2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1练习：第1章 常用逻辑用语1.2 第2课时

第一章 1.2第2课时
一、选择题
1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p 为导学号 96660091 ()
A．∃x0∈R，x20＋1>0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0
C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
[答案] B
[解析]全称命题的否定是存在性命题，故选B.
2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的一组为导学号96660092 ()
A．p:2∈Q，q:∅A
B．p:π<3，q:5>3
C．p:a∈{a，b}，q:{a}{a，b}
D．p:Q R，q:N＝Z
[答案] B
[解析]若¬p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.
3．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p:2∈(A∪B)，则命题“¬p”是导学号 96660093 ()
A.2∉A
B.2∈∁S B
C.2∉(A∪B)
D.2∈(∁S A)∩(∁S B)
[答案] D
[解析]由于p:2∈(A∪B)，所以¬p:2∉(A∪B)，即2∈∁S(A∪B)，所以2∈(∁S A)∩(∁S B)．故选D.
4．若命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题，则下列各结论中，正确的是导学号 96660094 ()
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．
A．①③B．②④
C．②③D．①④
[答案] A
[解析](¬p)∨(¬q)为假，故(¬p)与(¬q)均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．
5．(2021·湖北文，3)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是导学号 96660095 ()
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
[答案] A
[解析]由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，故应选A.
6．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是导学号 96660096 ()
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
[答案] B
[解析]当x＝0时，有2x＝3x，故命题p是假命题；
∴¬p为真命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴命题q是真命题，故选B.
二、填空题
7．“三个数a、b、c不全为0”的否定是________．导学号 96660097
[答案]三个数a、b、c全都为0
[解析]“不全为”的否定是“全都为”．
8．已知p(x):x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．导学号 96660098
[答案][3,8)
[解析]∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧3－m≤0
8－m>0
，解得3≤m<8.
三、解答题
9．已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假．导学号 96660099 [解析]“p或q”的形式：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0无实根． ∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有相等的实根，故p 真，q 假． ∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假.
一、选择题
1．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2对称．则下列
推断正确的是导学号 966600100 ( )
A ．p 为真
B ．¬q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
[答案] C
[解析] 本题考查命题真假的推断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题． 对“p ∧q ”真假判定：全真为真，一假则假． 2．(2022·重庆文)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程 x ＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是导学号 966600101( ) A ．p ∧(¬q ) B ．(¬p )∧q C ．(¬p )∧(¬q ) D ．p ∧q [答案] A
[解析] 由题意知，命题p 是真命题，命题q 是假命题，故¬p 是假命题，¬q 是真命题，故p ∧(¬q )是真命题，故选A.
3．设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是导学号 966600102 ( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(¬p )∧(¬q )
D ．p ∨(¬q ) [答案] A
[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)， ∴a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，
∴p 是假命题． ∵a ，b ，c 是非零向量，
a ∥
b 知，a ＝x b ，由b ∥
c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题． ∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题， (¬p )∧(¬q )，p ∨(¬q )都是假命题．
4．(2022·浙江理)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n ≥x 2”的否定形式是导学号 96660103( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2
C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2
D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2 [答案] D
[解析] 依据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ． 二、填空题
5．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．导学号 966600104 [答案] “¬p ”
6．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2
x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题
“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”、“¬q ”中正确的命题是________．
导学号 966600105 [答案] p ∨q ，¬p
[解析] ∵∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0， ∴命题p 为假，¬p 为真．
∵x －2x －1≤0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －2)(x －1)≤0
x －1≠0，解得1<x ≤2. ∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假． 三、解答题
7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”的真假 导学号 966600106
(1)p ：梯形有一组对边平行，
q ：梯形有一组对边相等；
(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ， q ：不等式x 2
－2x ＋2≤1的解集为∅.
[解析] (1)p 真、q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为假． (2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为{x |x ≠1}，∴p 假；
不等式x 2－2x ＋2≤1，即x 2－2x ＋1≤0的解集为{x |x ＝1}，∴q 假． 故“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真．
8．对于下述命题p ，写出“¬p ”形式的命题，并推断“p ”与“¬p ”的真假：
(1)p :91∈(A ∩B )(其中A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p :有一个素数是偶数； (3)p :任意正整数都是质数或合数； (4)p :三角形有且仅有一个外接圆． [解析] (1)¬p :91∉A 或91∉B ； p 真，¬p 假．
(2)¬p :每一个素数都不是偶数； p 真，¬p 假．
(3)¬p :存在一个正整数不是质数也不是合数； p 假，¬p 真．
(4)¬p :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆； p 真，¬p 假．
9．若“∃x ∈[0，π
2]，sin x ＋3cos x <m ”为假命题，求实数m 的取值范围．
[解析] 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π
2]，
可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π
2]上为减函数．
∵f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π
2
)＝1，∴1≤f (x )≤2.
∵“∃x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x <m ”为假命题，则其否定“∀x ∈[0，π
2
]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，
∴m ≤f (x )min ＝1.
故实数m 的取值范围是(－∞，1]．。