【数学】湖北省宜昌市高三元月调研考试试题(文)(解析版)

湖北省宜昌市高三元月调研考试数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，
，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B 由可知：
， 由得：
故选：D 2.命题：“，
”，则为（ ）
A. ，
B. ，
C.
，
D.
，
【答案】C
【解析】由全称命题的否定直接判断。

命题：“，
”， 则为：，
故选：C 3.等比数列
的前项和为，若
，则公比
（ ）
A. 1
B. -1
C.
D. -2
【答案】C
【解析】利用等比数列的通项公式及的记法即可得出．
且
为等比数列
，又
故选：C 4.已知直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】由
得：
，
tan α=3，又=
故选：D 。

5.已知
，
，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解． ，即：
又
，
向量与向量的夹角的余弦为，
向量与向量的夹角为： 故选：B 6.已知的内角，，所对三边分别为，，，则“
”是“
为钝角”的（ ）
条件.
A. 充分不必要
B. 充要
C. 必要不充分
D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】
，
又
为钝角，
但为钝角
“
”是“
为钝角”的必要不充分条件.
7.我国古代《九章算术》将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。

如图是一个鳖臑的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖臑的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．
由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥；扩展为长方体，使其外接于球，它的对角线的长为球的直径： 长方体对角线的长为：
该三棱锥的外接球的表面积为：。

故选：B 8.已知函数
的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数的函数值及0处附近函数值的正负分别进行判断，一一排除即可． 由图可知，故排除B,D 由图可知：当且
时，
，故排除C 。

故选：A 9.若幂函数的图象过点
，且
，
，
，则，，的大小关系
是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由幂函数的图象过点（2，4）求出m 的值，再求出的范围即可．
幂函数的图象过点
，
，解得：
，
，
故选：B 10.过点
且倾斜角为的直线与椭圆
相交于，两点，若
，
则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出，结合P 是线段AB 的中点，即
可求出椭圆C 的离心率． 设
，
，P 是线段AB 的中点，则，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即：
联立直线与椭圆方程得：
，整理得：
，，代入得： ,椭圆的离
心率为:.
故选：C 11.已知两点
，
以及圆：，若圆上存在点，满足
，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可知：以AB 为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心
距与半径的关系，列出不等式得出的范围． 【详解】
，
点在以
，
两点为直径的圆上，
该圆方程为：，又点在圆上，
两圆有公共点。

两圆的圆心距
解得：
故选：D
12.已知是定义域为的函数的导函数，若对任意实数都有，且有，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论.不等式可化为：
令，
，又
恒成立，故在R上单调递增。

又，
等价于，
由在R上单调递增可得：，
所以不等式的解集为：
故选：A
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知等差数列的前项和为，且，则__________．
【答案】2019
【解析】由求出，再利用等差数列的前项和公式求解
设等差数列的首项为，公差为， 由得:
14.若，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】6
【解析】作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用直线平移法进行求解即可． 作出不等式组对应的平面区域如图：
由z ＝﹣x +y ，得y ＝x +z 表示，斜率为1纵截距为Z 的一组平行直线， 平移直线y ＝x +z ，当直线y ＝x +z 经过点A 时，直线y ＝x +z 的截距最大，此时z 最大，
此时﹣x +y ＝6，即此时z ＝6， 故答案为：6． 15.已知正实数，满足，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】由
变形为
，利用1的用法整理展开后，利用基本不等式即可求解．正实数，满足
，两边同除以
得：
=
当且仅当，
时，等号成立。

的最小值为。

16.已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值集合
为__________． 【答案】
【解析】令，函数有且仅有两个零点转化成与有且仅有两个不同的实数解，对与方程的根观察即可得解。

由题可得：=
令，则函数可化为：
令，解得：或，即或
因为函数有且仅有两个零点，
所以与共有两个不同的实数解，
可化为：，即的根为或
又显然有两个不同的实数解，
要使得与共有两个不同的实数解，则两方程的根必须相同。

即：时，才可以使得的两根与的两个根相同。

实数的取值集合为：。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）当时，
，
当时，适合上式.
∴.
（2）∵，
∴，令，
∴当时，，
当时，
，
∵也适合上式， ∴
.
18.已知函数.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若
，
，
，
求
的面积.
解：（1）
，即函数最小正周期为
由
得， 故所求单调递增区间为.
（2）由，得， ∴或， ∴或
，∵
，∴
，
又∵，
∴，即
，
①当时，即，则由
，
，可得，
②当时，则
，即， 则由
，解得
，
，
∴.
综上：
19.如图，在等腰直角中，沿斜边上的高将折起到的位置，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若为的中点，，三棱锥的表面积为，求三棱锥的体积.
（1）证明：∵，∴，，
又有，平面，
∴面，
又∵面，
∴.
（2）解：设，∴，.
又由题可知为正三角形，∴
，，
∵等腰三角形底边上的高为，
∴，
∴.
∴，.
∴.
20.已知椭圆：的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵，，且有，
解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，，
联立
∴
∵，∴为线段的中点，
∴……④
将④代入②解得……⑤
将④代入③得……⑥
将⑤代入⑥解得……⑦
将⑦式代入①式检验成立，
∴，即存在直线：或合题意.
21.已知函数.
（1）求函数的图像在处的切线方程与的单调区间；
（2）设是函数的导函数，试比较与的大小.
解：（1）∵，∴，
∴，，所以所求切线方程为，
即.
令，解得，，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）∵，
∴与的大小关系等价于与的大小关系，
令，则，
∵在上单调递减，且有，，
∴，使，即有，
即当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，
又由，可得，，
，
∵，∴，即，
∴，即.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.
解：（1）由消去参数得，
即曲线的普通方程为，
又由得
即为，即曲线的平面直角坐标方程为
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．
∵，则，直线的倾斜角为，
即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，
所以三个点的极坐标为，，.
23.选修4-5：不等式选讲：设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
解：（1）可转化为
或或，
解得或或无解.
所以不等式的解集为.
（2）依题意，问题等价于关于的不等式有解，
即，
又，当时取等号.
所以，解得，所以实数a的取值范围是.。