二次函数的图象与性质(4)

x
y
1 2 1 y 2x (x
-5
2) 2
-4 -3
-2 2 0
-1 0.5 0.5
0
1
2
2
3 4.5
y
4
4.5 2 0.5
2
1 22 0 0.5 y x
y y
1 ( x 2) 2 2 1 ( x 2) 2 2
4.5
2
4.5
1 ( x 2) 2 2
4.5
2
0.5
0
0.5
-1
-2
-3 -4 -5
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
-4
y=-x2
-5
2 y=-x 探究2:抛物线 2 沿x轴怎样移动得到的？抛物线 y=-(x-1) 呢？
y=-(x+1)2是由抛物线
y
1
-4
-3
-2
-1
o
-1 -2 -3 -4
1
2
3
4
5x
-5
2 y=-x 抛物线
向左平移1个单位得抛物线 y=-(x+1)2 向右平移1个单位得抛物线 y=-(x-1)2
2
请比较所画三个函数的图象, 它们有什么共同的特征? 形状相同
探究1
1 y ( x 2) 2 2
y
y
1 2 x 2
y
1 ( x 2) 2 2
o
1 2 y x 2
向左平移2个单位
x
y
顶点坐标(0,0)
(-2,0) 对称轴:直线x=0
1 ( x 2) 2 2
直线x=-2
顶点坐标(0,0)
（5）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到 函数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单位 得到函数y= 2（x-3）2的图象.
y=9（x－3）2 （6）函数y=（3x+6）2的图象是由函数__________ 的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口 向 上 ，对称轴是直线x=－2 ，顶点坐标是 ， （－ ＞－ 2 当 x 2，0）时，y随 x的增大而增大，当 x= 时， 0 －2 值是 y有最 .小
是k 是k
y=ax2+k
a ＜0 a ＞0 a ＜0
Y随x的增 Y随x的增 大而减小 大而增大
Y随x的增 Y随x的增 大而增大 大而减小
Y轴 （0，k） 最大值
y=a（x-h）2
向上 直线 x=h 直线 向下 x=h
（h，0） 最小值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而减小 大而增大 （h，0） 最大值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而增大 大而减小
函数
开口方向
对称 顶 点 Y的 轴 坐 标 最值
Y轴
Y轴 Y轴
增减性
在对称 轴左侧 在对称轴 右侧
a＞ 0
向上 向下
y=ax2
a ＜0 a ＞0
最小值 Y随x的增 Y随x的增 （ 0， 0） 是 0 大而减小 大而增大
最大值 Y随x的增 Y随x的增 （0，0） 是0 大而增大 大而减小
向上 向下
（0，k） 最小值
（7）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到 2 y= － 3 （ x － 4 ） 的函数解析式是 ；将函数 y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析 式是 y=3（x+4）2 ； （8）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得 到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ， h= -2 .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y 轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 144 则SΔMAB= .
二次函数
2 y=a(x-h)
的图象和性质(4)
忆一忆
1.二次函数 y=ax2+k的图象是由二次 函数 y=ax2的图象怎样运动得到？
若k＞0时, 若k＜0时,
抛物线y=ax2向上平移k个单位 得抛物线 :y=ax2+k
抛物线y=ax2向下平移 k 个单位 得抛物线 :y=ax2+k
2.二次函数y=ax2、y=ax2+k的性质有哪 些？请填写下表：
4
个单位得到的；开 时，y有
口 向下 ，对称轴是直线x= 4 ，当x= 4
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后 得到函数 y=2(x-3)2 的图像，其对称轴是直线x=3， 顶点是（3，0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增 大；当x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个 单位后得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点 -1 （-1，0） ，对称轴是 直线x=-1 坐标是 ，当x= 时，y有最 大 值，是 0 .
拓
展
怎样平移抛物线y=3x2可以得到抛物 线y=3(x-2)2-3? y=3x2 下 3 y=3x2-3 右 2 y=3(x-2)2-3 y=3x2
右 2 y=3(x-2)2 下 3 y=3(x-2)2-3
1 2 y x 2
向右平移2个单位
(2,0) 对称轴:直线x=0
1 y ( x 2) 2 2
直线x=2
左加右减
探究2
在同一直角坐标系内画出函数 y=-(x+1)2
y
1 -4 -3 -2 -1
y=-x2
y=-(x-1)2
5x
的图象.
o
-1 -2
1
2
3
4
y=-(x-1)2
y=-(x+1)2
-3
做一做:
抛物线 y =2(x+3)2 y = -3(x-1)2 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
向下
向下
直线x=1
直线x=3
(1,0)
( 3, 0)
y = -4(x-3)2
填空： 1、由抛物线y=2x² 向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2 2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。
函数 开口方向
对称 轴 顶 点 坐 标
y的最值
y=ax2
a＞0 向上 a＜0 向下 a＞0 向上
最小值是0 y轴 （ 0 ， 0） 最大值是0 y 轴 （ 0 , 0） y轴 （0 , k）最小值是k
y=ax2k
探究1
在同一坐标系中作出二次函数y=½x²;y = ½(x+2)2 ;y = ½(x-2)2
y
1 -4 -3 -2 -1
o
-1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
5x
左加右减
探究2:抛物线 y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x-1)2 的开口方向，对称轴，顶点坐标,y随x变化趋 势有何异同？
顶点
-4 -3
x=-1 x=0 1
-2 -1
y
x=1
1 2
开口方向:向下
3 4 5x
o
(0,0) (-1,0) (1,0)
直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
练习三 知识应用
例1.说出下列抛物线的开口方向、
对称轴及 顶点坐标： （1）y=-3(x-1)2 (2)y=4(x-3)2 (3)y=2(x+3)2
解(1)∵a=-3<0
∴开口向下 对称轴: 直线 x= 1 顶点: (1，0)
例2
1.已知抛物线y=3x2
2 y=3(x+2) 将它向左平移2个单位得:
将它向右平移3个单位得:
y=3(x-3)2
2.将抛物线y=3(x+2)2向左平移3个单位 得抛物线 y=3(x+5)2
将抛物线y=3(x+2)2向右平移3个单位 得抛物线 y=3(x-1)2
巩固练习
（1）将抛物线y=-3x2向左平移3个单位 2 y=-3(x+3) 得到抛物线
（2）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位， y=2x2 的图象，再向 右 就得到函数 平移 3 个单位得到函数y= 2（x－3）2 的图象.
填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口 向上 ，对称轴是 直线x= -5 ，当x= -5 时，y有 最 小 值，是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线 y= -3x2 向 右 平移 最 大 值，是 0 .