不确定度原理和应用

不确定度原理和应用
一、 概述
不确定度：是测量结果质量一种评作方法。

不确定度代替误差来表示测量结果的质量。

不确定度表示测量结果的分散性，不能用来修正测量结果。

误差：测量值与真值之差，可用来修正测量结果。

不确定度得到世界上广泛公认，误差派别很多，表述不统一。

《测量不确定度表述指南》ISO1993年发表
JJG1027-91《测量数据的技术规范》中对不确定度表述作了规定。

二、 基本概念
标准不确定度 不确定度
扩展不确定度（总不确定度）
不确定度：合理表征被测量值分散程度的一个参数。

标准不确定度：用标准偏差表示的测量结果的不确定度。

A 类标准不确定度：求标准偏差获得的不确定度。

B 类标准不确定度：用非统计方法获得的标准偏差。

合成标准不确定度：当被测量是由其它量求得时，根据其它测量结果的标准不确定度而间接求得的被测量结果的标准不确定度（各项分量标准不确定度的平方之和的正平方根，方和根）
扩展不确定度：确定测量结果可疑区间或范围的量，而合理赋予被测量的那些值可望以某一可能性（即置信水平）落入该区间或范围中。

（包含因子X合成不确定度）
包含因子（覆盖、范围、置信）：为获得扩展不确定度，作为合成标准不确定度乘数的数字因子（在统计学中称为置信因子）覆盖因子=扩展不确定度/合成标准不确定度
符号：A类标准不确度u i包合因子k
B类标准不确度u j展伸不确度U
合成标准不确度u c U=k•u c
三、 不确定度的评定
A 类u i1，u i2
B 类u j1，u j2 u c = u i12+u i22+ u j12+U j22+ U=k •u c
只有展伸不确定度才有置信概率（置信区间），其余不确定度都是点（标准偏差）
例如一个测量结果M=5000 U=1.7则测量结果为[5000-1.7，5000+1.7]，检验结果成正态分布计算展伸不确定度时，置信概率取99%（k=2.58），则测量结果99%落在[5000-1.7，5000+1.7]。

∑=10
1
101i ti 四、 评定流程
1、建立数学模型
被测量Y 常取决于它的N 个测量值x 1，x 2……x N Y=f （x 1，x 2……x N ） [例题]：
测量问题：用带热电偶的数字温度计，测量某一容器内的温度。

数学模型：被测温度
对该温度测量10次得t 1……t 10如下：
测量顺序（i ）：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t i （℃） ：400.1 400.0 400.1 399.9 399.9 400.0 400.1 400.2 400.0 399.9
2、根据数学模型确定不确定来源
测量结果y 的不确定度取决于x i 的不确定度u （x i ）
x i 是y 的不确定来源，寻找不确定度来源时，可从测量器具，环境，人员，方法等方面全面考虑。

如上面被测量温度T ，它取决于数字温度计显示的温度D ，热电偶修正C ： T=D+C
D 的最佳值t =
=1/10（400.1+400.0+ +399.9）
=400.02℃
n 已知热电偶修正C=0.48℃可得到温度的最佳值即测量结果： t = t +C=400.02+0.48=400.50℃
t 由测量人员按数字温度计显示的温度t i 得到，故它又取决于测量人员重复性引起的不确定度及数字温度计引起的不确定度。

C 由热电偶得到，它取决于热电偶引起的不确定度。

故以标准不确定度表示时，由测量人员重复性引起的标准不确定度u 1’数字温度计引起的标准不确定度u 2，热电偶引起的不确定度u 3,三者合成的所得合成标准不确定度，即为测量结果t 的不确定度。

x i
3. A 类不确定度评定
a 贝塞方法（最主要方法）
S （x i.k ）=
u i =S （x i k ）/
b 最大误差法
S （x i.k ）=C ni max|x ik -x i | c 极差法
d 最小二乘法
A 类评定的自由度：对贝塞尔法评定的自由度为n i -1
∑--k
i ik i x x n 2)(1
1)_(1
..)(min max .k i k k i k
ni x x x d S k i =
∑--)
()110(101
t t i
33
上述温度的测量的最佳值：t = =
（400.1+ 399.9） =400.02℃
t 由重复测量引起的标准不确定度为A 类评定标准不确定度 u （ tA ）= =0.03℃
3、B 类不定度评定
a 已知展伸不确定度U （xi ）和置信因子k i , 则u （xi ）=U （xi ）/k i u （xi ）应是合成标准不确定度，代表B 类标准不确定度。

b 已知变化半宽a ，根据分布取覆盖因子k ，U （xj ）=a/k 如长度测量l=1m ，l 在一定范围内变化l=[l-a ，l+a ]=[0.99，1.01] 长度0.99~1.01是均匀分布，，置信因子k= 半宽a=0.01m ， u （xj ）=0.01/
∑i t 101
101
36
22
11
β
+下底
上底=β()2
)()(21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡xj xj u u σt )
(B t u )(B t U
分布 置信因子
正态（2~3）P 0.6827 0.95 0.9545 0.99 0.9973 1 1.96 2 2.58 3 均匀 三 角
反正弦 两点 1 梯 形：
B 类评定的自由度
V j =
其中σ(u (xj))/u (xj)为u (xj)的相对标准差
例题中还含有由数字温度计引起的不确定度，此标准不确定度为B 类评定的标准不确定度
数字温度计说明书说明，其展伸不确定 =0.6℃
数字温度计使 由 -0.6℃至 0.6
℃区间都能重现，且出现机会在区间各处一样，在区间外不可能出现，故是均匀分布，k=
t t +t 3C
U u B t B t 0
)
()(35.03
==
t t t t 热电偶修正引起的不确定度为B 类标准不确定度u （c ）。

热电偶标准证书报告给出，其展伸不确定度u （c ）=2.0℃（置信概率99%） 对应的置信因子 k （c ）=2.58,于是 u （cB ）=U (c)/k (c)
=2.0℃/2.58 =0.78℃
5求传播系数
计算合成不确定度时，要计算各个分量x i 的不确定度传播系数（∂f/∂x i ）测量结果y=f （x 1,x 2……x N ）
它的不确定度传播系数为∂f/∂x i 为x i 变化一个单位量时，引起y 的变化量。

如某长度y 由标准尺（尺长x ）4倍而得即 y=4x
x 变化/1μm,将使y 变化4×1μm=4μm ，此时不确定度传播系数为∂y/∂x=4μm/μm=4 例题中t= +c
因 变化1℃，引起t 变化1℃，故∂t/∂ =1 同样C 变化1℃,引起t 变化1℃，故∂t/∂c=1
6求分量不确定度
中由重复测量引起的A 类评定标准不确定度 ℃
03.0)(=A t u
)(B t u t t
∂∂t
t
∂∂)(A t u 由数字温度计引起的B 类评定标准不确定度 =0.35℃ 故分量标准不确定度
u 1=| | =1⨯0.03=0.03℃ u 2=| | =1⨯0.35=0.35℃ 热电偶修正引起的B 类评定标准不确定度u （c ）=0.78℃ 故分量不确定度U 3=| |u （c ）=1⨯0.78=0.78℃
7、合成标准不确定度
合成方式有三种
各标准不确定度u i 不相关 r=0 完全正相关 （r=1） 一般相关
合成不确定度自由度计算用“萨特思韦方式” νc =u c 4
/ 例题中各u i 无关，故合成不确定度 u c =u c （t ）=
=0.86℃
8展伸不确定度U
)(B t u ∑==
n
i i
u u c
1
2
∑==n
i i
c u u 1
∑
i
i
u ν4
2
222
3
222178.035.003.0++=++u u u c f
∂∂∑+=
协方差项
2
i
c u
u
a无自由度时（指无法获得），根据分布取k，U=k×u c
b给出自由度时：
①根据u c及νi，求出合成不确定度的自由度νc（萨特思韦公式）
②根据求出的νc及取定的置信概率，查t分布表，得t临界值（即为k值）
③最后由U=k×u c
例题中
无法获得合成标准不确定νC(因ν2,ν3无),根据正态分布取置信概率P=0.9545时置信因子k=2，得展伸不确定度
U=k•u c
=2×0.86℃
=1.7 ℃
9、不确定度报告
展伸不确定度的报告形式：
（1）有自由度ν时
测量结果的展伸不确定度 U=…
（U由合成标准不确定度u C=…，及基于自由度 =…,置信水准P=…的t分布临界值所得包含因子k=…而得）。

（2）无自由度ν时：
测量结果的展伸不确定度U=
（U由合成标准不确定度u c=…及包含因子k=…而得）。

（3）最后结论的展伸不确定度（或其相对形式）有效数字一般为两位（中间计算的不确定度，可以多取一位。

）
对最后结论的测量结果，其末位与展伸不确定度末位的数量级相同。

如第一节温度测量，合成标准不确定度
u c=0.86℃
它无自由度 ，取包含因子k=2，展伸不确定度
U= k•u c=2×0.86℃=1.72℃
取两位有效数字，最后结论的展伸不确定度
U=1.7℃
测量结果t=t+c=400.02℃+0.48℃=400.50℃
末位取至小数点后一位，最后结论的测量结果 t=400.5℃
展伸不确定度的报告形式为：
测量结果的展伸不确定度U=1.7℃（U为合成标准不确定度u c=0.86℃及包含因子k=2而得）。