2018届山东省淄博市高三三模考试数学试题(理)

2018届山东省淄博市高三三模考试
数学试题（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{}|20A x x =+>，{}0,1,2,3---=B ,则()
A
B =R ð
A ．{3,2}--
B ．{3}-
C ．{2,1,0}--
D ．{1,0}- 2．已知复数()i i z =+31（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．阅读如图所示的程序框图,如果输出i 的值为5，那么在空白矩形框中应填入 A ．22S i =- B ．21S i =-
C ．2S i =
D ．24S i =+ 4．已知函数32
()log f x x x
=
-，下列区间中包含 ()f x 零点的是
A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
5．（理科）()()5
22x y x y +-的展开式中24
x y 的
系数为
A ．70-
B ．40-
C ．40
D ．90
6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体体积为
A ．1π6+
B ．1π3+
C ．π166+
D ．π163
+
7．将函数π()2sin(2)6
f x x =-的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是
A ．
π12 B ．π
6 C ．π4 D ．π3
8．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是点A 在边BC
上的射影，则2
AB BC BD =⋅．拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面
ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影
定理，得出正确的结论是
A ．()2
ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅ B ．()2
ABD BOD BOC S S S ∆∆∆=⋅ C ．()2
ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．()2
BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅
9．（理科）设120πx x <<<，若12ππ1
sin(2)sin(2)33
3
x x -=-=，则12cos()x x -=
A ．13-
B ．13
C ．D
10．“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深,芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上部分的概率为 A ．
1312 B ．131 C ．143 D ．13
2 11．已知点P 是ABC ∆所在平面内的一点，若|2|2AP BP CP --=，则
P A P B P A P C ⋅+⋅的最小值为
A ．
12 B ．1 C ．1
2
- D ．1- 12．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线
段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF =.若AFB ∆的垂心恰好在曲线C 的一条渐近线上，C 的离心率为e ，则下列判断正确的是 A ．存在唯一的e ，且3(,2)2
e ∈
B ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2
内 C ．存在唯一的e ，且3(1,)2
e ∈
D ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2
内
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．“1
2
a =
”是“直线(2)310a x ay +++=与直线(2)(2)30a x a y -++-=相互垂直”的____充分不必要_____条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 14．（理科）如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得
山顶的仰角分别为30α=，45β=，且该两点间的距离是米，则此山的竖
直高度h 为_____50
_____米.
15．已知点P 为曲线21:4
C y x =
上的一个动点，点Q 为圆22
:(6)(7)4M x y -++=上的一个动点，设动点P 到轴的距离为1d ，动点P 与动点Q 之间的距离为2d ，则
12d d +的最小值为________7_________．
16．已知实数x ，y 满足220
240330
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则222z x y =-的取值范围是 18[14,]17- ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（理科 12分）
已知数列{}n a 的前n
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足：2n n a
b n =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .
解析：（Ⅰ）当1n =时， 110a S ==，………………………………1分
当2n ≥
3分 5分
经验证1a 不满足上式．故0,1
,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩．………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1,1
2,2
n n
n n b n =⎧=⎨⋅≥⎩ 当1n =时， 111T b ==，……………………………………………………7分 当2n ≥时，23122322n n
T n =+⨯+⨯++⋅， ①……………………8分
3412222322n n T n +⋅=+⨯+⨯+
+⋅
②
由①-②得，
3412341722221222222n n n n n T n n ++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=+++++⋅⋅⋅+-⋅
1112212
n n n ++-=-⋅-()1121n n +=-⋅-．…………………………………11分 所以2n ≥时，1
(1)21n n T n +=-⋅+．经检验1n =时，上式成立．
综上可知，1
(1)21n n T n +=-+．…………………………………………12分
18．（理科 12分）
如图，ABEF 为等腰梯形，EF AB //，正方形ABCD 所在的平面和平面
ABEF 互相垂直，且2=AB ，1EF =，O 是AB 的中点，M 是CE 的中点.
（Ⅰ）求证：//OM 平面DAE ；
（Ⅱ）若等腰梯形ABEF OM 与平面DEF 所成角的正弦值. （Ⅰ）证明：取DE 的中点N ,连接MN 和AN …………2分
则MN //CD 且1
2
MN CD =
………………3分 又O 是AB 的中点，ABCD 是正方形 所以AO //CD 且1
2
AO CD =
………………4分 则MN //AO 且MN AO =
所以MNAO 是平行四边形，得出OM //AN …5分
AN ⊂平面DAE ，OM ⊄平面DAE
所以//OM 平面DAE ………………………6分 （Ⅱ）因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，交
线为AB
取CD 的中点G ,则 GO ⊥AB 所以GO ⊥平面ABEF …………7分 取EF 的中点H ,因为ABEF 是等腰梯形，所以OH AB ⊥…………8分 以OA 所在的直线为x 轴，以OH 所在的直线为y 轴，以OG 所在的直线为z 轴，
建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O
,3(42
M -
,1(2E -
,
1
(2
F ,(1,0,2)D ………………………………………………………9分
所以3(,
42
OM =-
,31(,2,2),(2)22DE DF =--=--
设平面DEF 的法向量为(,,
)x y z =n ，则3
200210202
x z n DE n DF x z ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=
⎪⎪⎩--=⎪⎩
则有0,1x y z === ，所以)=n ……………………………11分
所以sin 33
n OM n OM
θ⋅=
=
=
⋅ ……………………12分 19．（理科 12分）
在一次单元测验后，张老师对任教的A 班、B 班进行成绩分析，每个班各有学生60人，随机选取了A 班、B 班各20名学生，成绩如下：（满分100分）
A 班：6273819295857464537678869566977888827689
B 班：7383625191465373648293486581745654766579
（Ⅰ）根据两组数据完成两班成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两个班成绩的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）若A 班是按性别分层抽样选取的20名学生，其中男生12人，成绩分别为
627381929585746453767886
女生8人，
成绩分别为95669778888276
89， 请估计A 班成绩在80分以上的男生人数．
（Ш）在抽取的40名学生中，从成绩在90分以上的学生中任意抽取4人，做学习经
验介绍，记抽取的A 班人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：（1）
…………………………2分
通过茎叶图可以看出，A 班成绩平均值高于B 班；A 班学生成绩比较集中，B 班学生成绩比较分散．………………………………………………………………4分 （2）由题意可知A 班男同学有12603620⨯
=人，样本中80分以上的频率是5
12， 所以该班80分以上的男生人数是5
361512
⨯
=人．……………………………8分 （3）成绩在90分以上的A 班有4人，B 班有2人，所以随机变量X 的取值是2,3,4
2242466(2)15C C P X C ===，3142468(3)15C C P X C ===，444
61
(4)15
C P X C === 随机变量X 的分布列为
期望234515153
EX =⨯+⨯+⨯
= ……………………………12分 20．（理科 12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，点1F 为椭圆C 的左焦点，点1F 与椭圆C 上动
点距离的范围为[1,3]．直线l 过点1F ，且与椭圆C 和y 轴分别交于点,A B 和点P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若实数,λμ满足1F A PA λ=，1F B PB μ=，判断是否存在关于实数,λμ的恒等式？若存在，将μ表示成λ函数（不求定义域）；若不存在，说明理由． 解析：（Ⅰ）点1(,0)F c -到椭圆C 左顶点的距离最小，等于a c -， 点1(,0)F c -到椭圆C 右顶点的距离最大，等于a c +，
所以1,3a c a c -=+=； ……………………………………………………………2分
得2,1,a c b ==， ……………………………………………………………3分
故椭圆C 的方程为
22
143
x y +=． …………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 斜率不存在时，不满足题意． 设直线l 的方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ；
联立直线l 和椭圆C 的方程：22(1)143
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，
得：2
2
2
2
(43)8(412)0k x k x k +++-=，2122
843k x x k +=-+，2122412
43
k x x k -=+（1）． …………………………………………………………………7分
由1F A PA λ=，1
F B PB μ=，易得112211x x x x λμ+=⎧⎨+=⎩，即121111x x λμ⎧=⎪-⎪
⎨⎪=
-⎪⎩
（2）， 将（2）式代入（1），消元得
1
1
8
3
λ
μ+
=， ……………………………10分 μ关于λ函数关系式为383
λ
μλ=
-．…………………………………………12分
21．（理科 12分）
已知函数()()
x e ax x x f 22-=，其中0>a .
（Ⅰ）若函数()x f 在区间[]1,1-上为单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式()016≥+x f 恒成立，求a 的最大整数值.
解：（Ⅰ）法一：()()()[]
x x e a x a x e a ax x x x f 22222222--+=--+='………1分 其中0>x
e 恒成立，对于二次函数()()a x a x x h 2222--+=而言，易知二次函数开
口向上，且()011<-=-h ，所以只需要()01≤h 即可，解之可得4
3
≥a .………3分 法二：用求根公式1112≥++-=a a x 亦可解得.
（Ⅱ）因为函数()()
x e ax x x f 22-=在区间(]0,∞-上大于等于0恒成立，原不等式显然成立，所以只需研究不等式()016≥+x f 在区间()+∞,0上成立即可. 整理原不等式，得x xe
x a 16
2+
≤.……………………………4分 令()x g 16x x xe =+，()(
)
()
221616x x x xe
x e x e x g --='，令()x m x e x x
=--16162， 则()()
1622-+='x x e x m x ，易知()x m '单调递增，且()0160<-='m ，
()01631<-='e m ，()016822>-='e m ，
那么()x m '在区间()+∞,0上存在唯一零点0x ，………………………………6分
0x 满足()2,1,216
00
2
00∈+=
x x x e x ，()x m 在区间()0,0x 上单调递减，在区间()∞+，0x 上递增，那么()x m 在()+∞,0的最小值为()()
02-2--2
1602
000<+=
x x x x m ……8分
而()0160<-=m ，()0321<-=e m ，()048422
<-=e m ，()064932
>-=e m ，
可知，()x m 在区间()0,0x 上单调递减且()0<x m ，在区间()∞+，0x 上()x m 单调递增且存在唯一零点1x ，且()3,21∈x ，()2
1
11161x x e x
+=
，那么()x g 的最小值为()1
11
11++
=x x x x g .…………………………………………………………………10分 在区间()3,2上单调递增，其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛415,
38，()121x g 的值域为⎪⎭
⎫
⎝⎛815,34，
则整数a 的最大值为1……………………………………………………………………12分 另解：可分离参数：x
e ax x 16
22
>
-，再数形结合，答案不再详细赘述. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）[选修4−4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(5)9x y +-=
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩
(t 为参数，0απ≤<），直线l 与曲线C 交
于A ，B 两点，||AB =求l 的斜率和普通方程．
解：（Ⅰ）22(5)9x y +-=展开得：2210+160x y y +-= ……………1分 得210sin 160ρρθ-+=，所以C 的极坐标方程：210sin 160ρρθ-+=……3分
（Ⅱ）将cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数）代入到22(5)9x y +-=
得：28sin 70t t a -+= ……………………………4分 设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则128sin t t a +=，12
7t t ? ………5分
所以12|||t |AB t =-=
所以25sin 8a =，22tan 5tan 18
a a =+ 所以l
的斜率tan 3
k a ==? ……………………………8分 得l
3+30y -=
330y +-= ……………………10分
23．（10分）[选修4−5：不等式选讲]
已知函数()1(0)3f x x m m m
=-+≠. （Ⅰ）若不等式()()1f x f x t ≤++恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅱ）当13
m <时，函数()()1313g x f x x =+-+有零点，求实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由条件得()()1f x f x t -+≤恒成立，因为
()11()()33f x f x t x m x t m m m
-+=-+-+-+ ()()x m x t m x m x t m t =--+-≤--+-=，……………………………2分 所以1t ≤，即t 的最大值为1. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）()()1113131333
g x f x x x m x m =+-+=-+-++ 即()144,331412,3331214,333x m x m m g x x m m x m x m x m ⎧-+++<⎪⎪⎪=-+-+≤<⎨⎪⎪+--≥⎪⎩
，………………………………6分 所以()g x 在1(,]3-∞上减函数，在1[,)3
+∞上是增函数
所以()min
111221 ()4
333333
g x g m m
m m
==⨯+--=+-
由题意得21
33
m
m
+-≤，解得
1
3
m
-≤<，或1
m≥……………9分
又
1
3
m<，所以m的取值范围是
1
{|0}
3
m m
-≤<．……………10分。