2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第1章 类比方法分类解析

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第1章 类比方法分类解析
类比思维是高中数学学习的重要发现式思维，它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性，从而大胆猜想得到结论，类比题型还可培养创新精神和创造力，它象一朵耀眼的奇葩，频频出现在高考中，现举几例供大家欣赏。

一、不等式中的类比
例1先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：已知求证
证明：构造函数
22212222121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=
因为对一切x 恒有，所以，从而
（1）若,1,,,,21321=+++∈n n a a a R a a a a 试写出上述结论的推广式：
（2）参考上述证法，对你推广的结论加以证明。

解：（1）若,1,,,,21321=+++∈n n a a a R a a a a 求证：
（2）证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=
＝2
2221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-
＝
因为对一切x 恒有，所以，从而证得
点评：本题命制巧妙，先通过对已知结论类比得到结论的推广，再通过观察已知结论的证明方法来对推广的结论的证明，本题即有结论的推广类比还包含证明方法的类比，但是由于类比结论产生错误，使得下面的证明也
产生错误。

二、平面几何与空间几何的类比
例2、如下图，点P 为斜三棱柱ABC －的侧棱上一点，PM 交
于
点M ，PN 交于点N.
（1） 求证：MN ；
（2） 在任意▲DEF 中有余弦定理.cos 2222DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=
扩展到空间，类比三角形和余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明。

（1） 证明：因为//，所以PM ，PN ，所以平面PMN ，所以MN.
（2）解：在斜三棱柱ABC －中有
.cos 21111112112112x S S S S S A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB ⋅-+=其中x 为平面与平面所组成的二面角. 因为平面PMN ，所以，上述的二面角为
在▲PMN 中，.cos 2222MNP MN PN MN PN PM ∠⋅-+=
所以MNP CC MN CC PN CC MN ∠⋅⋅⋅-⋅cos )()(2112
12
因为，
所以.cos 21111112112112x S S S S S A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB ⋅-+=
点评：本题首先通过平面中的余弦定理进行类比，得出空间中的余弦定理再通过证明验证结论的正确性。

三、圆锥曲线之间的类比
例3、设分别为椭圆c ：的左、右两个焦点。

已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆c 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点P 位置无关的定值，试写出双曲线具有类似特性的性质并加以证明。

解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点P 位置无关的定值。

设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中. 又设点P 的坐标为（x ，y ），由得
将，代入
得
点评：类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给以足够的重视。

四、数列之间的类比
例4、电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是__________.
解：通过阅读，不难发现：
，，，
，，进而知写成二进制为：111.
于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是111111化成十进制为：
点评：通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解。