高二选修复数单元测试卷及其答案

复数单元测试题
一、选择题。

（每小题5分，共60分） 把本题正确答案填入下列框中。

1．若i
为虚数单位，则=+i i )1(（ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +-1
D ．i --1
2．0=a 是复数(,)a bi
a b R +∈为纯虚数的（ ）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
3．在复平面内，复数i
i +-12对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．下列命题中，假命题是( )
（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小 （ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ）
A ．0ad bc -=
B ．0ac bd -=
C ．0ac bd +=
D ．0ad bc +=
6．如果复数i
bi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）
A ．3
2-
B ．3
2
C ．2
D ．2
7．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）
A ．22
± B ．22- C ．i 22± D ．i 22-
8．已知z+5-6i=3+4i ，则复数z 为（ ） A.-4+20i
B.-2+10i
C. -8+20i
D. -2+20i
A ．0
B ．1
C ．i
D ．i - 10．复数8)11(i
+的值是
（ ）
A ． i 16
B ．
i 4
C ．16
D ． 4
11．对于两个复数i 232
1+-=α，i 2
321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=β
α；③
1=β
α；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ．4
12．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）
A ．22
B ．122+
C ．122-
D ．
2
二、填空题。

（每小题5分，共20分） 13．已知
ni i
m
-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m 14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 15．若2z =且1-=
+z i z ，则复数z =
16．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①012>+a ；②
2222)(b ab a b a ++=+；③若b
a =，则
b a ±=；④若ab a =2，则b a =。

那么，
对于非零复数
b
a ,，仍然成立的命题的所有序号
是 。

三、解答题。

17．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根
18．已知平行四边形OABC 的三个顶点O,A,C 对应的复数分别是0,4+2i ，-2+4i ，求点B 对应的复数。

19．把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z 及
z
z 。

20．求虚数z ，使
R z
z ∈+9，且33=-z .
21．已知复数z满足2
z，2z的虚部为2 。

|
|=
（1）求z；
（2）设z，2z，2z
z-在复平面对应的点分别为A，B，C，求ABC
∆的面积.
22．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时
（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限
试卷答案：
1、解：i i i i i i +-=-=+=+11)1(2。

答案：C
2、解：若0=a ，当0=b 时，bi a +不是纯虚数，反之当bi a +是纯虚数时，0=a ，所以0=a 是),(R b a bi a ∈+的必要不充分条件。

答案：B
3、解：2
31)
1)(1()1)(2(12i i i i i i
i -=-+--=+-。

所以i
i +-12对应的点在第四象限。

答案：D 4、A
5、解：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++，))((di c bi a ++为实数等价于0ad bc +=。

答案：D
6、解：5
)4()22()
21)(21()21)(2(212i b b i i i bi i
bi +--=-+--=+-，由05)4()22(=+--b b 解得3
2-=b 。

答案：A
7、解：由022=+z 得i z 2±=，=3z i 22±。

答案：C
8、解：i i i OB OA BA 55)23()32(-=+---=-=。

答案：A
9、解：=++++++3424144n n n n i i i i 0113210=+-+=+++i i i i i i 。

答案：A
10、解：[]16)2()1()1()11(44288=-=-=-=+i i i i。

答案：C
11、解：14
34
1=+=αβ；=β
αi 232
1-
-；12
3
21=--=βαi ；21133=+=β+α，所以①③正确。

答案：B
12、解：如图所示，1||=z 表示z 点的轨迹是单位圆，而|22|i z --表示的是复平面上表示复数z 的点M 与表示复数i 22+的点A 之间距离。

当M 位于线段AO 与单位圆交点时，AM 最小，为122-。

答案：C 13、解：由ni i
m
-=+11得：i n n m )1()1(-++=，
解得2,1==m n ，所以i ni m -=+2。

答案：i -2
14、解：方程|1|||z z i +=-表示的是复平面上的点z 到点1-和i 的距离相
等的点的轨迹，是一条线段的中垂线。

所以表示的图形是直线。

答案：直线
15、解：设),(Z b a bi a z ∈+=，则⎪⎩⎪⎨
⎧+-=++=+222222)1()1(2
b a b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨
⎧-==2
2
b a 或
⎪⎩⎪⎨
⎧=-=2
2
b a 。

答案：)1(2i z -=或)1(2i z --=
16、解：实数的运算率对于复数系仍然成立，所以②④正确；对于①可举反例：i a =排除；对于③可举反例1,==b i a 排除。

17、解：设方程的实根为a ，则02)2(2=++++mi a i m a ，整理得：
0)2()2(2
=++++i m a am a ，即：⎩⎨⎧=+=++02022m a am a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==2
22
m a 或⎪⎩⎪⎨
⎧=-=222m a 。

所以m 的值为22或22-。

18、解：由z 1 = z 2得
⎩⎨⎧+=-=θ
λθsin 34cos 22
m m ，消去
m
可得：
169
)8
3
(sin 4sin 3sin 422-
-=-=θθθλ，由于1sin 1≤≤-θ，故716
9≤≤-λ. 19、解：设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，由已知得i bi a i 34))(21(+=-+，化简得：i i b a b a 34)2()2(+=-++，所以32,42=-=+b a b a ，解得1,2==b a ，所以
i z +=2，
i i i z
z 5
4
5322+=-+=。

20、解：设)0,(≠∈+=b Z b a bi a z 且，则：
i b
a b b b a a a bi a bi a z z )9()9(992222+-+++=+++=+
，由R z z ∈+9得092
2=+-
b
a b
b ，又
0≠b ，故922=+b a ①；又由33=-z 得：3)3(2
2=+-b a ②，由①②得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
±==23323b a ，
即i z 2
33
2
3+=或i z 2
3
323-=。

21、解：（1）设),(R y x yi x z ∈+=，由题意得xyi y x z 2)(222+-=，所以
⎪⎩⎪⎨⎧==+1
2
22xy y x ，解得：11x y =⎧⎨
=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故i z +=1或i z --=1。

（2）当
i
z +=1时，
i
z z i z -=-=1,222，
)
1,1(),2,0(),1,1(-C B A ，故
1212
1
=⨯⨯=
∆ABC S ；当i z --=1时，i z z i z 31,222--=-=，)3,1(),2,0(),1,1(----C B A ，故1212
1=⨯⨯=∆ABC S 。

22、 解：
是实数时，或－。

即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩
⎪⎨⎧=++>--。

是纯虚数时，。

即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩
⎪⎨⎧≠++--。

时，－或。

即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩
⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象
限。