阵的乘法行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规那么为，二阶矩阵与列矩阵的乘法规那么为=．矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．10．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集不等式a＞0 a=0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c〔c＞0〕和|ax+b|≥c〔c＞0〕型不等式的解法：〔1〕|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；〔2〕|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；〔3〕|x﹣a|+|x﹣b|≥c〔c＞0〕和|x﹣a|+|x﹣b|≤c〔c＞0〕型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的根本方法：〔1〕利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；〔2〕当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；〔3〕利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式〔组〕进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m 〔m为正常数〕，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A〔a〕，B〔b〕两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=〞成立的条件是ab≥0，左侧“=〞成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=〞成立的条件是ab≤0，左侧“=〞成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．。
2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)
2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）．A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ， 所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值 为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】 【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1,1)n =u r．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u ur，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12λ=±.【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r . 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
考点 ：直 线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．
专题 ：计 算题；压轴题；转化思想．
分析： （ 1）由矩阵的线性变换列出关于 x 和 y 的一元二次方程组，求出方程组的解集即可
得到点 A 的坐标；可设出矩阵 M 的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵
M
的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到
或
，于是 r2=2b2=2，
所求圆的方程是：
（
x+1
）
2
+
（
y+1
）
2=2，或（
x﹣
1）
2+（
y﹣
1）
2
=2
．
点评： 本 小题主要考查轨迹的思想， 考查综合运用知识建立曲线方程的能力， 是一道中档题．
4．（ 2013?柯城区校级三模） 已知抛物线的顶点在坐标原点， 焦点在 y 轴上， 且过点 （ 2，1）．
专题 ：压 轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （ Ⅰ） 设抛物线方程为 x 2=2py ，把点（ 2， 1）代入运算求得
线的标准方程．
p 的值，即可求得抛物
6 / 22
（ Ⅱ） 由直线与圆相切可得
．把直线方程代入抛物线方程
并整理，由 △ ＞0 求得 t 的范围．利用根与系数的关系及
，求得
M的
逆矩阵；
（ 2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的
距离公式求出圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较大小得到直线与圆的位置关系，即可
得到交点的个数；
（ 3）分三种情况 x 大于等于 ，x 大于等于 0 小于 和 x 小于 0，分别化简绝对值后，
高中数学经典高考难题集锦
《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。
然后，将这些值组成集合A。
2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。
3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。
二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。
解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。
因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。
2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。
解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。
当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。
3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。
解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。
当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。
高中数学经典高考难题集锦解析版
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．填空题（共17小题）1．（2014?永川区校级学业考试）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．2．（2013?江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．3．（2013?湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．4．（2012?湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，a i=1，当0≤i≤k﹣1时，a i为0或1．定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n=1；否则b n=0．（1）b2+b4+b6+b8=；（2）记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是．5．（2012?河北）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．6．（2012?上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．7．（2012?上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=．8．（2011?浙江）若数列中的最大项是第k项，则k=．9．（2010?天津）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．10．（2013?湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q 的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为．11．（2010?湖南）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=，（（a n）+）+=．12．（2010?辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．13．（2008?北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（）=2，T（）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为．14．（2008?天津）已知数列{a n}中，，则=．15．（2006?天津）设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设S n=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则=．16．（2005?上海）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N），当|f（a n）﹣2005|取得最小值时，n=．17．（2006?湖北）将杨辉三角中的每一个数C n r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则=．二．解答题（共13小题）18．（2008?安徽）设数列{a n}满足a1=a，a n+1=ca n+1﹣c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设N*，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若0＜a n＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．19．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．20．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．21．（2014秋?渝中区校级月考）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=c﹣．（Ⅰ）设c=，b n=，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式a n＜a n+1＜3成立的c的取值范围．22．（2010?荔湾区校级模拟）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．23．（2010?安徽）设C1，C2，…，C n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆C n都与圆C n+1相互外切，以r n表示C n的半径，已知{r n}为递增数列．（Ⅰ）证明：{r n}为等比数列；（Ⅱ）设r1=1，求数列的前n项和．24．（2010?湖南）给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n﹣1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{b n}求和：（n∈N+）25．（2010?湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．26．（2009?广东）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=（n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}前n项和为T n，问满足T n＞的最小正整数n是多少？27．（2009?江西）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n．（1）求S n；（2）b n=，求数列{b n}的前n项和T n．28．（2009?重庆）已知，（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；（Ⅱ）设c n=b n b n+1，S n为数列{c n}的前n项和，求证：S n≥17n；（Ⅲ）求证：．29．（2008?四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．30．（2007?福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，，．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共17小题）1．（2014?永川区校级学业考试）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1?（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．2．（2013?江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．考点：等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．3．（2013?湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．4．（2012?湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，a i=1，当0≤i≤k﹣1时，a i为0或1．定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n=1；否则b n=0．（1）b2+b4+b6+b8=3；（2）记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是2．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；新定义．分析：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0）2，则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，c m=2；当a2a1a0=001时，c m=0；当a2a1a0=010时，c m=1；当a2a1a0=011时，c m=0；当a2a1a0=100时，c m=2；当a2a1a0=101时，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，c m=1；当a0=0，前面有偶数个1时，c m=2；当末位有奇数个1时，c m=1；当末位有偶数个1时，c m=0，由此可得c m的最大值．解答：解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1 ∴b2+b4+b6+b8=3（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0）2，则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当a2a1a0=001时，b i+1=0，c m=0；当a2a1a0=010时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a2a1a0=011时，b i+1=0，c m=0；当a2a1a0=100时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当a2a1a0=101时，b i+1=0，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a0=0，前面有偶数个1时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当末位有奇数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当末位有偶数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=0；故c m的最大值为2．点评：对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口．5．（2012?河北）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列6．（2012?上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．7．（2012?上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=1006．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：设，，由，根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得b n2=（）2≤2（a n+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，由此能求出结果．解答：解：设，，∵，∴根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得b n2=（）2≤2（a n+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，当且仅当a n=a2012﹣n时，b n取到最大值，此时n=1006，所以k=1006．故答案为：1006．点评：本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（2011?浙江）若数列中的最大项是第k项，则k=4．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．解答：解：令，假设=≥1，则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，又n是整数，即n≤3时，a n+1＞a n，当n≥4时，a n+1＜a n，所以a4最大．故答案为：4．点评：本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式．9．（2010?天津）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0解答：解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．点评：本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．10．（2013?湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于2；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q 的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为17．考点：数列的求和；交集及其运算．专题：压轴题；新定义．分析：（1）利用“特征数列”的定义即可得出；（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．解答：解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足P i+P i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．则Q={a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．故答案分别为2，17．点评：正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．11．（2010?湖南）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+=2，（（a n）+）+=n2．考点：数列的应用．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：根据题意，若a m＜5，而a n=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（a n）+）+=n2．解答：解：∵a m＜5，而a n=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，猜想：（（a n）+）+=n2．答案：2，n2．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．12．（2010?辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n 所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．13．（2008?北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（）=2，T（）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．考点：数列的应用．专题：压轴题；规律型．分析：由题意可知，数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．解答：解：∵组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…一一代入计算得数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k=n，0≤k＜5．∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用．14．（2008?天津）已知数列{a n}中，，则=．考点：数列的求和；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：首先由求an可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n 的表达式，再求极限即可．解答：解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为点评：此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．15．（2006?天津）设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设S n=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则=1．考点：数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），则能推导出S n=，由此能导出．解答：解：设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量=，θn是与的夹角，（其中），设S n=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=，则=1．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意三角函数的灵活运用．16．（2005?上海）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N），当|f（a n）﹣2005|取得最小值时，n=110．考点：数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：压轴题．分析：要使|f（a n）﹣2005|取得最小值，可令|f（a n）﹣2005|=0，即+=2005，对n值进行粗略估算可得答案．解答：解：|f（a n）﹣2005|=|f（0．n）﹣2005|=|+﹣2005|，（1）要使（1）式取得最小值，可令（1）式等于0，即|+﹣2005|=0，+=2005，又210=1024，211=2048，则当n=100时，210=1024，log210≈3，（1）式约等于978，当n=110时，211≈2048，log211≈3，（1）式约等于40，当n＜100或n＞110式（1）式的值会变大，所以n=110，故答案为：110．点评：本题考查数列的函数特性、指数函数对数函数的性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．17．（2006?湖北）将杨辉三角中的每一个数C n r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则=．数列的求和；极限及其运算．考点：专计算题；压轴题；探究型．题：分析：通过观察可得=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕=1﹣+﹣=+﹣．进而可得．解答：解：第一个空通过观察可得． ==（1+﹣1）+（）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）=（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕 =1﹣+﹣ =+﹣所以=．答案：．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 二．解答题（共13小题） 18．（2008?安徽）设数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=ca n +1﹣c ，n ∈N*，其中a ，c 为实数，且c≠0 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设N*，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）若0＜a n ＜1对任意n ∈N*成立，证明0＜c≤1．考点：数列的求和；数列的函数特性． 专题：压轴题． 分析： （Ⅰ）需要观察题设条件进行恒等变形，构造a n ﹣1=c （a n ﹣1﹣1）利用迭代法计算出数列的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，观察知应用错位相减法求和；（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知a n =（a ﹣1）c n ﹣1+1．接合题设条件得出，．然后再用反证法通过讨论得出c 的范围．解答： 解：（Ⅰ）由题设得：n ≥2时，a n ﹣1=c （a n ﹣1﹣1）=c 2（a n ﹣2﹣1）=…=c n ﹣1（a 1﹣1）=（a ﹣1）c n ﹣1．所以a n =（a ﹣1）c n ﹣1+1．当n=1时，a 1=a 也满足上式．故所求的数列{a n }的通项公式为：a n =（a ﹣1）c n ﹣1+1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：.，∴．∴所以∴．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a n =（a ﹣1）c n ﹣1+1．若0＜（a ﹣1）c n ﹣1+1＜1，则0＜（1﹣a ）c n ﹣1＜1． 因为0＜a 1=a ＜1，∴．由于c n ﹣1＞0对于任意n ∈N +成立，知c ＞0． 下面用反证法证明c ≤1．假设c ＞1．由函数f （x ）=c x 的图象知，当n →+∞时，c n ﹣1→+∞，所以不能对任意n ∈N +恒成立，导致矛盾．∴c ≤1．因此0＜c ≤1点评：本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运送知识分析问题和解决问题的能力．第三问中特值法与反证法想接合，对做题方向与方法选取要求较高．是一个技能性较强的题．19．（2011?广东）设b ＞0，数列{a n}满足a 1=b ，a n =（n≥2）（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b n+1+1．考点： 数列递推式；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列．分析： （1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n 的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．解答：解：（1）∵（n ≥2），∴（n ≥2），当b=1时，（n ≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n ﹣1）×1=n ，即a n =1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，点评：本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．20．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．考点：专等差数列与等比数列．题：分析： （Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ．解答：解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且解得d=2，q=2．所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣1=2n ﹣1．（Ⅱ），，①S n =，②①﹣②得S n =1+2（++…+）﹣，则===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和． 21．（2014秋?渝中区校级月考）已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=c ﹣．（Ⅰ）设c=，b n =，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）求使不等式a n ＜a n+1＜3成立的c 的取值范围．考点： 数列递推式；数学归纳法． 专题： 综合题；压轴题． 分析：（1）令c=代入到a n+1=c ﹣中整理并令b n =进行替换，得到关系式b n+1=4b n +2，进而可得到{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，先得到{}的通项公式，即可得到数列{b n }的通项公式．（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a n＜a n+1，然后当c＞2时，令α=，根据由可发现c＞时不能满足条件，进而可确定c的范围．解答：解：（1），，即b n+1=4b n+2，a1=1，故所以{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，，（Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1得c＞2．用数学归纳法证明：当c＞2时a n＜a n+1．（ⅰ）当n=1时，a2=c﹣＞a1，命题成立；（ii）设当n=k时，a k＜a k+1，则当n=k+1时，故由（i）（ii）知当c＞2时，a n＜a n+1当c＞2时，令α=，由当2＜c≤时，a n＜α≤3当c＞时，α＞3且1≤a n＜α于是α﹣a n+1≤（α﹣1），当n＞因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是（2，]．点评：本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．22．（2010?荔湾区校级模拟）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设{a n}的公比为q，当q=1时根据S n?S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n?S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n?S n+2，＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg（S n?S n+2）＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2=﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1）证明：设{a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．（i）当q=1时，S n=na1，从而S n?S n+2﹣S n+12=na1?（n+2）a1﹣（n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而S n?S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由（i）和（ii）得S n?S n+2，＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n?S n+2）＜lgS n+12，即．（2）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c）2=（na1﹣c）[（n+2）a1﹣c]﹣[（n+1）a1﹣c]2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0，即此时，因为c＞0，a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．23．（2010?安徽）设C1，C2，…，C n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆C n都与圆C n+1相互外切，以r n表示C n的半径，已知{r n}为递增数列．（Ⅰ）证明：{r n}为等比数列；（Ⅱ）设r1=1，求数列的前n项和．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：压轴题．分析：（1）求直线倾斜角的正弦，设C n的圆心为（λn，0），得λn=2r n，同理得λn+1=2r n+1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{r n}中r n+1与r n的关系，证明{r n}为等比数列；（2）利用（1）的结论求{r n}的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和．解答：解：（1）将直线y=x的倾斜角记为，则有tanθ=，sinθ=，设C n 的圆心为（λn ，0），则由题意得知，得λn =2r n ；同理λn+1=2r n+1，从而λn+1=λn +r n +r n+1=2r n+1，将λn =2r n 代入， 解得r n+1=3r n故|r n |为公比q=3的等比数列．（Ⅱ）由于r 1=1，q=3，故r n =3n ﹣1，从而，记，则有S n =1+2?3﹣1+3?3﹣2+…+n?31﹣n ①﹣②，得 =，∴点评： 本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象概括能力以及推理论证能力．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项a n 与a n+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n 项和S n 乘以公比，然后错位相减解决．24．（2010?湖南）给出下面的数表序列：其中表n （n=1，2，3…）有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…2n ﹣1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n≥3）（不要求证明）；（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{b n }求和：（n ∈N +）考点：数列的求和；等比数列的性质． 专题：综合题；压轴题． 分析： （1）根据表1，表2，表3的规律可写出表4，然后求出各行的平均数，可确定等比数列的首项和公比，进而推广到n ．（2）先求出表n 的首项的平均数，进而可确定它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列，进而得到表中最后一行的数b n =n?2n ﹣1，再化简通项，最后根据裂项法求和． 解答： 解：（I ）表4为 135748121220 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n （n ≥3），即表n （n ≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列． （II ）表n 的第1行是1，3，5，…，2n ﹣1，其平均数是=n由（I ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列（从而它的第k 行中数的平均数是n?2k ﹣1），于是，表中最后一行的唯一一个数为b n =n?2n ﹣1． 因此====（k=1，2，…，n ）故++…+=（﹣）+（﹣）+…+[﹣]=﹣=4﹣．点评： 本题主要考查数列求和和等比数列的性质．数列求和是高考的必考点，一般有公式法、裂项法、错位相减法等，都要熟练掌握．25．（2010?湖北）已知数列{a n }满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n }满足：b n =a n+12﹣a n 2（n≥1）． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．考点： 数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质． 专题： 计算题；应用题；压轴题． 分析：（1）对化简整理得，令c n =1﹣a n 2，进而可推断数列{c n }是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n ，则a 2n 可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n ．（2）假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t （r ＜s ＜t ）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }为等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只有可能有2b s =b r +b t 成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)1
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。
高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用
重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)3
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•绵阳模拟〕定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕满足f〔x〕=3f〔x+2〕，当x∈[0，2〕时，f〔x〕=﹣x2+2x，设f〔x〕在[2n﹣2，2n〕上的最大值为a n〔n∈N+〕且{a n}的前n项和为S n，那么=〔〕A．3 B．C．2 D．2．〔2021•安徽〕设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，那么以下等式中恒成立的是〔〕A．X+Z=2Y B．Y〔Y﹣X〕=Z〔Z﹣X〕C．Y2=XZ D．Y〔Y﹣X〕=X〔Z﹣X〕3．〔2005•广东〕数列{x n}满足x2=，x n=〔x n﹣1+x n﹣2〕，n=3，4，…．假设=2，那么x1=〔〕A．B．3 C．4 D．54．〔2021•上海〕设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是〔〕A．25 B．50 C．75 D．1005．〔2007•陕西〕给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，假设＞1，那么＜1；②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；③假设f〔x〕=log i x，那么f〔|x|〕是偶函数．其中正确命题的序号是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③6．〔2006•北京〕设f〔n〕=2+24+27+210+…+23n+10〔n∈N〕，那么f〔n〕等于〔〕A．B．C．D．7．〔2005•江西〕将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都可以成等差数列的概率为〔〕A．B．C．D．8．〔2005•黑龙江〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么〔〕A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a59．〔2004•湖南〕农民收入由工资性收入和其它收入两局部构成．2003年某地区农民人均收入为3150元〔其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元〕，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入介于〔〕A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元10．〔2002•北京〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔〕A．13项B．12项C．11项D．10项11．〔2000•北京〕设等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，那么有〔〕A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=5112．〔2021•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，那么该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．6313．〔2021•上海〕记椭圆围成的区域〔含边界〕为Ωn〔n=1，2，…〕，当点〔x，y〕分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，那么M n=〔〕A．0 B．C．2 D．214．〔2005•上海〕用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++〔﹣1〕n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于〔〕A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣72015．〔2001•北京〕根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n〔万件〕近似地满足关系式S n=〔21n﹣n2﹣5〕〔n=1，2，…，12〕，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是〔〕A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月二．填空题〔共15小题〕16．〔2021•江苏〕设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1〔n=1，2，…〕，假设数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么6q=．17．〔2021•四川〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4≥10，S5≤15，那么a4的最大值为．18．〔2021•福建〕商家通常依据“乐观系数准那么〞确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b〔b＞a〕以及常数x〔0＜x＜1〕确定实际销售价格c=a+x〔b﹣a〕，这里，x被称为乐观系数．经验说明，最正确乐观系数x恰好使得〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x的值等于．19．〔2021•江苏〕设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，那么q的最小值是．20．〔2021•北京〕{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*那么a2021=；a2021=．21．〔2021•宁夏〕等差数列{a n}的前n项和为S n，2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，那么m=．22．〔2021•四川〕设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，那么通项a n=．23．〔2007•海南〕{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，那么其公差d=．24．〔2006•广东〕在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥〞形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层〔第一层〕分别按以下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f〔n〕表示第n堆的乒乓球总数，那么f〔3〕=；f〔n〕=〔答案用n表示〕．25．〔2005•广东〕设平面内有n条直线〔n≥3〕，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，假设用f〔n〕表示这n条直线交点个数，那么f〔4〕=，当n＞4时f〔n〕=〔用n表示〕26．〔2004•上海〕假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量〞．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，以下{a n}的四组量中，一定能成为该数列“根本量〞的是第组．〔写出所有符合要求的组号〕①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．〔其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n 项和．〕27．〔2002•上海〕假设数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2〔n∈N*〕，那么数列的通项a n=．28．〔2021•上海〕点O〔0，0〕、Q0〔0，1〕和点R0〔3，1〕，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，那么=．29．〔2021•湖北〕数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=假设a6=1，那么m所有可能的取值为．30．〔2004•北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n项和S n的计算公式为．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•绵阳模拟〕定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕满足f〔x〕=3f〔x+2〕，当x∈[0，2〕时，f〔x〕=﹣x2+2x，设f〔x〕在[2n﹣2，2n〕上的最大值为a n〔n∈N+〕且{a n}的前n项和为S n，那么=〔〕A．3 B．C．2 D．考点：数列的求和；数列的极限．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可知，函数f〔x〕按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．解答：解：因为f〔x〕=3f〔x+2〕，所以f〔x+2〕=f〔x〕，就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f〔1〕=1，q=，所以a n=，S n=，==应选D点评：此题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．2．〔2021•安徽〕设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，那么以下等式中恒成立的是〔〕A．X+Z=2Y B．Y〔Y﹣X〕=Z〔Z﹣X〕C．Y2=XZ D．Y〔Y﹣X〕=X〔Z﹣X〕考点：等比数列．专题：压轴题．分析：取一个具体的等比数列验证即可．解答：解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．应选D点评：对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，假设能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；假设不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．3．〔2005•广东〕数列{x n}满足x2=，x n=〔x n﹣1+x n﹣2〕，n=3，4，…．假设=2，那么x1=〔〕A．B．3 C．4 D．5考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：压轴题．分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜想通项．并注意无穷递缩等比数列的极限解答：解：∵令n=3，得，令n=4，得，∴，…，，于是x n=x1+〔x2﹣x1〕+…+〔x n﹣x n﹣1〕=∴，x1=3．应选B点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．4．〔2021•上海〕设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是〔〕A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f〔n〕=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f〔n〕=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f〔n〕=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f〔n〕=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，应选D点评：此题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．5．〔2007•陕西〕给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，假设＞1，那么＜1；②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；③假设f〔x〕=log i x，那么f〔|x|〕是偶函数．其中正确命题的序号是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：等比数列；不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件〞．解答：解：①，所以＜1成立；②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；③由偶函数定义可得．应选C．点评：做这类题要细心，读清题干，对根本概念要掌握牢固．6．〔2006•北京〕设f〔n〕=2+24+27+210+…+23n+10〔n∈N〕，那么f〔n〕等于〔〕A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：压轴题．分析：首先根据题意分析出f〔n〕是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．解答：解：由题意知，f〔n〕是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f〔n〕==．应选D．点评：此题考查等比数列的定义及前n项和公式．7．〔2005•江西〕将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都可以成等差数列的概率为〔〕A．B．C．D．考点：等差关系确实定；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．解答：解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{〔1，2，3〕，〔4，5，6〕，〔7，8，9〕}、{〔1，2，3〕，〔4，6，8〕，〔5，7，9〕}、{〔1，3，5〕，〔2，4，6〕，〔7，8，9〕}、{〔1，4，7〕，〔2，5，8〕，〔3，6，9〕}、{〔1，5，9〕，〔2，3，4〕，〔6，7，8〕}，共5组．∴所求概率为．应选A点评：此题主要考查了等差关系确实定和概率的性质．对于数量比拟小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接．8．〔2005•黑龙江〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么〔〕A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．专题：压轴题；分析法．分析：先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．解答：解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；假设令a n=n，那么a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．应选B点评：此题主要考查等差数列的性质．属根底题．9．〔2004•湖南〕农民收入由工资性收入和其它收入两局部构成．2003年某地区农民人均收入为3150元〔其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元〕，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入介于〔〕A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元考点：数列的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律得到2021年的农民收入，估算出范围即可．解答：解：由题知：2004年农民收入=1800×〔1+6%〕+〔1350+160〕；2005年农民收入=1800×〔1+6%〕2+〔1350+2×160〕；…所以2021年农民收入=1800×〔1+6%〕5+〔1350+5×160〕≈4559应选B点评：考查学生利用数列解决数学问题的能力，以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能力．10．〔2002•北京〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔〕A．13项B．12项C．11项D．10项考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13应选A点评：此题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．11．〔2000•北京〕设等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，那么有〔〕A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．解答：解：取满足题意的特殊数列a n=0，即可得到a3+a99=0选C．点评：此题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．12．〔2021•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，那么该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，要使a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕．那么满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．应选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．13．〔2021•上海〕记椭圆围成的区域〔含边界〕为Ωn〔n=1，2，…〕，当点〔x，y〕分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，那么M n=〔〕A．0 B．C．2 D．2考点：数列的极限；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：〔θ为参数〕，再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．解答：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：〔θ为参数〕，∴x+y=2cosθ+sinθ，∴〔x+y〕max==．∴M n==2．应选D．点评：此题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．14．〔2005•上海〕用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++〔﹣1〕n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于〔〕A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720考点：数列的求和；高阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意算出数阵的行数5！和每一列数字之和5!÷5×〔1+2+3+4+5〕，再根据b1+b2+…+b120=360×〔﹣1+2﹣3+4﹣5〕求得答案．解答：解：由题意可知数阵中行数5！=120，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是5!÷5×〔1+2+3+4+5〕=360，∴b1+b2+…+b120=360×〔﹣1+2﹣3+4﹣5〕=360×〔﹣3〕=﹣1080．应选C点评：此题主要考查了数列的求和问题．此题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台．15．〔2001•北京〕根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n〔万件〕近似地满足关系式S n=〔21n﹣n2﹣5〕〔n=1，2，…，12〕，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是〔〕A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月考点：数列的应用．专题：应用题；压轴题．分析：此题考查了数列的前n项和知识和二次不等式的求解问题．既可以直接求解二次不等式得到n的范围，再根据n∈Z找到满足题意的n；即可得到答案．解答：解：由S n解出a n=〔﹣n2+15n﹣9〕，再解不等式〔﹣n2+15n﹣9〕＞1.5，得6＜n＜9．答案：C点评：此题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．二．填空题〔共15小题〕16．〔2021•江苏〕设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1〔n=1，2，…〕，假设数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么6q=﹣9．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么可推知那么{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1那么{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项那么q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或q=﹣〔|q|＞1，∴此种情况应舍〕∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：此题主要考查了等比数列的性质．属根底题．17．〔2021•四川〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4≥10，S5≤15，那么a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；18．〔2021•福建〕商家通常依据“乐观系数准那么〞确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b〔b＞a〕以及常数x〔0＜x＜1〕确定实际销售价格c=a+x〔b ﹣a〕，这里，x被称为乐观系数．经验说明，最正确乐观系数x恰好使得〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x的值等于．考点：数列的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题设条件，由〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，知[x〔b﹣a〕]2=〔b ﹣a〕2﹣x〔b﹣a〕2，由此能求出最正确乐观系数x的值．解答：解：∵c﹣a=x〔b﹣a〕，b﹣c=〔b﹣a〕﹣x〔b﹣a〕，〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，∴[x〔b﹣a〕]2=〔b﹣a〕2﹣x〔b﹣a〕2，∴x2+x﹣1=0，解得，∵0＜x＜1，∴．故答案为：．点评：此题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．19．〔2021•江苏〕设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，那么q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即根本量法．20．〔2021•北京〕{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*那么a2021=1；a2021=0．考点：数列的概念及简单表示法．专题：压轴题．分析：由a4n=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项为哪一项1，第二项是1，第三项是0，第2021﹣3项的2021可写为503×4﹣3，故第2021项是1，第2021项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2021项是0．解答：解：∵2021=503×4﹣3，∴a2021=1，∵a2021=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2021=0，故答案为：1，0．点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．21．〔2021•宁夏〕等差数列{a n}的前n项和为S n，2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，那么m=10．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意先解出a m，再利用等差数列的前n项和与特殊项之间的关系S2m﹣1=〔2m﹣1〕a m，建立方程，求解即可．解答：解：∵2a m﹣a m2=0，解得a m=2或a m=0，∵S2m﹣1=38≠0，∴a m=2；∵S2m﹣1=×〔2m﹣1〕=a m×〔2m﹣1〕=2×〔2m﹣1〕=38，解得m=10．故答案为10．点评：此题主要考查了等差数列前n项和公式与等差数列性质的综合应用，熟练掌握公式是解题的关键．22．〔2021•四川〕设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，那么通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+〔n﹣1〕+1，a n﹣1=a n﹣2+〔n﹣2〕+1，a n﹣2=a n﹣3+〔n﹣3〕+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+〔n﹣3〕+…+2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；23．〔2007•海南〕{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，那么其公差d=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据a4+a6=2a5=求得a5的值，再根据，进而求得a1，进而根据求得d．解答：解：a4+a6=2a5=6∴a5=3，∴故答案为点评：此题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．24．〔2006•广东〕在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥〞形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层〔第一层〕分别按以下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f〔n〕表示第n堆的乒乓球总数，那么f〔3〕=10；f〔n〕=n〔n+1〕〔n+2〕〔答案用n表示〕．考点：数列的求和．专题：压轴题；规律型．分析：由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，1+2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数分别为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．解答：解：由题意知，f〔1〕=1，f〔2〕=1+1+2，f〔3〕=1+1+2+1+2+3，…，f〔n〕=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，分析可得：f〔n〕﹣f〔n﹣1〕=1+2+3+…+n==+；f〔n〕=[f〔n〕﹣f〔n﹣1〕]+[f〔n﹣1〕﹣f〔n﹣2〕]+[f〔n﹣2〕﹣f〔n﹣3〕]+…+f 〔2〕﹣f〔1〕+f〔1〕==n〔n+1〕〔2n+1〕+n〔n+1〕=n〔n+1〕〔n+2〕．故答案为：10；n〔n+1〕〔n+2〕．点评：此题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f〔1〕、f〔2〕、f〔3〕的值通过归纳推理得到f〔n〕的表达式，在求和时注意累加法的运用．25．〔2005•广东〕设平面内有n条直线〔n≥3〕，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，假设用f〔n〕表示这n条直线交点个数，那么f〔4〕=5，当n＞4时f〔n〕=〔用n表示〕考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：压轴题；规律型．分析：要想求出f〔4〕的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f〔n〕的值，我们要逐一给出f〔3〕，f〔4〕，…，f〔n﹣1〕，f〔n〕然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的方法进行求解．解答：解：如图，4条直线有5个交点，故f〔4〕=5，由f〔3〕=2，f〔4〕=f〔3〕+3…f〔n﹣1〕=f〔n﹣2〕+n﹣2f〔n〕=f〔n﹣1〕+n﹣1累加可得f〔n〕=2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕==故答案为5，点评：此题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f〔3〕，f〔4〕，…，f〔n﹣1〕，f〔n〕然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．26．〔2004•上海〕假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量〞．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，以下{a n}的四组量中，一定能成为该数列“根本量〞的是第①④组．〔写出所有符合要求的组号〕①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．〔其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n 项和．〕考点：等比数列．专题：计算题；压轴题．分析：由根据等差数列性质可知，利用S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“根本量〞；由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得把a1和S3代入整理得a2q2+〔a2﹣S3q〕+a2=0q不能确定，不一定是数列的根本量；由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；根据等比数列通项公式，数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个根本量．解答：解：〔1〕由S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“根本量〞，故①对；〔2〕由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2=a1q，a1=，S3=a1+a1q+a1q2，∴S3=+a2+a2q，∴a2q2+〔a2﹣S3q〕+a2=0；满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的根本量，②不对；〔3〕由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个根本量．〔4〕由q与a n由a n=a1q n﹣1，故数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个根本量；故答案为：①④．点评：此题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．27．〔2002•上海〕假设数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2〔n∈N*〕，那么数列的通项a n=32n﹣1．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：由递推公式a n+1=a n2屡次运用迭代可求出数列a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1解答：解：因为a1=3屡次运用迭代，可得a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，故答案为：点评：此题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键28．〔2021•上海〕点O〔0，0〕、Q0〔0，1〕和点R0〔3，1〕，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，那么=．考点：数列与解析几何的综合；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：由题意〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，那么Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在〔〕的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：〔〕，然后求出．解答：解：由题意〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，所以第一次只能取P1R0一条，〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，那么Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在〔〕的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：〔〕，所以=|Q0P1|=，故答案为：．点评：此题是根底题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P n的规律是此题解答的关键，考查逻辑推理能力．29．〔2021•湖北〕数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=假设a6=1，那么m所有可能的取值为4，5，32．考点：数列递推式．专题：压轴题．分析：由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．解答：解：∵数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=，a6=1，∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．故答案为：4，5，32．点评：此题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．30．〔2004•北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为3，这个数列的前n项和S n的计算公式为当n为偶数时，；当n为奇数时，．考点：数列的求和；数列的应用．专题：压轴题；创新题型．分析：由题意可知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a2=3，a3=2，a4=3，进而找出这个数列的奇数项为2，偶数项为3，所以a18的数值为3．由于该数列为2，3，2，3，2，3…所以求和时要看最后一项为哪一项2还是3，就需对n分奇数还是偶数进行讨论，解答：解：由题意知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…a17=2，a18=3，当n为偶数时s n=〔2+3〕+〔2+3〕+〔2+3〕+…+〔2+3〕=5×=当n为奇数时s n=〔2+3〕+〔2+3〕+…〔2+3〕+2=5×+2=故答案为：3；当n为偶数时S n=，当n为奇数时S n=点评：此题由新定义考查数列的求和，在求和时一定注意对n分奇数和偶数讨论。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x12．（2005•天津）若函数f（x）=log a（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．3．（2009•上海）函数的反函数图象是（）A．B．C．D．4．（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}5．（2005•山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（）A．|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|＞2；B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；D．|log（1+a）（1﹣a）﹣log（1﹣a）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a）|﹣|log（1﹣a）（1+a）|6．（2005•天津）设f﹣1（x）是函数f（x）=（a x﹣a﹣x）（a＞1）的反函数，则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，a）D．[a，+∞）7．（2004•天津）函数（﹣1≤x＜0）的反函数是（）A．B．C．D．8．（2004•江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f （x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（）A．3 B．C．D．9．（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（0，1）∪（1，2）C．D．10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C． D．﹣1二．填空题（共12小题）12．（2013•北京）函数的值域为．13．（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．14．（2007•上海）函数的反函数是．15．（2006•江苏）不等式的解集为．16．（2005•北京）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；④．其中正确的命题序号是．17．（2004•广东）函数的反函数f﹣1（x）= ．18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为．19．（2005•天津）设，则的定义域为．20．（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为．21．（2002•上海）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f﹣1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f﹣1（x）满足．22．（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是．三．解答题（共7小题）24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设的大小，并证明你的结论．25．解不等式26．（2006•重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．27．如果正实数a，b满足a b=b a．且a＜1，证明a=b．28．（2011•上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．29．（2010•荔湾区校级模拟）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．30．（2010•四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1，由导数判断其在（．2．（2005•天津）若函数f（x）=log a（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣（解答：解：设g（x）=x3﹣ax，g（x）＞0，得x∈（﹣，0）∪（，+∞），g′（x）=3x2﹣a，x∈（﹣，0）时，g（x）递减，x∈（﹣，﹣）或x∈（，+∞）时，g（x）递增．∴当a＞1时，减区间为（﹣，0），不合题意，当0＜a＜1时，（﹣，0）为增区间．∴﹣≥﹣．∴a∈[，1）故选B．3．（2009•上海）函数的反函数图象是（）A．B．C．D．先画出条件中函数式的图象，如图，的反函数图象是：4．（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为（）解：易得，5．（2005•山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（）A．|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|＞2；B．|log（1+a）（1﹣a）|＜|log（1﹣a）（1+a）|；C．|log（1+a）（1﹣a）+log（1﹣a）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a）|+|log（1﹣a）（1+a）|；，＜=＞6．（2005•天津）设f﹣1（x）是函数f（x）=（a x﹣a﹣x）（a＞1）的反函数，则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，a）D．[a，+∞）（y=，y+x+x+，∴x+由此解得：7．（2004•天津）函数（﹣1≤x＜0）的反函数是（）A．B．C．D．，根据解：函数，可得，∴所以函数（﹣1≤x＜）的反函数是：8．（2004•江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f （x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（）A．3 B．C．D．AB×OP，求得AB×OP=×．9．（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（0，1）∪（1，2）C．D．）在区间，要求对称轴）在区间，要求对称轴，，10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（），0××11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C． D．﹣11+x=﹣二．填空题（共12小题）12．（2013•北京）函数的值域为（﹣∞，2）．；所以函数13．（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000 倍．．14．（2007•上海）函数的反函数是．，y≥1，y=（（故答案为：15．（2006•江苏）不等式的解集为．由不等式＜故答案：16．（2005•北京）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），有下列命题①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；④．其中正确的命题序号是①③④．=+，所以对于②不成立，，则，则17．（2004•广东）函数的反函数f﹣1（x）= e2x+2e x （x∈R）．求原函数的反函数，即从原函数式18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为（3，4）．，如果19．（2005•天津）设，则的定义域为（﹣4，﹣1）∪（1，4）．有意义建立方程组，解答解得要确保两个式子都要有意义，则20．（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2} ．=c21．（2002•上海）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f﹣1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f﹣1（x）满足f﹣﹣1（0）=a，且f﹣﹣1（x）＜x（x∈A）/y=f﹣﹣1（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为（0，a）…．22．（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是0＜a＜．＜．＜三．解答题（共7小题）24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设的大小，并证明你的结论．与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．时，由基本不等式可得时，是单调减函数，∴＞即25．解不等式可以转化为故原不等式可转化为不等式组．解：原不等式等价于时，上述不等式组变成时，上述不等式组变成所以原不等式解集为26．（2006•重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．）知时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而判别式＜﹣27．如果正实数a，b满足a b=b a．且a＜1，证明a=b．，考虑函数，它的导数是．然后根据，从而考虑函数，即，即，但因，而，这也与矛盾，，28．（2011•上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．+12++n故原不等式可化为log＞＞{x|＜，{x|{x|29．（2010•荔湾区校级模拟）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．，等价于＞﹣30．（2010•四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．，|==，）＞（，则≤2＜，）≤1+1+﹣＜|。
高考数学必考难题试题答案
高考数学必考难题试题答案一、选择题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1和x=-1处取得相同的值，且a<0，那么a、b、c之间的关系是（）。
A. a = -b + cB. a + b + c = 0C. b = -2a - cD. 2a + b + c = 0答案：C解析：由题意可知，f(1) = f(-1)，即a + b + c = a - b + c，化简得2b = 0，所以b = 0。
又因为a < 0，所以c = -a。
代入b = 0，得c = -a，进一步得出b = -2a - c。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1)，若bn = an - 1，则求证：数列{bn}是等比数列。
答案：证明如下：由题意，an = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1)，可得：bn = an - 1 = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1) - 1将n-1代入，得：bn-1 = (1/2)^(n-2) * (an-2 + 1) - 1将两个式子相除，得：bn / bn-1 = [(1/2)^(n-1) * (an-1 + 1) - 1] / [(1/2)^(n-2) * (an-2 + 1) - 1] = 1/2所以bn / bn-1 = 1/2为常数，故数列{bn}是首项为b1 = a2 - 1 = (1/2) * (a1 + 1) - 1 = 1/2，公比q = 1/2的等比数列。
二、填空题1. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16，点P(5,0)到圆心的距离为______。
答案：√13解析：圆心坐标为(2,3)，点P(5,0)，根据两点间距离公式，有：d = √[(5-2)^2 + (0-3)^2] = √[3^2 + (-3)^2] = √(9 + 9) =√18 = √13三、解答题1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在x∈[-2,3]上的最大值为7，求函数在该区间上的最小值。
高三数学试卷难题汇总
一、函数与导数1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求函数的极值点。
2. 设函数$f(x)=\ln(x^2+1)$，求函数的导数$f'(x)$。
3. 已知函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，求函数的导数$f'(x)$。
4. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求函数的单调区间。
5. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求函数的图像。
二、立体几何1. 已知一个正方体的边长为a，求其对角线的长度。
2. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其体积。
3. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。
4. 已知一个球体的半径为R，求其表面积。
5. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其表面积。
三、概率与统计1. 已知某班级有50名学生，其中有30名男生，20名女生，求班级中男生和女生人数的概率。
2. 已知某次考试的成绩服从正态分布，平均分为70分，标准差为10分，求考试成绩在60分至80分之间的概率。
3. 已知某次考试的成绩服从二项分布，试验次数为10次，每次成功的概率为0.3，求考试至少成功6次的概率。
4. 已知某班级有50名学生，其中有30名男生，20名女生，求班级中男生和女生人数的期望。
5. 已知某次考试的成绩服从正态分布，平均分为70分，标准差为10分，求考试成绩的方差。
四、解析几何1. 已知直线方程为$x+y=2$，求该直线与坐标轴的交点。
2. 已知圆的方程为$(x-2)^2+(y-3)^2=16$，求圆心坐标和半径。
3. 已知两条直线的方程分别为$x+y=1$和$x-y=2$，求两条直线的交点。
4. 已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求椭圆的长轴和短轴。
5. 已知双曲线的方程为$x^2-4y^2=1$，求双曲线的渐近线方程。
五、复数1. 已知复数$z=3+4i$，求$|z|$。
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题（共16小题）1．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B．C．2 D．32．（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，△BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A．B．C．D．3．（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P ﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关4．（2009•宁夏）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+245．（2003•天津）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π6．（2013秋•禄劝县校级期中）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．27．（2010•安徽模拟）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（）A．10 B．15 C．20 D．258．（2009•辽宁）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．3：29．（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C10．（2007•安徽）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（）A．B．πC．D．11．（2006•浙江）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．12．（2006•江苏）两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个13．（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对14．（2010•安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．28015．（2010•辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，）C．（，）D．（0，）16．（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0二．填空题（共4小题）17．（2010•江西）如图，在三棱锥O﹣ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为．18．（2011•河北）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．19．（2012•贾汪区校级模拟）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．20．（2004•黑龙江）下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）．三．解答题（共10小题）21．（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．22．（2009•山东）两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．23．（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．24．（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．25．（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．26．（2001•北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？27．由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．28．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．29．（2004•上海）如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若PD=DA=求二面角D﹣BC﹣A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．30．如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE 与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2014•上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）h==a，﹣h=2．（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，△BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A．B．C．D．BAC=BAC=BAC=AN=RMN=MON=．3．（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P ﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关4．（2009•宁夏）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）6=54=12，另两个侧面三角形的面积都是15+12=48+125．（2003•天津）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为R=R=的正方体，内接正四面体的棱长为6．（2013秋•禄劝县校级期中）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）7．（2010•安徽模拟）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（）r=8．（2009•辽宁）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）AB9．（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C，则由此可得10．（2007•安徽）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（）A．B．πC．D．BOD=，．11．（2006•浙江）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A．B．C．D．在该球面上的球面距离为12．（2006•江苏）两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）13．（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）14．（2010•安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）15．（2010•辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（），SD=，则有2+）16．（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）二．填空题（共4小题）17．（2010•江西）如图，在三棱锥O﹣ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为S3＜S2＜S1．18．（2011•河北）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．；由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：故答案为：19．（2012•贾汪区校级模拟）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．DG=．．20．（2004•黑龙江）下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是②④（写出所有真命题的编号）．三．解答题（共10小题）21．（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．，解得．的取值范围是（﹣，22．（2009•山东）两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．，再根据当，将函数转化为：）由题意得时，，当且仅当上存在一点，的距离为23．（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．表示出来，转化为求函数在上有解，问题转化为求函数[，，的取值范围是⇔∈24．（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．=2+求解+=2+=2+，=，即t=（+++x（）≥．1+25．（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．，，且时，只需，矛盾，舍去．时，只需．．的取值范围为26．（2001•北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？（解不等式得27．由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．，，28．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．，消去，R=，代入可得=a'L这个关于29．（2004•上海）如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若PD=DA=求二面角D﹣BC﹣A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．PD=DA=设直平行六面体的棱长均为，，体积为sinPM=AM=，由DMA=arcsin设直平行六面体的棱长均为，体积为sin的体积是，∴＜，底面相邻两边夹角为30．如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE 与底面的对角线B′D′垂直于E．（1）证明A′E⊥B′D′；（2）求AE的长．×，．。
高中数学难题汇编带解析
（1） //
又 平面 ， 平面 ,∴ // 平面
（2）易证：平面 底面
所以截面 与面 所成的二面角即为面 与面 所成的二面角，
ห้องสมุดไป่ตู้因为 平面 所以 平面
，
由（1）可知 四点共面
所以 为截面 与平面 所成的二面角的平面角．
所以 ，
所以
考点：线面平行，二面角．
7．如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， 平面 ， ， ， ．
试题解析：（1）∵点 到 和 的距离之和等于 且 ，∴ 是以 和 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 ，则 ，故 ，∴曲线 的方程为 ．
（2）设 ， ，则联立方程 ，得 ,此时 恒成立,又由韦达定理可得 ， ………………①
由点 在直线 上，可得 ， 又∵ , ∴ 即
即 ,整理得 ,将①式代入得 ,故 ．
当 时， ，当 时， ,综上所述， ．
（2）若分数在（含60分）的人对“高速公路免费政策”表示满意，现从全市参加了这次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率；
（3）请你估计全市的平均分数．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布表以及 进行求解；（2）利用互斥事件的概率公式进行求解；（3）利用平均数的计算公式进行求解．
（Ⅰ）求棱锥 的体积；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）存在， ．
【解析】
试题分析：（I）在在 中， ，可得 ，由于 平面 ，可的棱锥的高，利用体积公式求解几何体的体积；（II）由 平面 ，可得 ，进而得到 平面 ，即可证明平面 平面 ；（III）在线段 上存在一点 ，使得 平面 ， ，设F为线段DE上的一点，且 ，过F作 ，由线面垂直的性质可得 ，可得四边形ABMF是平行四边形，于是 ，即可证明 平面 ．
高考数学难题书
高考数学难题书篇一：高考数学综合训练(难题)综合训练(1)篇二：高中数学经典高考难题集锦(解析版) (5)2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．（2014?江北区校级模拟）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C． D．2．（2004?广东）如图，定圆半径为a，圆心坐标为（b，c），则直线ax+by+c=0，与直线x+y﹣1=0的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2003?天津）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）A．4．（2009?北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“A．直线l上的所有点都是“B．直线l上仅有有限个点是“C．直线l上的所有点都不是“点”，那么下列结论中正确的是（）点” 点” 点”点” 2B． C． D．1 D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“5．（2014?崇明县一模）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么A．的最小值为（） B． C． D．6．（2013?上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若A．圆，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（） B．椭圆C．抛物线 D．双曲线227．（2008?山东）已知圆的方程为x+y﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10 B．20 C．30 D．408．（2009?浙江）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（2004?重庆）若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：（）A． B． C．D．2210．（2008?湖北）过点A（11，2）作圆x+y+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．16条 B．17条 C．32条 D．34条11．（2012?天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二．填空题（共13小题）12．（2006?上海）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为213．（2008?重庆）直线l与圆x+y+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为．14．（2006?福建）如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是．2215．（2011?北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于2常数a（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a．其中，所有正确结论的序号是．16．（2011?湖南）已知圆C：x+y=12，直线l：4x+3y=25．（1）圆C的圆心到直线l的距离为；（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为．17．（2007?上海）已知圆的方程x+（y﹣1）=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．2222218．（2005?江西）以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P 的轨迹为双曲线；=（+），则动点P②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O 为坐标原点，若的轨迹为椭圆；③方程2x﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣=1与椭圆+y=1有相同的焦点． 22其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）19．（2007?上海）如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．20．（2006?江西）已知圆M：（x+cosq）+（y﹣sinq）=1，直线l：y=kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）21．（2010?北京）（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f （x），则f（x）的最小正周期为y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．2222．（2004?北京）若直线mx+ny﹣3=0与圆x+y=3没有公共点，则m、n满足的关系式为；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆有个．23．（2011?江苏）设集合，B={（x，+=1的公共点22y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是24．（2012?陆丰市校级模拟）如图，⊙O1与⊙O2交于M、N 两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE=．三．解答题（共6小题）25．（2005?江西）如图，M是抛物线上y=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．226．（2005?广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．27．（2004?福建）如图，P是抛物线C：y=x上一点，直线l 过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q．（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．2篇三：题目818b998fcc220e52一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
高三数学难题及答案
1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）下面先求出最值，由图1——r²+d²=1d=r±1/2(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)于是r²+(r±1/2)²=1整理得8r²±4r-3=0解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4|OA|=√7/2段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是|OA|>√7/2.综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(2)
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题（共6小题）1．（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[e﹣1﹣1，1]C．[1，e+1]D．[e﹣1﹣1，e+1]2．（2005•浙江）函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a=（）A．B．C．D．13．（2005•陕西）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～FA．6E B．72 C．5F D．B04．（2004•浙江）若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x﹣f[g（x）]=0有实数解，则g[f（x）]不可能是（）A．B．C．D．5．（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]6．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]二．填空题（共10小题）7．（2011•山东）已知函数f（x）=log a x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=．8．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．9．（2012•武昌区校级模拟）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为．10．（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．11．（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．12．（2006•上海）若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是．13．（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨．14．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．15．（2011•辽宁）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．16．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三．解答题（共14小题）17．（2004•辽宁）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m﹣f﹣1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围．18．（2010秋•秦淮区校级月考）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？19．（2009•韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？20．（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．21．（2007•浙江）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．22．（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．（Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则.．23．（2004•北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）24．（2004•湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．25．（2011•台湾）设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．26．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．（I）求k的取值范围；（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．27．（2009•广东）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．28．（2012秋•惠城区校级月考）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}29．（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．30．（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）﹣1﹣1时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=02．（2005•浙江）函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a=（）A．B．C．D．13．（2005•陕西）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F4．（2004•浙江）若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x﹣f[g（x）]=0有实数解，则g[f（x）]不可能是（）A．B．C．D．+x+5．（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（），即解得因为是下半圆故可知6．（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）+a二．填空题（共10小题）7．（2011•山东）已知函数f（x）=log a x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=2．8．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．y=y=9．（2012•武昌区校级模拟）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．，则宽，则宽80+×80=10．（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1）．解：函数11．（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．原方程等价于，）交点；12．（2006•上海）若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是﹣1≤b≤1．13．（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨．则需要购买次，运费为万元，=160当且仅当14．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．=）轴的左边，得到，），又在，）上成立，y=（，即故答案为：15．（2011•辽宁）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2]．16．（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，2）．y=，=y=三．解答题（共14小题）17．（2004•辽宁）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m﹣f﹣1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围．．．即18．（2010秋•秦淮区校级月考）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？=500±①②≤，19．（2009•韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？1+1+）万元，第﹣））﹣（））万元，））1+）（﹣（）（（，），20．（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．，化简得，又21．（2007•浙江）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．，因为，故舍去，所以的解所以．＜，所以，所以22．（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．（Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则.．的二次函数，根据（Ⅱ）由条件，知，．23．（2004•北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）因此，当一次订购量为得到时，24．（2004•湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．得交点．令）在区间）在区间时，．25．（2011•台湾）设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．）把代入答：为，故）26．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．（I）求k的取值范围；（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．）由方程消解得t=，2的增函数，定义域为27．（2009•广东）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．，当且仅当时，取得最小值时，时，）由）有一解有一零点；，，，有一零点有一零点；，或有两个零点有一零点28．（2012秋•惠城区校级月考）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}，即应满足故所求集合29．（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．（（（）（）530．（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？。
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2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．解答题（共10小题）1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．的距离为M所对应的线性变换把点：（（Ⅱ）当时，求直线由．7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l 向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．（）证明：点（是直角坐标系原点，即E（0，0）．的方程是．则．其面积，2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；方程的距离为（弦长（面积?∴（﹣，t=时，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．离，让其等于轴所得的弦长为的距离为所以=，由此有解方程组得或．把直线方程代入抛物线方程的范围．利用根与系数的关系及）单调递增，故有，从．．到直线的距离为，易证在，故不存在直线，当∠M所对应的线性变换把点：（大于等于小于，即解得，则?=，，解得=＜时，原不等式变为：[时，原不等式变为：）（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：（Ⅱ）当时，求直线（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由于弦长t=去找．再用两根直线方程联立，去找t=（Ⅰ）由已知，由于，．由．，，，，故．则，，即，=．又由得，则．，得由相交弦定理得﹣r），（0，a+r ∴，∴∴∴，∴，即，此时有故存在，使得向量与共线？如果存在，求与解得的取值范围为，则②所以代入上式，解得．由（Ⅰ）知的长为AP=时，点的长为，半径=，考虑，∴．cos）DC=sin，∴∴．的速度10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的再由韦达定理得：，因为上，得到的中点，所以，代入上式得两端乘以，得即x+y=x+2y（）这是一个一点为中心，以考点卡片1．二次函数的性质【知识点的认识】其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．【解题方法点拨】以y=ax2+bx+c为例：①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=﹣；最值为：f（﹣）；判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1?x2=；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，﹣（﹣）﹣，﹣；﹣；y+）轴向右，在向下平移时，就变假设向量=，向量=，则=2，那么向量与向量平行，且有，即当向量=）与向量==﹣0.5．解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得=k（）∴2=k．﹣1=λk解得，λ=﹣0.5故答案为﹣0.5．根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．【考点分析】向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理，要学会应用这两个定理去判别向量之间的关系．3．平面向量数量积的运算【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2=2±2?+2．②（﹣）（+）=2﹣2．③?（?）≠（?）?，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】“（?=?”||=||?||?=”⑥“类比得到．“”（?=即③错误；∵||≠||?||，∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“||=||?||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m?n）t=m（n?t）”不能类比得到“（）?=”，∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）?=”；向量的数量积不满足消“?；||≠||?||，故||=||?||?=”故不能类比得到．一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．d=由消元，得到一元二次方程的判别式1、直线方程的形式：2、圆的方程：（1）圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心（﹣，﹣），半径r=．8．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2=2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）（2）x2=2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：（，﹣﹣列的数表写黑体字母表示它，记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a ij位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的（i，j）元．以数a ij为（i，j）元的矩阵可简记作（a ij）或（a ij）m×n．矩阵A也记作A m×n．注意：①矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念．②矩阵的行数和列数不一定相等．2．二阶矩阵由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或（aij）表示（其中i，j分别为元素aij所在的行和列）．2．矩阵的乘法行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则为，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为=．矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．。