高三文科数学选做题练习

选做题-极坐标与参数方程1
1.在直角坐标系xOy 中，直线2:1-=x C ，圆1)2()1(:222=-+-y x C ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求1C ,2C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=
(R ∈ρ)，设2C ,3C 的交点为M,N ，求MN C 2∆的
面积.
2.在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==
（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
3.已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t
y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.
4.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为θρcos 2=，θ∈[0，2
π]. （I ）求C 的参数方程；
（II ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y=3x+2垂直，根据（I ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
5.已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=t
y t x sin 55cos 54(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.
(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；
(2)求1C 与2C 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
6.已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩
⎨⎧==t y t x sin 2cos 2(t 为参数）上，对应参数分别为σ=t 与σ2=t (0＜σ＜2π)，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为σ的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
7. 已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，
点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。

8.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x （α为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r
，点P 的轨迹为曲线2C ．
（I ）求2C 的方程； （II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3π
θ=与1C 的异于极点的交点为A ，
与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．
选做题-不等式选讲2
1.设函数()214f x x x =+--．
(I)解不等式()2f x >；
(II)求函数()y f x =的最小值．
2.已知函数()84f x x x =---．
(I)作出函数()y f x =的图像；
(II)解不等式842x x --->．
3.设函数f(x)=241x -+
(I)画出函数y=f(x)的图像；
(II)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.
4.设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.
(I)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集；
(II)若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤- ,求a 的值.
5.已知函数()f x =|||2|x a x ++-.
(I)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集；
(II)若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.
6.设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1.证明:
(1)ab ＋bc ＋ca ≤13
； (2)222
a b c b c a
++≥1. 7.已知函数()|21||2|f x x x a =-++()3g x x =+
(I)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集；
(II)设1a >-,且当1[,)22
a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.
8.设函数f (x )＝a x 1+＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明:f (x )≥2；
(2)若f (3)＜5,求a 的取值范围．
选做题-几何证明3
1.AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

2.如图，F 为ABCD Y 边上一点，连DF 交AC 于G ，延长DF 交CB 的延长线于E 。

求证：DG ·DE=DF ·EG
3.如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝
4.
(1)求线段PF 的长度；
(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．
4.如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接
圆于点E
（I ）证明：ABE ∆ADC ∆
小。

（II ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=
21，求BAC ∠的大证明： 点，过点A 5.如图所示，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两
割线，分作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的
P 。

别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点
（1）求证：AD ∥EC ；
（2）若AD 是⊙2O 的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长。

6.如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点。

（1）证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；
（2）求∠OAM+∠APM 的大小。