2.1映射 表示方法 分段

高中数学必修一
第二章 函数 2.1映射 解析式 分段函数
【知识梳理】 1.映射
（1）定义：设A,B 是两个两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的.这时称y 是x 在映射f 作用下的，记作()x f .于是
()x f y =，
x 称作y 的.映射f 也可记为：
B A f →:, ()x f x →
其中A 叫做映射f 的，由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的，通常
记作()A f .
（2）对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
①集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； ②集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； ③不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

（3）一一映射：如果映射f 是集合A 到B 的映射，并且对于集B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们就说这两个集合的元素之间存在，并且这个映射叫做从A 到B 的.
2.函数的三要素--定义域、值域、对应法则(解析式)
因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需要两个要素： .
3.函数的表示方法：、、 .
4.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 5.图像的变换
口诀：（注：对x 本身而言左右平移）
【经典例题】
1.下列各组函数是同一函数的是（ ）
①()f x =()g x =；②()f x x =与2
()g x =
；③0()f x x =与
01()g x x
=
；④2()21f x x x =--与2
()21g t t t =--。

A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④
2.若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ）
（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中
有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。

A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
3.若映射B A f →:把集合A 中的元素(x,y )映射到B 中为),(y x y x +-,
则(2, 6)的象是______,则(2, 6)的原象是________.
4. 已知⎩
⎨⎧≥<=0,20
,)(2x x x x f ，则_____)0(=f _____)]1([=-f f .
5.设2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x = .
6.若2()()1f x f x x --=+，则()f x =。

推广：()()x f x x f x f 求,5213+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
7、已知二次函数()f x ，若2(21)465f x x x +=-+，求()f x .
8、由给定的条件求下列解析式 （1）已知()2
x x f =，求()12+x f
（2）已知(
)
x x x f
21+=-，求()x f .
9、为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（）
A ．沿x 轴向右平移1个单位
B ．沿x 轴向右平移
1
2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1
2
个单位
10
≤y≤2},如下图,能表示从集合A到集合B的映射是
11.函数x
x
x
y+
=的图象是（）
【课堂练习】
1、已知函数2
(1)4
f x x x
-=
-，求函数()
f x，(21)
f x+的解析式
2、已知函数()
f x满足2()
()34
f x f x x
+-=+，则()
f x=。

3、已知()
f x是一次函数，且满足()
3(1)1217
f x f x x
+--=+，求(
)
f x.
4、已知,a b为常数，若22
()43,()1024,
f x x x f
ax b x x
=+++=++则求b
a-
5的值。

5、已知定义在区间上的函数
的图象如图所示，
则的图象为（）
[0,2]
()
y f x
=
(2)
y f x
=--
A B C D
6、下列是映射的是（ ）
(A)1
、2、
3
(B)1
、2、5
(C)1
、3、5 (D)1、2、3、5
7、已知
⎩⎨
⎧≥<=
,2
,)(2x x x x f ，则_____)0(=f _____)]1([=-f f .
【课后作业】
1.设f ，g 都是集合A 到A 的映射，其中{}3,2,1=A ,其对应法则如下表：
则()()3g f 的值为
2.若()()012≠=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x x f x f ，则()x f =
3.对于任意的x ，y ，都有()()y x y xy x y f y x f 33222
2
-+-+=-+，求函数()x f 的解析
式.
4、函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）
A B C D
5.设ƒ:A →B 是从A 到B 的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y ∈R},ƒ:(x,y)→(x+y,xy).则A 中元素(1,-2)的像是,B 中元素(1,-2)的原像是.
6.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A 、（1）（2）（4）
B 、（4）（2）（3）
C 、（4）（1）（3）
D 、（4）（1）（2）
（1）
（2）
（3）
（4）。