江苏省淮安市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题_Word版含答案

淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试
数 学 试 卷（文） 2015.6
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请
把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．
上．1．已知集合{0,1,2}{|1}A B x y x ===-，，则=B A I
．
2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为 ． 3．已知
233m +-i
i
为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 5．已知1cos()33π
α+
=-，则sin()6
π
α-的值为_____． 6．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 ．
7．已知函数1
41
)(-+
=x a x f 的图象关于原点对称，则实数a 的值是 ． 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．
9．已知抛物线2
4y x =与双曲线12
22=-y a
x 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若
3MF =，则该双曲线的离心率为 ．
10．已知过点()
23,2P --的直线l 与圆O ：224x y +=有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．
11．将函数)0)(3
sin(2)(>+=ωπ
ωx x f 的图象向右平移
3π
ω
个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,
]4
π
上为增函数，则ω的最大值为 ．
12．已知()2243,0
23,0
x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上
恒成立，则实数a 的最大值是 ．
B
A
x
y
O
第15题
M
第16题图
13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n 2，则数列{n a }的前n 项和n S = .
14．已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0
f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：
①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22
ππαβπ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
,其终边分别交单位圆于A B ，两点．
若A B ，两点的横坐标分别是5
3，102-． 试求
（1）αtan ，βtan 的值；
（2）AOB ∠的值．
16．如图，已知多面体ABCDFEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，若四边形ADEF 为矩形，
AB ∥CD ，1
2AB CD =，BC ⊥BD ，M 为EC 中点．
（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求证：BM //平面ADEF ．
17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：
（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5
组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至
少有1名学生来自第5组的概率？
18．已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ，且1≠a ． （1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使)(x f >0的x 的集合．
19．已知椭圆：M 22
221x y a b
+=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦
点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点． （1）求椭圆M 的标准方程；
（2）若A ，求△AOB 的面积；
（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
20．已知函数()ln x
x k
f x +=e
（其中, 2.71828k ∈=e L R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．
（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；
（3）若()10f '=，试证明：对任意()221
0,x f x x x
-+'><+e 恒成立．
M
N
2014－2015学年度高二调查测试
数学试卷参考答案与评分标准（文）
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:1．}1,0{ 2．1sin ,>∈∃x R x 3．2- 4．
0或－3 5．3
1 6．23 7．2
1 8. 62n + 913
10．3⎡⎣ 11．2 12．2- 13．122n +- 14．3
二、解答题：
15．（1）因为,A B 两点分别是角,αβ的终边与单位圆的交点，
所以,A B 两点的坐标为()()cos ,sin ,cos ,sin A B ααββ，…………………………………4分
又因为A B ，两点的横坐标分别是
53，102-，且0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以，32cos ,cos 5αβ==，解得472
sin ,sin 5αβ==，……………………………6分
所以3
4
tan =α，7tan -=β；……………………………………………………………8分 （2）因为13
4)7(1347tan tan 1tan tan )tan(tan =⨯-+-
-=+-=
-=∠αβαβαβAOB ，…………12分 又因为2
0πα<
<，
πβπ
<<2
，所以παβ<-<0， 所以4
π
αβ=
-．………14分
16．（1）因为四边形ADEF 为矩形，所以DE AD ⊥， …………………………………1分 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ∩平面ABCD AD =，
所以DE ⊥平面ABCD ，…………………3分 又因为BC ⊂平面ABCD ，
所以DE ⊥BC ，……………………………5分
又因为BC ⊥BD ，DE I BD D =，所以BC ⊥平面BDE ； …………………………7分 （2）取DE 中点N ，连接,AN MN ，因为,M N 分别为,EC DE 中点，
所以MN P CD ，1
2
MN CD =，……………………………………………………………9分
又因为AB CD P ，1
2
AB CD =，所以,MN AB MN AB =P ，
所以四边形ABMN 为平行四边形， …………………………………………………11分 所以BM AN P ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，
所以BM P 平面ADEF ．……………………………………………………………………14分 17．（1）由频率分布表可知，
第2组的频数为1000.1515⨯=（人），………………………………………………2分 第3组的频率为
30
0.3100
=； …………………………………………………………4分 （2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为:第3组:
15
7335
⨯=(人)， ………………………………………………………6分 第5组:
20
7435
⨯=(人)，………………………………………………………8分 所以第2、5组分别抽取3人、4人．
（3）设第2组的3位同学为123,,A A A ，第5组的4位同学为1234,,,B B B B ，
则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况： 121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B 2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B 31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 121314(,),(,),(,),B B B B B B 2324(,),(,),B B B B
34(,),B B ……………………………………………………………………………12分
其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种，
故至少有1名学生来自第5组的概率为6
7
．………………………………………14分
18．（1）因为0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ， 所以⎩⎨
⎧>->+0
10
1x x ，解得11<<-x ，所以)(x f 的定义域为)1,1(-；…………………4分
（2）x x
x f a
-+=11log )(，)1,1(-∈x 因为x x x f a
+-=-11log )(1)11(log --+=x x a x
x
a -+-=11log )(x f -= 所以)(x f 为奇函数．………………………………………………………………………8分
（3）因为x
x x f a
-+=11log )(，所以()00f =，又12
111x y x x +==-+
--在)1,1(-上递增， 因为1>a ，所以)(x f 在)1,1(-上为递增函数， ……………………………………12分 由)(x f >)0(f 得，0>x ，又因为)1,1(-∈x ，
所以使)(x f >)0(f 的x 的集合为)1,0(．………………………………………………16分 19．（1）由1(1,0)F -、(2,0)C -得：
2,a b ==．…………………………………2分
所以椭圆M 的标准方程为22
143
x y +=； ……………………………………………4分
（2
）因为A ，1F )0,1(-，所以过1,A F 的直线l
的方程为：11x +=-，
0y -， ………………………………………………………………6分
解方程组220
14
3y x y -=⎨+
=⎪⎩
，得12y y ==8分
1211||2ABC S y y ∆=⨯⨯-=
；……………………………………………………………10分 （2）设000(,)(22)B x y x -<<，则22
00
143
x y +=．因为1(2,0),(1,0)C F --， 所以 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---u u u r u u u r
22
00023x x y =+++ 2
0013504
x x =
++=，………………………………………………………12分 解得：02x =-或6-，………………………………………………………………………14分 又因为026x -<<-，所以点B 不在以AC 为直径的圆上，
即不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上． …………………………………16分 20．（1
………………………1分 所以曲线()y f x =在点(1,f 2分
所以曲线()y f x =切线方程为 即13
y x =-+e e ；……………………………………………………………………………4分
（2）由()0f x '=得 ………………………………………………………5分
令1ln ()x x F x x -=
, 因为01x <≤,所以21
()0x F x x
+'=-<,………………………………6分 所以()F x 在(0,1]上单调递减，又当x 趋向于0时，()F x 趋向于正无穷大，故()1F x ≥， 即1k ≥； ……………………………………………………………………………8分 （3）由'(1)0f =，得1k =, ………………………………………………………………9分
因此,当2(0,)x -∈e 时,因为()0h x '>,所以()h x 单调递增； 当2(,)x -∈+∞e 时，因为()0h x '<，所以()h x 单调递减，
所以()h x 的最大值为22()1h --=+e e ,故21ln 1x x x ---+e ≤， …………………………12分 设()(1)x x x ϕ=-+e ，因为()1x x ϕ'=-e ，所以(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增,所以()(0)0x ϕϕ>=,
故(0,)x ∈+∞时,()(1)0x
x x ϕ=-+>e ,14分
．即对任意0x >,16分。