高考数学函数解题技巧方法总结
高考数学函数基础知识及常见陷阱总结
![高考数学函数基础知识及常见陷阱总结](https://img.taocdn.com/s3/m/395c4b2de418964bcf84b9d528ea81c759f52e4f.png)
高考数学函数基础知识及常见陷阱总结函数作为高考数学中的重要内容,是很多同学学习的难点。
为了帮助大家更好地掌握函数知识,提高解题能力,下面将对高考数学函数的基础知识及常见陷阱进行详细总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系,对于定义域内的每一个自变量的值,都有唯一确定的因变量的值与之对应。
简单来说,就是一个输入对应一个输出。
二、函数的三要素1、定义域定义域是函数自变量的取值范围。
在求解函数定义域时,需要考虑分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数函数的真数大于零等情况。
例如,函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$,其定义域为$x\neq 1$;函数$f(x)=\sqrt{x+2}$,其定义域为$x\geq -2$;函数$f(x)=\log_2(x-1)$,其定义域为$x>1$。
2、值域值域是函数因变量的取值范围。
求值域的方法有很多,比如观察法、配方法、换元法等。
3、对应法则对应法则是将定义域中的每个自变量值映射到值域中的因变量值的规则。
三、函数的常见类型1、一次函数形如$f(x)=kx+b$($k\neq 0$)的函数称为一次函数。
其图像是一条直线,当$k>0$时,函数单调递增;当$k<0$时,函数单调递减。
2、二次函数二次函数的一般式为$f(x)=ax^2+bx+c$($a\neq 0$)。
其图像是一条抛物线,对称轴为$x=\frac{b}{2a}$。
当$a>0$时,抛物线开口向上,函数在对称轴处取得最小值;当$a<0$时,抛物线开口向下,函数在对称轴处取得最大值。
3、反比例函数反比例函数的表达式为$f(x)=\frac{k}{x}$($k\neq 0$),其图像是双曲线。
当$k>0$时,函数在一、三象限,在每个象限内单调递减;当$k<0$时,函数在二、四象限,在每个象限内单调递增。
4、指数函数指数函数的形式为$f(x)=a^x$($a>0$且$a\neq 1$)。
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法
![解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法](https://img.taocdn.com/s3/m/37e27575a22d7375a417866fb84ae45c3a35c256.png)
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中,函数极限与连续性是一道难题,许多学生常常感到头疼。
然而,只要掌握正确的解题方法和技巧,这类题目不再是难题。
本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法,帮助学生们更好地应对这一考点。
一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。
在解决函数极限难题时,一般可以采取以下步骤:1. 确定x趋于的值:首先,需要明确x的变化趋势,是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。
根据情况,选择使用不同的极限判断方法。
2. 分解式并化简:对于复杂的函数,可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目,找到解题的突破口。
将函数拆解成更简单的形式,有助于快速求解。
3. 利用常用极限公式:高考中涉及到的函数极限问题中,有许多常用的极限公式可以利用。
例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。
4. 利用洛必达法则:洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。
当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时,可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式,进一步求解。
5. 利用夹逼定理:夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。
当某一函数趋于极限时,可以找到两个已知函数,一个极限值较小,一个极限值较大,通过这两个函数夹逼待求函数,从而确定其极限。
二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点,解决函数连续性难题可以采取以下方法:1. 确定函数的定义域:首先,需要明确函数的定义域,即x的取值范围。
根据定义域的特点,确定函数在该范围内是否连续。
2. 利用函数连续性的性质:函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。
例如,有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。
3. 分段讨论函数的连续性:对于分段函数,可以将函数分为不同的区间,并分别讨论每个区间上的连续性。
通过分段讨论,可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。
4. 利用介值定理和零点定理:介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。
高中函数题型及解题方法
![高中函数题型及解题方法](https://img.taocdn.com/s3/m/4a5f7df0fc0a79563c1ec5da50e2524de518d0b9.png)
高中函数题型及解题方法高中数学中,函数是一个非常重要的概念,也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高考中占据了相当大的比重,因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生来说是非常重要的。
本文将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍,希望能够帮助学生们更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、基本概念。
在学习函数的题型和解题方法之前,首先需要对函数的基本概念有一个清晰的认识。
函数是一个特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常用f(x)来表示,其中x是自变量,f(x)是因变量。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等概念也是学习函数题型的重点内容。
二、常见题型及解题方法。
1. 函数的性质题。
这类题型主要考察对函数的性质的理解和掌握程度,包括奇偶性、单调性、最值等。
解题方法主要是通过对函数图像的分析和导数的运算来确定函数的性质。
2. 函数的运算题。
函数的运算题主要考察对函数的基本运算和复合函数的理解,包括函数的加减乘除、复合函数等。
解题方法主要是根据函数的定义进行运算,注意化简和合并同类项。
3. 函数方程题。
函数方程题主要考察对函数方程的解法和函数图像的性质分析。
解题方法主要是根据方程的特点进行分类讨论,通过代数和图像的方法解题。
4. 函数的应用题。
函数的应用题是高中数学中比较常见的题型,主要考察对函数的应用和解决实际问题的能力。
解题方法主要是通过建立函数模型,利用函数的性质解决实际问题。
三、解题技巧。
1. 熟练掌握函数的基本性质和运算法则,对于函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等要有清晰的认识。
2. 多画函数的图像,通过观察函数的图像来理解函数的性质和解题方法。
3. 多做函数题的练习,掌握不同类型函数题的解题技巧和方法。
4. 注意函数题与实际问题的结合,理解函数在实际问题中的应用。
总结。
通过对高中函数题型及解题方法的介绍,希望能够帮助学生们更好地掌握函数的相关知识和解题方法。
高中函数题型及解题方法
![高中函数题型及解题方法](https://img.taocdn.com/s3/m/004baa30f56527d3240c844769eae009581ba2bc.png)
高中函数题型及解题方法高中数学中,函数是一个非常重要的概念,也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高考中占据着相当大的比重,因此熟练掌握函数的相关知识和解题方法对于高中生来说至关重要。
下面我们就来系统地总结一下高中函数题型及解题方法。
一、基本函数题型。
1. 一次函数。
一次函数是高中阶段最基础的函数之一,其函数表达式为y=kx+b,其中k和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线,因此在解题时需要掌握直线的性质和相关的解题技巧,如求斜率、求截距、求交点等。
2. 二次函数。
二次函数是高中阶段比较常见的函数之一,其函数表达式为y=ax^2+bx+c,其中a不等于0。
二次函数的图像是抛物线,因此在解题时需要掌握抛物线的性质和相关的解题技巧,如求顶点、求零点、求对称轴等。
3. 指数函数。
指数函数是以a(a大于0且不等于1)为底的幂函数,其函数表达式为y=a^x。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线,因此在解题时需要掌握指数函数的增减性、奇偶性和相关的解题技巧,如求定义域、值域、解不等式等。
4. 对数函数。
对数函数是指数函数的反函数,其函数表达式为y=loga(x)。
对数函数的图像是一条渐进于x轴的曲线,因此在解题时需要掌握对数函数的性质和相关的解题技巧,如求定义域、值域、解不等式等。
二、解题方法。
1. 分析题目。
在解函数题型的题目时,首先要仔细阅读题目,分析题目中所给的条件和要求,理清思路,确定解题的方法和步骤。
2. 列出方程。
根据题目所给的条件,可以列出相应的函数方程,如一次函数的斜率截距形式、二次函数的标准形式、指数函数的幂函数形式、对数函数的指数形式等。
3. 运用函数性质。
根据函数的性质和特点,运用相关的定理和公式,解决问题。
比如利用一次函数的斜率求交点坐标,利用二次函数的顶点求最值,利用指数函数的增减性解不等式,利用对数函数的性质求解方程等。
4. 综合运用。
有些函数题目可能需要综合运用多种函数的性质和解题方法,因此在解题时需要综合考虑,灵活运用各种方法,找到最优解。
高考数学知识点幂函数知识点总结
![高考数学知识点幂函数知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/f8f5a397370cba1aa8114431b90d6c85ec3a8896.png)
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结,以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义:幂函数是指形如f(x) = a^x的函数,其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质:(1) 当a>1时,幂函数是递增函数;(2) 当0<a<1时,幂函数是递减函数;(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的;(4) 当x取整数时,幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况:(1) 当a>1时,幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴;(2) 当0<a<1时,幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴;(3) 当a=1时,幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点:对于幂函数f(x) = a^x = 0,可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集,而等式0^x没有意义,因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值:当幂函数f(x) = a^x存在最值时,可以通过导数法求解。
具体步骤为:(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a),其中ln(a)表示以e为底的对数;(2) 令f'(x) = 0,解得x = ln(a);(3) 将x = ln(a)带入幂函数,得到最值点或者端点的函数值;(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合:幂函数和其他常见函数的复合,如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等,可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用:幂函数在生活和工作中有广泛的应用,比如指数增长与衰减问题,利润与销售量关系的建模,物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等,需要考生能够将幂函数与实际问题相结合,进行建模和求解。
高考数学知识点解析函数的极值与拐点
![高考数学知识点解析函数的极值与拐点](https://img.taocdn.com/s3/m/cebcd99a6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a5e.png)
高考数学知识点解析函数的极值与拐点高考数学知识点解析:函数的极值与拐点在高考数学中,函数的极值与拐点是一个重要的知识点,也是考试中经常出现的考点。
理解和掌握这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。
接下来,让我们深入探讨一下函数的极值与拐点。
一、函数的极值1、极值的定义函数的极值是指在函数定义域内的某个局部区域内,函数取得的最大值或最小值。
具体来说,如果在函数定义域内的某一点 x₀处,存在一个邻域,使得在这个邻域内,函数值都小于(或大于) f(x₀),那么f(x₀) 就是函数的一个极大值(或极小值)。
2、极值的判定(1)一阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处可导,且 x₀为函数的驻点(即 f'(x₀) =0)。
当 x < x₀时,f'(x) > 0;当 x > x₀时,f'(x) < 0,则 f(x₀) 为极大值。
当 x < x₀时,f'(x) < 0;当 x > x₀时,f'(x) > 0,则 f(x₀) 为极小值。
(2)二阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处二阶可导,且 f'(x₀) = 0,f''(x₀) ≠ 0。
若 f''(x₀) < 0,则 f(x₀) 为极大值;若 f''(x₀) > 0,则 f(x₀) 为极小值。
3、求极值的步骤(1)求出函数的导数 f'(x)。
(2)令 f'(x) = 0,求出驻点。
(3)根据一阶导数判别法或二阶导数判别法判断驻点是否为极值点,并求出极值。
例如,对于函数 f(x) = x³ 3x²+ 1,其导数为 f'(x) = 3x² 6x。
令f'(x) = 0,解得 x = 0 或 x = 2。
当 x < 0 时,f'(x) > 0;当 0 < x < 2 时,f'(x) < 0;当 x > 2 时,f'(x) > 0。
高考抽象函数技巧全总结
![高考抽象函数技巧全总结](https://img.taocdn.com/s3/m/74446fff27d3240c8447efc9.png)
高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下:一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1:已知()211xf x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法:在已知(())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2:已知3311()f x x x x+=+,求()f x解:∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。
高中数学函数解题技巧方法总结(高考)
![高中数学函数解题技巧方法总结(高考)](https://img.taocdn.com/s3/m/2b611eb7b9d528ea81c7795b.png)
高中数学函数知识点总结1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型?()()例:函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()(答:,,,)022334函数定义域求法:● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●反三角函数的定义域函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是,函数y =arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y =arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数y =arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域?[]的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。
[](答:,)a a -复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21,则)(log 2x f 的定义域为 。
分析:由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知:221≤≤x ;所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
高考数学万能解题技巧归纳
![高考数学万能解题技巧归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/557e49184a73f242336c1eb91a37f111f1850d62.png)
高考数学万能解题技巧归纳高考数学万能解题技巧归纳总结高考像漫漫人生路上的一道坎,无论成败与否,其实并不那么重要,重要的是要总结高考的得与失,以下是小编准备的高考数学万能解题技巧归纳,欢迎借鉴参考。
高考数学答题技巧数学选择题目还是比较多的,占的分值也挺大的,因此,对于不同的数学选择题,就需要掌握不同的解题技巧,有些题型概念性比较强,那么这些试题传递出来的就是以数学学科规定和习惯为依据的,那么同学们就千万不能够擅自去改变它,而是应该对号入座。
数学选择题的解题方法也是多种多样的,最重要的还是审题,然后懂得挖掘隐藏条件,再就是要懂得选择解题方法同时控制好解题时间。
填空题“直扑结果”填空题和选择题都是属于客观性的题目,这类题目的特点就是不计较同学们的解题步骤,最在乎的是同学们的答案,只要答案对了,那么分数也就到手了,因此,在解答这些题目的时候,要正确,迅速,稳定,心态一定要好,不能够马虎,不能粗心。
解答题“步步为营”解答题是分值占的较大,难度也比较大的题目,因此,在做解答题的时候,就不能够像做填空题和选择题那样只需要一个结果就好了,做解答题需要将解答过程一个个的写出来,一步一步来,要知道,综合题目,阅卷老师都是看答题要点给分的。
所以,在做题的时候要知道多少就写出来多少,不要纠结于自己到底会不会做这道题。
高考数学压轴题解题技巧1. 复杂的问题简单化,就是把一个复杂的问题,分解为一系列简单的问题,把复杂的图形,分成几个基本图形,找相似,找直角,找特殊图形,慢慢求解,高考是分步得分的,这种思考方式尤为重要,能算的先算,能证的先证,踏上要点就能得分,就算结论出不来,中间还是有不少分能拿。
2. 运动的问题静止化,对于动态的图形,先把不变的线段,不变的角找到,有没有始终相等的线段,始终全等的图形,始终相似的图形,所有的运算都基于它们,在找到变化线段之间的联系,用代数式慢慢求解。
3. 一般的问题特殊化,有些一般的结论,找不到一般解法,先看特殊情况,比如动点问题,看看运动到中点怎样,运动到垂直又怎样,变成等腰三角形又会怎样,先找出结论,再慢慢求解。
50个高考数学解题技巧
![50个高考数学解题技巧](https://img.taocdn.com/s3/m/08f64780dc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b092.png)
50个高考数学解题技巧1 . 适用条件[直线过焦点],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A为直线与焦点所在轴夹角,是锐角。
x为分离比,必须大于1。
注:上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。
2 . 函数的周期性问题(记忆三个)(1)若f(x)=-f(x+k),则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0),则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),则T=6k。
注意点:a.周期函数,周期必无限b.周期函数未必存在最小周期,如:常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数,如:y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下(1)若在R上(下同)满足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图像关于(a,b)中心对称4 . 函数奇偶性(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大,一般用于选择填空5 . 数列爆强定律(1)等差数列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中,上述2中各项在公比不为负一时成等比,在q=-1时,未必成立(4)等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+q?mS(n)可以迅速求q6 . 数列的终极利器,特征根方程首先介绍公式:对于an+1=pan+q(n+1为下角标,n为下角标),a1已知,那么特征根x=q/(1-p),则数列通项公式为an=(a1-x)p?(n-1)+x,这是一阶特征根方程的运用。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
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高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型;2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;3.同样,利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结
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高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中,三角函数是一个重要的内容,也是高考数学中出现频率最高的内容之一。
掌握好三角函数的解题技巧和思路,对于提高数学成绩至关重要。
下面将总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。
第一,理解三角函数的基本定义和性质。
三角函数的基本定义是:正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx等。
理解这些函数的定义并记住它们的性质是解题的基础。
同时要熟练掌握它们在特殊角上的取值,如sin30°=1/2,cos60°=1/2,tan45°=1等。
第二,理解三角函数的周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π,所以可以利用周期性来简化解题过程。
在一些问题中,可以利用周期性把给定的范围转化到一个周期内来求解。
在区间[0,12π]上求sinx=1/2的解,可以先求出[0,2π]上sinx=1/2的解,然后再把2π的整数倍加上去求解。
合理利用三角函数的性质。
三角函数有一些特殊的性质,可以利用这些性质来简化解题过程。
sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,tan(-x)=-tanx,可以利用这些性质求解一些简单的题目。
第四,利用三角函数的图像和关系。
三角函数的图像是由单位圆上的点(x,y)的坐标决定的。
对于一个三角函数的图像,可以通过改变参数a、b、c、d来对其进行平移、伸缩和反射。
利用图像和函数的关系,可以求解关于三角函数的方程。
已知f(x)=sinx和g(x)=cosx在[0,π/2]上相等,可以通过观察图像得出解为π/4。
第五,利用三角函数的和差化积公式和倍角公式。
三角函数有一些重要的公式可以用来化简复杂的式子。
sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB,cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB,tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)等。
掌握高考数学中的函数单调性与极限关系技巧有哪些要点
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掌握高考数学中的函数单调性与极限关系技巧有哪些要点在高考数学中,函数单调性与极限关系是一个非常重要且常考的知识点。
掌握了函数的单调性以及极限关系的技巧,能够帮助我们更好地解决相关题目,提高解题效率。
下面,我将为大家总结一些在掌握高考数学中函数单调性与极限关系技巧方面的要点。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势,主要分为递增和递减两种情况。
掌握函数的单调性可以帮助我们判断函数在某个区间上的变化趋势,从而更好地解决相关题目。
1. 使用导数判断函数的单调性导数是刻画函数变化趋势的有效工具,通过导数的正负性可以快速判断函数的单调性。
当函数在某个区间上导数恒大于零时,函数在该区间上单调递增;当函数在某个区间上导数恒小于零时,函数在该区间上单调递减。
2. 使用零点判断函数的单调性函数的零点是指函数在定义域上取得零值的点,也就是函数与x轴的交点。
通过求解函数的零点,我们可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。
当函数的零点按照从小到大的顺序排列时,可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。
3. 使用一阶导数与二阶导数判断函数的单调性除了使用导数判断函数的单调性外,我们还可以使用一阶导数与二阶导数之间的关系来判断函数的单调性。
当函数的一阶导数恒大于零且二阶导数恒大于零时,函数在该区间上单调递增;当函数的一阶导数恒小于零且二阶导数恒小于零时,函数在该区间上单调递减。
二、函数的极限关系函数的极限关系是指当自变量趋近于某个特定值时,函数的取值趋近于某个特定值的性质。
掌握函数的极限关系可以帮助我们判断函数的趋势,解决与极限相关的题目。
1. 使用极限的四则运算法则当我们在计算函数的极限时,可以利用极限的四则运算法则简化问题。
根据极限的四则运算法则,我们可以将复杂的函数拆分成简单的基本函数,再对每个基本函数计算极限。
2. 使用夹逼准则判断函数的极限夹逼准则是一种重要的判断函数极限的方法。
当我们求解函数的极限时,如果可以找到两个函数作为夹逼函数,且夹逼函数的极限都为某个特定值,那么函数的极限也将趋近于这个特定值。
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题
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高考数学技巧如何快速计算复杂的极限问题在高考数学科目中,极限问题是一类相对较难且比较常见的问题。
解决复杂的极限问题要求掌握一些技巧和方法,以便能够快速准确地求解。
本文将介绍一些高考数学技巧,帮助你在考试中迅速解决复杂的极限问题。
一、利用代入法简化问题解决复杂极限问题的第一步是观察并尝试利用代入法简化问题。
对于形如lim (x→a) f(x) 的问题,我们可以尝试将 x 代入 a,然后计算函数值,观察其趋近情况。
如果函数在 a 处的函数值已经知道,那么我们可以直接进行代入计算。
通过代入法,我们可以将极限问题转化为一个求解函数值的问题,从而简化计算。
二、利用极限的性质进行变形在计算复杂的极限问题时,我们可以利用极限的性质进行变形,以便更方便地进行计算。
常见的极限性质包括四则运算、函数的复合、极限的唯一性等。
例如,当我们遇到一个复杂的极限问题时,我们可以利用极限的性质将其进行拆解,然后简化计算。
另外,我们还可以利用一些常用的极限公式,如lim (x→0) sin(x)/x = 1,来简化计算过程。
三、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决一些特殊极限问题的有效方法。
当我们计算复杂的极限问题时,可能会遇到一种形式如lim (x→a) f(x)/g(x) 的问题,其中 f(x) 和 g(x) 在 a 处的函数值都为 0 或者±∞。
利用洛必达法则,我们可以将其转化为求导数的问题,然后通过求导计算极限。
具体而言,我们可以对 f(x) 和 g(x) 分别求导,然后计算导数的极限,从而得到原始函数的极限。
四、利用泰勒展开逼近极限有些复杂的极限问题可以利用泰勒展开来逼近。
泰勒展开是将函数在某一点附近用一个多项式逼近的方法。
通过使用泰勒展开,我们可以将原始函数表示为一个多项式的形式,从而简化计算过程。
然而,利用泰勒展开逼近极限可能会导致一定的误差,因此需要注意取近似时的精度。
总结起来,解决高考数学中的复杂极限问题需要我们掌握一些技巧和方法。
求函数最值的方法总结
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求函数最值的方法总结一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。
简单来说,最小值即定义域中函数值的最小值,最大值即定义域中函数值的最大值。
下面就是小编整理的求函数最值的方法总结,一起来看一下吧。
函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一,也是中学数学的主要内容。
函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强,考题的知识涉及面较广,对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。
通过对函数最值问题的相关研究,结合自身的感触和学习的心得,总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法,并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题,这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。
文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法,希望对培养学生数学学习能力,提高学生的解题能力有所帮助。
函数f(x)在区间I上的最大值和最小值问题,本质上是一个最优化的问题。
求解函数最大值与最小值的实际问题,包括三方面的工作:一是根据实际问题建立目标函数,通常总是选取待求的最优量为因变量:二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值;三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。
同时一方面要深刻理解题意,提高阅读能力,要加强对常见的数学模型的理解,弄清其产生的实际背景,把数学问题生活化;另一方面要不断拓宽知识面,提高间接的生活阅历,如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题,也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题,培养实际问题数学化的意识和能力。
最值问题综合性强,几乎涉及高中数学各个分支,要学好各个数学分支知识,透彻地理解题意,能综合运用各种数学技能,熟练地掌握常用的解题方法,才能收到较好的效果。
(1)代数法。
代数法包括判别式法(主要是应用方程的思想来解决函数最值问题)配方法(解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题)不等式法(基本不等式是求最值问题的重要工具,灵活运用不等式,能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题)④换元法(利用题设条件,用换元的方法消去函数中的一部分变量,将问题化归为一元函数的最值,以促成问题顺利解决,常用的换元法有代数换元法和三角换元法)。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解06 函数图像辨析
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高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解 第6讲 函数图像识别辨析专项突破高考定位函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已经成为各省市高考命题的一个热点。
在高考中经常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形式出现。
考点解析(1)知图选式的方法 (2)知式选图的方法(3)同一坐标系中辨析不同函数图像的方法(4)解决需要我们利用图像所提供的信息来分析解决问题这类题目的常用方法 定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;函数模型法,也就是由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. 题型解析类型一、由解析式判定图像例1-1(含参型).(2022·全国·高三专题练习)函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是()A .B .C .D .【答案】B 【分析】先求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,构造函数,求函数的导数,利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意,()3loga f x x ax =-,必有30x ax -≠,则0x ≠且x ≠, 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠,()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==,则函数3log a y x ax =-为偶函数,排除D ,设()3g x x ax =-,其导数()23g x x a '=-,由()0g x '=得x =,当x >时,()0g x '>,()g x 为增函数,而()f x 为减函数,排除C ,在区间⎛⎝⎭上,()0g x '<,则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上,()0g x '>,则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数,0g =,则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭,此时()g x ()0,1,此时()0f x >,排除A ,故选:B. 知式选图的方法(1)从函数的定义域,判断图像左右的位置;从函数的值域,判断图像上下的位置; (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图像的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性; (4)从函数的周期性,判断图像的循环往复; (5)从函数的极值点判断函数图像的拐点.练.(2021•重庆模拟)函数()(kx f x e lnx k =⋅为常数)的图象可能是()A .B .C .D .【解答】解:令()0kx f x e lnx =⋅=,解得1x =,即函数()f x 有且只有一个零点,故D 不可能,()(1)kxe f x kxlnx x'=+,令y xlnx =,则1y lnx '=+,令0y '>,则1x e>,即函数y 在1(e,)+∞上单调递增,令0y '<,则1x e<,即函数y 在1(0,)e上单调递减,∴当1x e =时,y 取得最小值,为1e -,即1[xlnx e∈-,)+∞,且0x →时,0xlnx →,x →+∞时,xlnx →+∞,故当0k e 剟时,()0f x '…,()f x 单调递增,选项A 可能,当k e >时,()f x '存在两个零点1x ,2x ,且12101x x e<<<<,()f x ∴在1(0,)x 和2(x ,)+∞上单调递增,在1(x ,2)x 上单调递减,选项B 可能,当0k <时,()f x '存在唯一零点0x ,且01x >,()f x ∴在0(0,)x 上单调递增,在0(x ,)+∞上单调递减,选项C 可能,故选:ABC . 练.函数()mf x x x=-(其中m ∈R )的图像不可能是() A . B .C .D .【答案】C【解析】易见,0(),0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩,① 当0m =时()=f x x ()0x ≠,图像如A 选项;②当0m >时,0x >时()m f x x x =-,易见,my x y x==-在()0,+?递增,得()f x 在()0,+?递增; 0x <时()m f x x x =--,令x t -=,得(),0mf t t t t=+>为对勾函数, 所以()f t在)+∞递增,(递减,所以根据复合函数单调性得()f x在(,-∞递减,()递增,图像为D ; ③当0m <时,0x <时()m f x x x =--,易见,my x y x=-=-在(),0-?递减,故()f x 在(),0-?递减;0x >时()m m f x x x x x-=-=+为对勾函数, 所以()f x在(递减,)+∞递增,图像为B. 因此,图像不可能是C. 故选:C. 【点睛】本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像,属于中档题.例1-2(原导混合型)(2021·重庆市南坪中学校高二月考)函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x ',则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为()A .B .C .D .【答案】A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性,以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号,利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ,()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-, 即函数()cos f x x x =为奇函数,()cos sin f x x x x '=-,函数()f x '的定义域为R ,()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=,函数()f x '为偶函数,排除B 、C 选项;22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,()1f π'=-,则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项,图中的偶函数为()f x ',由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭,()0f π'<与题图不符,D 选项错误,故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; (2)从函数的值域,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)函数的特征点,排除不合要求的图象. .同一坐标系中辨析不同函数图像的方法解决此类问题时,常先假定其中一个函数的图像是正确的,然后再验证另一个函数图像是否符合要求,逐项进行验证排查.练.函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅(其中()f x '为()f x 的导函数)的图象在同一坐标系中的情况可以为()A .①④B .②③C .③④D .①②③【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+,则()2g x acx bc =+. 由①②中函数()g x 的图象得0ac bc >⎧⎨<⎩, 若0c <,则00a b <⎧⎨>⎩,此时()00f c =<,02ba ->,又0a <,所以()f x 的图象开口向下,此时①②均不符合要求; 若0c >,则00a b >⎧⎨<⎩,此时()00f c =>,02ba ->,又0a >,所以()f x 的图象开口向上,此时②符合要求,①不符合要求;由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩,若0c >,则00a b <⎧⎨>⎩,此时()00f c =>,02ba ->,又0a <,所以()f x 的图象开口向下,此时③符合要求,④不符合要求;若0c <,则00a b <⎧⎨>⎩,此时()00f c =<,02ba ->,又0a >,所以()f x 的图象开口向上,此时③④均不符合要求. 综上,②③符合题意, 故选:B .类型二、由图像判定解析式例2-1(2019·甘肃·兰州五十一中高一期中)若函数()y f x =的图象如图所示,则函数()f x 的解析式可以为()A .21()xf x x+=B .()2ln 2()x f x x+=C .33()xf x x+= D .ln ()x f x x=【答案】A 【分析】根据函数图象的基本特征,利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案. 【详解】选项B 根据图象可知:函数是非奇非偶函数,B 排除; 选项C 根据图象x 趋向于-∞,函数值为负,与C 矛盾故排除; 选项D 函数图象在第三象限,0x <,与D 的定义域矛盾,故排除; 由此可得只有选项A 正确; 故选:A. 【点睛】本题考查函数图象判断解析式,此类问题主要利用排除法,排除的依据为函数的基本要素和基本性质,如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等,属于中等题. 例2-2.函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =f (x )的解析式可能为()A .ln 1xy x =+ B .cos 1xy x =+ C .1xe y x =+D .1x y x =+【答案】C【分析】结合函数的图象,从函数的定义域,0x =和0x >时判断.【详解】由()y f x =图象得函数的定义域为{}1,x x x ≠-∈R ∣,排除A ;由()00f >,排除D ;由0x >时,()0f x >,排除B .故选:C.例2-3(2020·浙江·台州市黄岩中学高三月考)某函数的部分图像如下图,则下列函数中可作为该函数的解析式的是()A .sin 2sin 2xxy e =B .cos2cos 2xxy e =C .cos2cos 2xx y e =D .cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0,排除选项A 、B 、D ,则答案可得.【详解】当x ∈R 时,函数值恒大于等于0,而A 选项中,当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,sin 2sin 20xxy e=<,故排除A ;当x ∈R 时,函数值恒大于等于0,而B 选项中,当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos2cos20x xy e =<,故排除B ;当x ∈R 时,函数值恒大于等于0,而D 选项中,当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos cos 0x xy e =<,故排除D ; 因此,C 选项正确; 故选:C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式,考查运算求解能力、数形结合思想,体现了数学运算的核心素养,破解此类问题的技巧:一是活用性质,常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项;二是利用特殊点排除不适合的选项,从而得出合适的选项.本题属于中等题.例2-4(2019·全国·高三月考(理))已知函数()y f x =图象如下,则函数解析式可以为()A .()()()sin 2ln 1f x x x π=+B .()()2sin 222xxx x f x π-=-C .()()()sin 222x x f x x π-=-D .()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数,且定义域为R ,然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性,结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知,函数()y f x =的定义域为R ,且为偶函数.对于A 选项,()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠,不合乎题意; 对于B 选项,令220xx--≠,得0x ≠,则函数()()2sin 222xxx x f x π-=-的定义域不为R ,不合乎题意;对于C 选项,函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ,且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=,该函数为偶函数,合乎题意; 对于D 选项,函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ,且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-,该函数为奇函数,不合乎题意. 故选:C. 【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号,结合排除法求解,考查推理能力,属于中等题. 总结:知图选式的方法(1)从图像的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域 (2)从图像的变化趋势,观察函数的单调性;(3)从图像的对称性方面,观察函数的奇偶性; (4)从图像的循环往复,观察函数的周期性.类型三、读图提取性质求参例3-1.若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示,则()A .0,01m n ><<B .0,1m n >>C .0,01m n <<<D .0,1m n <>【答案】B 【分析】 令()0f x =得到1ln x n m=,再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =,即ln mx n =,解得1ln x n m =,由图象知1l 0n x mn =>, 当0m >时,1n >,当0m <时,01n <<,故排除AD ,当0m <时,易知mx y e =是减函数,当x →+∞时,0y →,()2f x n →,故排除C ,故选:B练.已知常数a 、b 、R c ∈,函数()2bx cf x x a+=-的图象如图所示,则a 、b 、c 的大小关系用“<”可以表示为_______.【答案】b c a <<【解析】若0a <,则函数()f x 的定义域为R ,不合乎题意, 若0a =,则函数()2bx cf x x +=的定义域为{}0x x ≠,不合乎题意,若0a >,则函数()2bx cf x x+=的定义域为{x x ≠,合乎题意. 由图可知()00c f a==-,可得0c =,则()2bx f x x a =-,当0x <<20x a -<,则20x x a <-,则()20bxf x x a=>-,所以0b <. 因此,b c a <<. 故答案为:b c a <<.例3-2.(2021·全国·高三专题练习)已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=(0ω>,0ϕπ<<)的部分图象如图所示,则ωϕ=()A .12B .1C .2D .2π【答案】C 【分析】由函数零点代入解析式待定系数ϕ、ω. 【详解】由图象可知,由(0)0f =得cos 0ϕ=,又0ϕπ<<,解得2ϕπ=.则()4cos 4sin 2x xx x ee f x πωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-, 法一:由(1)0f =得sin 0ω=,解得()k k Z ωπ=∈, 又当(0,1)x ∈,(0,)x ωω∈时,恒有()0f x <, 即sin 0x ω>恒成立,故0ωπ<≤,1k ∴=,即ωπ=,则2ωϕ=. 法二:由sin 0x ω=,解得()k x k Z πω=∈,故两相邻零点的距离为πω,由图象可知1πω=,则ωπ=,则2ωϕ=. 故选:C. 【点睛】已知函数图象待定解析式,一是从函数的特征点入手,代入点的坐标从而待定系数,如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等;二是从函数的特征量入手,找到等量(不等量)关系待定系数(范围),如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等. 练.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈,在[]3,3-的大致图象如图所示,则a ω可取A .2πB .πC .2πD .4π【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数,而x y a π=为[]3,3-上的偶函数,故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数,所以,2k k Z πϕπ=+∈. 因为0ϕπ<<,故2ϕπ=,()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==. 因()10f =,故cos 0ω=,所以2k πωπ=+,k ∈N .因()02f =,故0cos 012a a π==,所以12a =. 综上()21k aωπ=+,k ∈N ,故选B .类型四、实际情景提取图像例4-1.如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间,12l l //,l 与半圆相交于F 、G 两点,与三角形ABC 两边相交于点E 、D ,设弧FG 的长为x (0)x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是()A .B .C .D .【答案】D【解析】依题意,正ABC 的高为1,则其边长BC =,如图,连接OF ,OG ,过O 作ON ⊥l 1于N ,交l 于点M ,过E 作EH ⊥l 1于H ,因OF =1,弧FG 的长为x (0)x π<<,则F O G x ∠=,又12////l l l ,即有1122FON FOG x ∠=∠=,于是得cos cos 2xOM OF FON =⋅∠=,1cos 2x EH MN ON OM ==-=-,2cos )sin 6032EH xEB ==-,因此,2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=,即()2xf x=,0πx<<,显然()f x在(0,)π上单调递增,且图象是曲线,排除选项A,B,而2312432fππ⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭,C选项不满足,D选项符合要求,所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选:D练.已知P是圆22(1)1x y-+=上异于坐标原点O的任意一点,直线OP的倾斜角为θ,若||OP d=,则函数()d fθ=的大致图象是A.B.C.D.【答案】D【解析】π2cos,[0,)2π2cos,(,π)2dθθθθ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩,所以对应图象是D练。
数学二次函数压轴题解题技巧
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数学二次函数压轴题解题技巧数学二次函数是中学数学中的一个重要内容,而在高考数学中,二次函数也是一个重要的考点。
二次函数在高考中的压轴题往往难度较大,需要学生具备扎实的数学知识和高超的解题技巧。
下面是一些解决二次函数压轴题的技巧。
1. 熟悉常见二次函数的形式和性质常见的二次函数包括:二次项系数为 1 的二次函数,即 y=x^2;二次项系数不为 1 的二次函数,即 y=ax^2+bx+c,其中 a、b、c 为常数;以及二次函数的平移变换,即 y=x^2+bx+c(x-a)。
熟悉这些函数的形式和性质,可以帮助我们更好地理解和解决问题。
2. 掌握求最值的方法在二次函数中,求最值是一个重要的问题。
常用的求最值方法包括:利用函数的导数求最值;利用二次函数的图像求最值;利用不等式求最值等。
其中,利用函数的导数求最值是最常用的方法之一,需要注意求导的方法和技巧。
3. 掌握求顶点的方法求顶点是解决二次函数压轴题的一个常用方法。
常用的求顶点的方法包括:利用函数的导数求顶点;利用二次函数的图像求顶点;利用对称轴求顶点等。
其中,利用函数的导数求顶点是最常用的方法之一,需要注意求导的方法和技巧。
4. 掌握求范围的方法在二次函数中,求范围也是一个重要的问题。
常用的求范围方法包括:利用函数的导数求范围;利用二次函数的图像求范围;利用不等式求范围等。
其中,利用函数的导数求范围是最常用的方法之一,需要注意求导的方法和技巧。
5. 利用图形结合数学方法解决问题在解决二次函数压轴题时,常常需要利用图形结合数学方法解决问题。
例如,可以利用图像的对称性质、周期性、平移变换等,帮助我们更好地理解和解决问题。
此外,还需要善于总结各种技巧和方法,熟练掌握各种解题套路,以应对各种可能出现的二次函数压轴题。
高考数学函数实用答题技巧和经验
![高考数学函数实用答题技巧和经验](https://img.taocdn.com/s3/m/b535fdc081eb6294dd88d0d233d4b14e85243e6a.png)
高考数学函数实用答题技巧和经验高考数学函数答题技巧有哪些,函数题怎么做简洁,精确率还高?高中函数题不会做、没有思路怎么办,该如何下手?下面是一些方法和阅历,供参考。
高中数学必修一学问结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招:如何提高高三数学成果高中文科数学公式大全高中函数答题方法有哪些(一)巧解函数定义域问题1.依据函数的解析式求函数的定义域,主要从以下几个方面来考虑:分式中分母不为零;对数的真数大于零;偶次方被开方数大于等于零.2.复合型函数定义域的问题包含两类:一类是已知原函数的定义域来求复合函数的定义域,只需满意,解出即可;一类是已知复合函数的定义域来求原函数的定义域,即内函数的值域为原函数的定义域;(二)函数解析式的求法函数解析式的问题是高考的命题热点,其求解方法许多,最常用的有以下几种:①换元法和配凑法;②待定系数法:适用于已知函数模型(如指数函数、二次函数等)和模型满意的条件下解析式,一般先设出函数的解析式,然后再依据题设条件待定系数;③解方程组法;④函数的性质法,在求某些函数解析式时,只给出了部分条件(如函数的定义域、经过某些特别点、部分关系式、部分图象特征等)这类问题具有抽象性、综合性、和技巧性等特点,需要利用函数的性质来解;⑤赋值法:所给函数有两个变量时,可对这两个变量给予特别数值代入,或给两个变量给予肯定的关系代入,再用已知条件,可求出未知函数,至于给予什么特别值,应依据题目特征而定。
(三)推断函数单调性的方法巧把握1.定义法。
2.利用一些常见函数的单调性,如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性加以推断。
3.图象法。
4.在共同的定义域上,两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数。
5.奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性。
6.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性。
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
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(4)求值: ________(答:32)
13、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0, 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
14、正弦函数 、余弦函数 的性质:
如(1)已知角 的终边经过点P(5,-12),则 的值为__。(答: );(2)设 是第三、四象限角, ,则 的取值范围是_______(答:(-1, );
7.特殊角的三角函数值:
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
-1
1
0
-1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
8.同角三角函数的基本关系式:
如(1)函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象?(答: 向上平移1个单位得 的图象,再向左平移 个单位得 的图象,横坐标扩大到原来的2倍得 的图象,最后将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象);
(2)要得到函数 的图象,只需把函数 的图象向___平移____个单位(答:左; );
(3)将函数 图像,按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出 ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 );
(1)定义域:都是R。
(2)值域:都是 ,对 ,当 时, 取最大值1;当 时, 取最小值-1;对 ,当 时, 取最大值1,当 时, 取最小值-1。
如(1)若函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 __, _(答: 或 );
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高考数学函数解题技巧方法总结1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型?()()例:函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()(答:,,,)022334函数定义域求法:● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●反三角函数的定义域函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是,函数y =arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y =arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数y =arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域?[]的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。
[](答:,)a a -复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21,则)(log 2x f 的定义域为 。
分析:由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知:221≤≤x ;所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
解:依题意知:2log 212≤≤x 解之,得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5,x ∈[-1,2]的值域。
3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂.112..22222222ba y 型:直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简,再用均值不等式x mx nx 1 例:y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一:用判别式 法二:用换元法,把分母替换掉x x 1(x+1)(x+1)+1 1例:y (x+1)1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=6543++x x 值域。
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ,2sin 11sin y θθ-=+,2sin 11cos y θθ-=+的值域。
110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式,求出,就是要求的答案x x x e yy e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25x log31-x (2≤x ≤10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点P (x.y )在圆x 2+y 2=1上,2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令y-2即也是直线d d yx x yk y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤例求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),B (-8)间的距离之和。
由上图可知:当点P 在线段AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB ∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解:原函数可变形为:y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点P (x ,0)到两定点A (3,2),B (-2,-1)的距离之和,由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时, y m in =∣AB ∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为[43,+∞)。
注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab ,a+b+c ≥3abc 3(a ,b ,c ∈R +),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:332(0)11113333222x =x x (应用公式a+b+c 时,注意使者的乘积变成常数)x xx x x xabc +>++≥⨯⨯=≥33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时,应注意使3者之和变成常数)a b c +⋅⋅≤=++≤ 10.倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数y=32++x x 的值域20112022012时,时,=00y x y y x y y =+≠==+≥⇒<≤+=∴≤≤多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 ()如:,求fx e x f x x +=+1().令,则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2121 ()∴f x ex x x ()=+-≥-212106. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域)()()如:求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()(答:)f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110()在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( B ) A .y=x 2-2x +2(x <1) B .y=x 2-2x +2(x ≥1) C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1)当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。
可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。
下面请看一下我的思路:原函数定义域为 x 〉=1,那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。
思路能不能明白呢? 7. 反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ) 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ) 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y )和点(y ,x )关于直线y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;③设的定义域为,值域为,,,则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a [][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()(),由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如(04. 上海春季高考)已知函数)24(log )(3+=xx f ,则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 8 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法:根据定义,设任意得x 1,x 2,找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系(2)参照图象:①若函数f(x)的图象关于点(a ,b)对称,函数f(x)在关于点(a ,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)②若函数f(x)的图象关于直线x =a 对称,则函数f(x)在关于点(a ,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质:①函数f(x)与f(x)+c(c 是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c 是常数),当c >0时,它们是同向变化的;当c <0时,它们是反向变化的。