2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第九章 平面解析几何 第5讲

A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线
D.圆
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为
椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝
________.
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解析 (1)由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆.
标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) 图形
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范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称 性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
质 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心 率
a，b，c 的关系
e＝ac∈ (0，1) c2＝ a2－b2
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诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
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(2)由题意知 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝ a2－b2，因为过
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【训练 2】 (1)已知椭圆 E 经过点 A(2，3)，对称轴为坐 标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e＝12，则椭圆 E 的方程为________. (2)(2014·安徽卷)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝ 1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程 为________.
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2.(2015·广
东
卷
)
已
知
椭
圆
x2 25
＋
y2 m2
＝
1(m>0)
的
左
焦
点
为
F1(－4，0)，则 m＝( )
A.2
B.3
C.4
D.9
解析 依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.
答案 BΒιβλιοθήκη 第七页，编辑于星期六：二十点 八分。
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率
【训练 1】 (1)(2016·保定一模)与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切， 且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程 为________. (2)椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过 F1， 若△ABF2 的内切圆周长为π，A，B 两点的坐标分别为(x1， y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________. 解析 (1)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1， |PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即 P 在以 C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
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(2)如图，由点 A，B 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 A′，
B′，设|AA′|＝h1，|BB′|＝h2，则|y1－y2|＝h1＋h2，
又△ABF2
的面积为
12h1|F1F2|＋
1 2h2|F1F2|
＝12|F1F2||y1－y2|
＝（|AB|＋|AF22|＋|BF2|）r(r 为△ABF2 内切圆半径)，
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(2)设点 A 在点 B 上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝ 1－b2， 则可设 A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，
可得A→F1＝3F→1B，故－ －2bc2＝＝33y（0，x0＋c），
即xy00＝ ＝－ －5313cb，2，代入椭圆方程可得25（19－b2）＋19b2＝1， 得 b2＝23，故椭圆方程为 x2＋32y2＝1. 答案 (1)1x62 ＋1y22 ＝1 (2)x2＋32y2＝1
A.35
B.57
C.45
D.67
(2)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于 点 D，若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的离心率等于________.
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考点三 椭圆的几何性质 【例 3】 (1)(2016·淮南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左
焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.
若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则 C 的离心率为( )
答案 (1)A (2)3
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规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭 圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、 弦长、最值和离心率等. (2)椭圆的定义式必须满足 2a＞|F1F2|.
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椭圆标准方程为________. 解析 (1)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，
由－322m＋522n＝1，解得 3m＋5n＝1，
m＝16，n＝110.
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∴椭圆方程为1y02 ＋x62＝1. (2)法一 椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)， 即 c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝ （ 3－0）2＋（－ 5＋4）2＋
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨 迹是椭圆.( × ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( × ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( √ ) (4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭 圆.( √ ) (5)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同.( √ )
的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________.
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)， 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，
把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，又 x＞0，
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4.设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在 Rt△PF2F1 中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
(2)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.
所以 x＝
215，∴P
点坐标为
215，1或
215，－1.
答案
215，1或
215，－1
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考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)(2015·枣庄模拟)如图所示，一圆形纸片 的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一 动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平 纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则 点P的轨迹是( )
解析 (1)如图，设|AF|＝x，则 cos∠ABF＝822＋×180×2－10x2 ＝45.解得 x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原 点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°， △FAF1 是直角三角形，所以|F1F|＝10， 故 2a＝8＋6＝14，2c＝10，∴ac＝57.
第二十一页，编辑于星期六：二十点 八分。
解析 (1)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 由 e＝12，即ac＝12，得 a＝2c，则 b2＝a2－c2＝3c2. 所以椭圆方程可化为4xc22＋3yc22＝1.将 A(2，3)代入上式， 得c12＋c32＝1，解得 c2＝4， 所以椭圆的标准方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
答案
(1)2x52 ＋1y62 ＝1
5 (2)3
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考点二 求椭圆的标准方程
【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
且经过两点－32，52，( 3， 5)，则椭圆方程为________. (2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的
解得 k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为2y02
＋x42＝1. 答案 (1)1y02 ＋x62＝1
(2)2y02 ＋x42＝1
第十九页，编辑于星期六：二十点 八分。
规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定 形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件
建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出 m，n的值即可.
第十五页，编辑于星期六：二十点 八分。
由△ABF2 内切圆周长为π知其半径为12，
而|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝10，|F1F2|＝6，
故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
从而|F1F2|＝2 25－16＝6，故|y1－y2|＝53.
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c
＞0，且 a，c 为常数： (1)若 a＞c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段；
(3)若 a＜c ，则集合 P 为空集.
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2.椭圆的标准方程和几何性质
（ 3－0）2＋（－ 5－4）2，解得 a＝2 5. 由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
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法二 设所求椭圆方程为25y－2 k＋9－x2 k＝1(k<9)，将点
( 3，－ 5)的坐标代入可得（－25－5k）2＋（9－3）k 2＝1，
30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.故 e＝22ac＝|PF|1F|＋1F|2P| F2|
＝ 33.故选 D. 答案 D
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5.(人教 A 选修 1－1P42A6 改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝
1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点
为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3，
则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1 C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3，
故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33，得 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝2， 则 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 A.
•第5讲 椭 圆
第一页，编辑于星期六：二十点 八分。
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻 画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的 定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
第二页，编辑于星期六：二十点 八分。
1.椭圆的定义
知识梳理
在平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦 点间的距离叫做椭圆的 焦距 .