20-21版：§5.4 统计与概率的应用（步步高）

§5.4统计与概率的应用
学习目标 1.能用随机模拟的方法进行估计.2.了解游戏的公平性和遗传性问题中的概率.3.能借助概率对实际问题进行决策．
知识点概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0,1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．
1．事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．(×)
2．某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．(×)
3．平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．(√)
一、统计在实际问题中的应用
例1某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0,0.1)[0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数1324926 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0,0.1)[0.1，0.2) [0.2，0.3)[0.3，0.4) [0.4，0.5)[0.5，0.6)
频数15131016 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
解(1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x1＝1
50×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为
x2＝1
50×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
反思感悟频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键．
跟踪训练1某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：
(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；
(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．在此次活动中公司收入多少万元的
可能性最大？
解 (1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)． (2)抽取比为5100＝1
20
，
从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×1
20＝2(人)，设这两位员工分别
为1,2；从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×1
20＝3人，设这三位员
工分别为A ，B ，C .
从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1,2)，(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )．
两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为3
10
；
其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入为2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为
610＝35
； 两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：(1,2)，概率为1
10.
∵110<310<3
5，∴公司收入2万元的可能性最大． 二、概率在整体估计中的应用
例2 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1 200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．
解 设保护区内这种野生动物有x 只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A ＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P (A )＝1 200x .第二
次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A 发生的频数m ＝100，由概率的统计定义可知P (A )≈1001 000＝110，故1 200x ≈1
10，解得x ≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物．
(学生留)反思感悟 利用频率与概率的关系求未知量的步骤 (1)抽出m 个样本进行标记，设总体为未知量n ，则标记概率为m
n .
(2)随机抽取n 1个个体，出现其中m 1个被标记，则标记频率为m 1
n 1
.
(3)用频率近似等于概率，建立等式m n ≈m 1
n 1.
(4)求得n ≈m ·n 1
m 1
.
跟踪训练2 若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋大约能孵化出多少只小鸡？
解 假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A ＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P (A )＝45.①
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m 只， 则P (A )≈m
20 000
，②
由①②得m 20 000≈4
5
，解得m ≈16 000.
所以20 000个鸡蛋大约能孵化出16 000只小鸡． 三、概率在决策中的应用
例3 A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计概率，可得所求概率为44
100
＝0.44.
(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
(3)记事件A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站； 记事件B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)>P (A 2)， ∴甲应选择L 1；
P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P (B 2)>P (B 1)， ∴乙应选择L 2.
反思感悟 概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策．
跟踪训练3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：
男 女 总计 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法
20 16 36 总计
50
50
100
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ 解 用A 表示事件“对这次调整表示反对”，B 表示“对这次调整不发表看法”， 由互斥事件的概率加法公式，
得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37100＋36100＝73
100
＝0.73，
因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
1．从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( ) A ．36% B ．72% C ．90% D ．25% 答案 C
解析 用样本的合格率近似代替总体的合格率为36
40
×100%＝90%.
2．从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.35
答案 B
解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，
其中甲被选中包含3个样本点， 故甲被选中的概率为1
2
.
3．为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所有人都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数为( ) A ．600 B ．200 C ．400 D ．300 答案 A
解析 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于1
3，所以应有
1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知，在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．
4．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( ) A.12 B.13 C.23 D.34 答案 A
解析 因为各路电车先停靠的概率都等于14，
所以乘客等候的电车首先停靠的概率为14＋14＝1
2
.
5．鱼池中共有N 条鱼，从中捕出n 条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M 条，其中有记号的有m 条，则估计鱼池中共有鱼N ＝________条． 答案
nM m
解析 由题意得n N ≈m M ，∴N ≈nM
m
.
1．知识清单：
(1)概率在决策问题中的作用． (2)概率在游戏公平中的作用．
(3)概率在科学试验和日常生活中的应用． 2．方法归纳：数学建模．
3．易错误区：不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误．。