2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)

2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测数学
（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}{}
14,23A x N x B x x =∈-≤≤=-≤≤，则A B =I （ ） A ．[]1,3- B ．[]2,4-
C ．{}0,1,2,3
D ．{}1,2,3
【答案】C
【解析】先化简集合A ，再求A B I 得解. 【详解】
因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}0,1,2,3A B =I . 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．若1
12z i
=+，则下列复数的虚部为-2的是（ ） A ．5z - B ．5z C ．z -
D ．z
【答案】B
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，验证选项中复数的虚部得答案． 【详解】 ∵1121212(12)(12)5
i i
z i i i --=
==++-，∴512z i =-，满足题意， 故选：B . 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．
的是（ ）
A ．甲景区月客流量的中位数为12950人
B ．乙景区月客流量的中位数为12450人
C ．甲景区月客流量的极差为3200人
D ．乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D
【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】
根据茎叶图的数据：
甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 故选：D 【点睛】
本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.
4．若x ，y 满足约束条件0
4
x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且2z x y =+，则（ ）
A ．z 的最大值为6
B ．z 的最大值为8
C ．z 的最小值为6
D ．
z 的最小值为8 【答案】C
【解析】作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在. 【详解】
作出约束条件表示的可行域如下图，
因为04x y x y -=⎧⎨
+=⎩，所以2
2
x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2A ，
由图可知，当直线2z x y =+经过点()2,2A 时， 此时直线的截距最小，z 取得最小值6，z 无最大值.
【点睛】
本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.
5．已知两个单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为60o
，向量1252m e e =-u r u r u u r
，则m =u r （ ）
A ．
B
C ．
D ．7
【答案】A
【解析】利用向量数量积的运算律计算出()
2
21252m e e =-u r u r u u r 的值，即可计算出m u r 的值.
【详解】
()
2
222
2212
122122
52252042520cos 604m e e e e e e e e e e =-=-⋅+=-⋅+o
u r u r u u r r u r u u r u u r r u r u u r u u r Q
2
2
1251201141192
=⨯-⨯⨯⨯+⨯=，因此，m =u r 故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量模的计算，同时也考查了向量数量积的运算律，在计算平面向量模时，一般将模平方，利用平面向量数量积的运算律来计算，考查计算能力，属于基础题. 6．已知α，β是两个不同的平面，m ，l ，是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，
l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】
若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选：C 【点睛】
本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.
7．某单位高峰期过后，员工可以从周二到周日任意选两天休息，则员工甲选的两天不相邻的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．
35
D ．
23
【解析】用列举法将所有情况列出，从中找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】
员工甲从周二到周日任意选两天休息的所有情况有：（周二，周三）简记为（二，三），（后面也都这样表示）（二，四），（二，五），（二，六），（二，日），（三，四），（三，五），（三，六），（三，日），（四，五），（四，六），（四，日），（五，六），（五，日），（六，日），
共15种，其中两天不相邻共10种， 则员工甲选的两天不相邻的概率为102
153
=， 故选：D . 【点睛】
本题考查古典概型概率公式的应用，比较基础．
8．在等比数列{}n a 中121a a +=，4527a a +=，则{}n a 的前5项和为（ ） A ．29 B ．
119
4
C ．30
D ．
121
4
【答案】D
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出关于1a 和q 的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前5项和. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()1213
45111127a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，解得1143
a q ⎧=⎪
⎨⎪=⎩， 因此，数列{}n a 的前5项和为
()()5
5
15113112141134
a q S q --===
--. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，一般利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
【答案】A
【解析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出
2a b >>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.
【详解】
指数函数2x
y =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，
对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，
c b a <<.
故选：A. 【点睛】
本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
10．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16
【答案】C
【解析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】
抛物线2
:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为12
2
y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8
x π=
对称，则ω的
最小值为（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
43
D ．83
【答案】C
【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据题意得出()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的
最小值. 【详解】
()
sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭Q ，
由于该函数的图象关于直线8
x π=对称，则
()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，
得()4
83
k k Z ω=
+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值4
3
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题. 12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的每个顶点都在球的O 球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．16
D ．18
【答案】A
【解析】计算出球O 的半径为R ，可得出R ，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，
=，然后利用基本不等式可得出该四棱柱侧面积的最大值. 【详解】
设球O 的半径为R ，则2412R ππ=，得R =.
设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，则正四棱柱的体对角线即为球O 的直径，
2R ==22212x h +=，由基本不等式可得
22122x h =+≥，
xh ∴≤，当且仅当h =时，等号成立，
因此，该四棱柱的侧面积为44xh ≤⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．曲线324y x x x =--在点(1,2)处的切线的斜率为__________． 【答案】9
【解析】求曲线在点(1,2)处的切线的斜率，就是求曲线在该点处的导数值． 【详解】
∵324y x x x =--的导数为：21221y x x '=--， 将x ＝1代入，即可得斜率为：k ＝9． 故答案为：9． 【点睛】
本题考查导数的几何意义及基本运算，属于基础题．
14．已知双曲线22
:14
x y C m -=则双曲线C 的实轴长为__________．
【答案】2
【解析】根据离心率公式得到答案. 【详解】
∵
=m 1=， 则实轴长为2． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率公式的应用，属于基础题．
15．已知()f x 为偶函数，当04x ≤<时，()23x
f x =-，当4x ≥时，()212f x x =-，
则不等式()5f x >的解集为__________． 【答案】()()8,33,8--⋃
【解析】求出不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式()5f x >在R 上的解集. 【详解】
当04x ≤<时，令()235x
f x =->，可得28x >，解得3x >，此时34x <<；
当4x ≥时，令()2125f x x =->，解得8x <，此时48x ≤<. 所以，不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解为38x <<.
由于函数()y f x =为偶函数，因此，不等式()5f x >的解集为()()8,33,8--⋃. 故答案为：()()8,33,8--⋃. 【点睛】
本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
16．在数列{}n a 中，13a =，且
122
21n n a a n n
+---=+. （1）{}n a 的通项公式为__________；
（2）在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为__________．
【答案】2
22n a n n =-+ 403
【解析】（1）根据题意得知数列2n a n -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，确定该数列的首项和公差，可
求出数列2n a n -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项公式，即可求出n a ； （2）设()2
22102n a n n k k Z =-+=+∈，可得出()1021k n n =-，由21n -为奇数，可得出n 为10的倍数或21n -为5的奇数倍且n 为偶数，求出两种情况下n 值的个数，相加即可得出答案. 【详解】 （1）12221n n a a n n +---=+Q
且1211
a -=，
所以，数列2n a n -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
()2
12121n a n n n
-∴
=+-=-，222n a n n ∴=-+； （2）被10整除且余数为2的整数可表示为()102k k Z +∈，
令2
22102n a n n k =-+=+，可得()1021k n n =-，
n N *∈Q ，且12019n ≤≤，则21n -为奇数，
则n 为10的倍数，或者21n -为5的奇数倍且n 为偶数.
当n 为10的倍数时，n 的取值有：10、20、30、L 、2010，共201个； 当21n -为5的奇数倍且n 为偶数时，n 的取值有：8、18、28、L 、2018，共202个.
综上所述，在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为
201202403+=.
故答案为：222n n -+；403. 【点睛】
本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
三、解答题
17．a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；
（2）若3a =，b =ABC ∆的面积.
【答案】（1）1
cos 3
B =
；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值； （2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】
（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以
sin 3sin cos B
B B =，因为sin 0B >，所以1cos 3
B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则2
1
179233
c c =+-⨯⨯⨯
，
整理得2280c c --=，0c >Q ，解得4c =. 因为1cos 3B =
，所以222sin 1cos 3
B B =-=， 所以AB
C ∆的面积1
sin 422
S ac B ==. 【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
18．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时）并根据统计数据分为[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4)六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[1,4]内），得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；
（2）为了分析出该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[1.5,2)时间段内应抽出多少人？ 【答案】（1）0.5m =，平均值为2.4，中位数2.4 （2）4人
【解析】（1）频率分布直方图中各组的频率之和为1，能求出m ．利用平均值及中位数计算公式即可得出平均值及中位数．
（2）先求得[1.5,2)时间段的频率，由此能求出[1.5,2)时间段内的人数． 【详解】
（1）由(0.20.420.30.1)0.51m ++++⨯=， 解得0.5m =.
这100名居民运动时长的平均值为
(0.2 1.250.4 1.750.5 2.750.3 3.250.1 3.75)0.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，
由图可知中位数x 在[2,2.5)内，因为0.20.50.40.50.5(2)0.5x ⨯+⨯+-=， 解得 2.4x =.
（2）由题知，[1.5,2)时间段的频率为0.40.50.2⨯=， 则应抽出200.24⨯=人. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查平均数中位数公式，是基础题．
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，
M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM P 平面1B EF .
（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为3
2
，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积. 【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】（1）取11A B 的中点N ，连接AN ，可证GM AN P ，再由线面平行得到
1AN B E P ，又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，即可得证.
（2）设棱长为a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，由111
3
F B MGE B MGE V h S -=⋅⋅求出a 的值，即可求出表面积. 【详解】
解：（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN
因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN P .
因为GM P 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A I 平面11B EF B E =. 所以1GM B E P ，即1AN B E P .
又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点.
（2）设AB a =，则1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，2
4
a ，
易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，所以
11222321133
331684162
F B MGE
B MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的表面积为2624a =. 【点睛】
本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.
20．已知椭圆()22
22:10x y a b a b
Ω+=>>
的焦距为
（1）求Ω的方程；
（2）若直线2y x =+与Ω相交于A 、B 两点，求以线段AB 为直径的圆的标准方程.
【答案】（1）22182x y +=；（2）22
82485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【解析】（1）根据题意求出a 和b 的值，即可求出椭圆Ω的方程；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点和AB ，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】
（1）设椭圆Ω的焦距为()20c c >
，则2c =
，2b =
所以c
b =2
2
2
8a b c =+=，所以Ω的方程为22
182
x y +=；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222
18
2y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，得251680x x ++=.
由韦达定理得12165x x +=-
，128
5
x x =，
所以12825x x +=-，线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
12AB x x =-===
，
所以，所求圆的标准方程为22
82485525x y ⎛⎫⎛⎫++-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
21．已知函数()e 2x
f x ax a =--，()ln
g x x =.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）用{},max m n 表示m ，n 中的最大值，已知2a =，求函数
()()(){}()max ,0h x f x g x x =>的零点的个数.
【答案】（1）()f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减，在()()
ln 2,a +∞上单调递增；（2）零点个数为1
【解析】（1）求出定义域、导函数，对a 分类讨论，可得单调区间；
（2）由当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，可知函数()h x 在()1,+∞上不存在零点，当1x =，分别计算函数值，可知1x =是()h x 的零点，由（1）知()h x 在()0,1上无零点. 【详解】
解：（1）函数()f x 的定义域为R ，且()e 2x
f x a '=-.
当0a ≤时，()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时，令()0f x '=，得()ln 2x a =，
当()()
,ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()()
ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减，在()()
ln 2,a +∞上单调递增.
（2）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，从而()()(){}
()max ,0h x f x g x g x =>…
，
所以()h x 在()1,+∞上无零点.
当1x =时，()1e 60f =-<，()10g =，所以1x =是()h x 的零点.
当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =<，所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在
()0,1上的零点个数.
由（1）知，()e 42x
f x x =--在()0,1上单调递减，
所以()()010f x f <=-<，从而()h x 在()0,1上无零点 综上，()h x 的零点个数为1. 【点睛】
本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的
参数方程为cos sin x m y a n α
α
=⎧⎨
=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；
（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 【答案】（1）4a m n ===；（2
.
【解析】（1）根据极坐标方程得到()2
2416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2
）将参数方程代入圆方程得到270t --=
，根据韦达定理得到
120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.
【详解】
（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则22
8x y y +=，即()2
2416x y +-=.
因为0m >，0n >，所以4a m n ===.
（2
）将2
1x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入()22416x y +-=
，得270t --=.
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以
12t t P PB A =-==
+【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；
（2）若对任意x ∈R ，不等式()2
28f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.
【答案】（1）()4
,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
U ；（2）1t ≤-或9t ≥.
【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到
()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.
【详解】
（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45
x >
，则4
25x <≤；
当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >. 综上所述：不等式()3f x >的解集为()4
,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
U .
（2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--
()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.
若对任意x ∈R ，不等式()2
28f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，
解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的
综合应用能力.。