向量的加法运算 课件 -一下学期数学人教A版(2019)必修二

a
首首
C
尾尾
ab
b
相连
b
连
A
a
B
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
向量加法的平行四边形法则
以 同 一 点O为 起 点 的 两 个 已 知 向 量a、b为 邻 边 作 平 行 四 边 形OACB，
则 以O为 起 点 的 对 角 线OC就 是a与b的 和 则 向 量AC叫 做a与b的 和
a b，即a b OA OB OC
P
C
B
5、河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航 行，小船在静水中的速度为 10 3km / h，求小船的实际航行速度.
解：设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作
OA a，OB b
以OA，OB为邻边作矩形OACB ，连接OC，如图 则OC a b，并且OC即为小船的实际航行速度， | OC | | a b |2 | a |2 | b |2 20km / h tan AOC 10 3 3， AOC 60
a b. b
a
b
b
b
a
a
a
(1)
(2)
(3)
(4)
2、如图所示，求作向量 a b c
解：方法一：(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作OA a，AB b 则得向量OB a b，然后作向量BC c
则得向量OC (a b) c a b c，即为所求
方法二：(平行四边形法则)如图⑤所示，
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸 的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。
解：(2)在Rt△ABC中，| AB | 2,| BC | 5
是平行四边形.
7、如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于
点O，则OA BC AB DO 等于( B )
A.CD
B.DC
C.DA
D.DO
解 析 ：OA BC AB DO
DO OA AB BC
DA AB BC
DB BC
DC
8、已知向量 a 表示“向东航行3km”， b表示“向南航行3km”，则 a b 表示___向__东__南__航__行___3__2__k_m____.
首尾相连的几个向量的和，是以第一个向量的起点为起点，以最 后一个向量的终点为终点的向量；向量的分解，与路径无关.
2、化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2)MA BN AC CB __M_N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
3、思考： 如果平面内有n个向量依次首尾相连，组成一条封闭折线，那
10
∴小船的实际航行速度为20km/h，沿北偏东30°的方向航行.
6、在四边形ABCD中，AC AB AD，则 D
A.四边形ABCD一定是矩形 B.四边形ABCD一定是菱形 C.四边形ABCD一定是正方形 D.四边形ABCD一定是平行四边形
解析：由 AC AB AD 知，A，B，C，D构成的四边形一定
例1、如图，已知向量a，b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作OA a，OB b
b
以OA、OB为邻边做□OACB， a
连结OC，则OC OA OB a b
O
a
A
ab
b
B
C
平行四边形法则
课堂练习 P10
1、如图，在下列各小题中，已知向量a, b，分别用两种方法求作向量
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 52
29 5.4
tanCAB 5
A
CAB 68
B
2
答：船实际航行速度约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角约为68º。
课堂练习 1、根据图示填空 E e D
(1)a b __c__
gf
d
c
A
C
a
b
B
(2)c d __f__ (3)a b d __f__ (4)c d e __g__
探究新知
(2)结合例1，探索| a b |，| a |，| b | 之间的关系.
| a | | b | | a b || a | | b |
不共线可看成一个三角形的三边的关系
绝对值不等式(三角形不等式)
探究新知
数的加法满足交换律和结合律，即对任意a，b∈R，有
ab ba
(a b) c a (b c)
6.2.1 向量的加法运算
提出问题
例如:某人从A点向东走到B. 然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少?
C 分析 :由物理知识可以知道: 从A点到B点然后到C点的合位移， 就是从A点到C点的位移.
A
B
AB BC AC
例如：橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
F
上述事例表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是 一个向量. 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量加法的三角形法则
已知非零向量a, b, 在平面内取任意一点A，作AB a，BC b， 则向量AC叫做a与b的和，记作a b，即a b AB BC AC
首先在平面内任取一点O，作OA a，OB b，OC c
以OA，OB为邻边作□OADB，连接OD，
则OD OA OB a b，
再以OD，OC为邻边作□ODEC，连接OE，
则OE OD OC a b c，即为所求
C
abc
c
ab B
O
a Ab
a b cE
C
B
c O
bab
D
aA
探究新知
么它们的和是什么？
答：它们的和是0
E A
D
B
C
4、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式 是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.
(1) DA DP PA (2) DA AB BP DP (3) AB BC CP PA
(× )
D
(√ )
(× ) A
探究：求和时用三角形法则与平行四边形法则一样吗?比较一下两 种法则.
C
Da C
a+b
b
b a+b
b
A
a
B Aa
B
特点:首尾相接连端点 特点:起点相同连对角
例1、如图，已知向量a，b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作OA a，AB b
a
则OB a b
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。
D
C
A
B
解 ：(1)如 图 所 示 ，AD表 示 船 速 ，AB表 示 水 速 ， 以AD、AB为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ， 则AC表 示 船 实 际 航 行 的 速 度
(1)如 果向 量a, b共 线， 它 们的 加 法 与数的 加法 有 什 么关 系 ？ 你能 作出
向 量a b吗 ？
a
a
b
b
（1）
Aa B b
C
ab
（2）
C
b A
a
B
ab
若a,b方向相同，则| a b || a | | b |
若a,b方向相反，则| a b || a | | b | (或 | b | | a |)
B
C
b
ab
起对 点角 相线 同
0
a
A
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则
对于零向量与任一向量a, 我们规定a
0

0
a
a
对于向量的加法的理解需要注意下面三点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量); (2)位移的合成是三角形法则的物理模型; (3)力的合成是平行四边形法则的物理模型.
那么对任意向量 a，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画
图进行探索。
D
B
b
a ab
O
a
C
b
A
abc
c
bc
A
ab
a
B
C
b
向量加法的运算律 交换律： a b b a 结合律： (a b) c a (b c)
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如
图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸
解析：根据题意由于向量 a表示“向东航行3km”，向量 b 表示“向南 航行3km”，那么可知 a b表示向东南航行 3 2km
课堂小结
1、知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 2、方法归纳：数形结合. 3、常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行 四边形法则要注意把向量移到共同起点.
E
O问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
例如：橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
EO
E
O
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F