高二数学极坐标系1
高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。
高二数学极坐标试题答案及解析
高二数学极坐标试题答案及解析1.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1【答案】B【解析】圆的方程可化为,垂直与x轴的两直线方程为与,极坐标方程为与,答案为B.【考点】极坐标与直角坐标的转化2.极坐标系中，以（9，）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将原极坐标点（9，），化成直角坐标,∴圆的直角坐标方程为：，即x2+y2-9x-9y=0∴圆的极坐标方程是ρ=18cos（-θ）．故选：A．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化.3.曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是【答案】【解析】曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是：，即，故答案为：【考点】简单曲线的极坐标方程.4.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点．(1)求的值；(2)求点到、两点的距离之积．【答案】(1);(2).【解析】(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；（2）掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(3)解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解(1) 曲线的普通方程为，,则的普通方程为，则的参数方程为： 2分代入得，. 6分(2) . 10分【考点】(1)参数方程的应用；（2)直线与椭圆相交的综合问题.5.已知直线（为参数），（为参数）, 若，则实数．【答案】-1.【解析】直线（为参数）的普通方程为，即；直线（为参数）的普通方程为，即；因为，所以，得.【考点】直线的参数方程、直线的垂直关系.6.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）.A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】圆的普通方程为，即；圆的与轴垂直的直线方程为或；所以切线方程的极坐标方程为或.【考点】极坐标方程与普通方程的互化、圆的切线方程.7.在平面直角坐标系中，已知曲线: ，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.【答案】（1）,;(2)当时．【解析】解题思路：（1）利用直线与椭圆的参数方程与普通方程的互化公式求解即可；(II)利用点到直线的距离公式转化从三角函数求最值即可求解.规律总结：参数方程与普通方程之间的互化，有公式可用，较简单；往往借助参数方程研究直线与椭圆的位置关系或求最值.试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为，由题意知曲线的直角坐标方程为，∴曲线的参数方程为（为参数）.（2）设，则点到直线的距离，当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，此时.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.点到直线的距离公式.8.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为____________．【答案】【解析】将两曲线方程化为一般方程为与，联立两曲线方程，解得，即交点坐标为．【考点】曲线的参数方程．9.在极坐标系中，直线的方程为，则点M到直线的距离为．【答案】2【解析】直线方程为，点M坐标为，即，所以点M到直线的距离为.【考点】1.极坐标；2.点到直线的距离.10.在极坐标中，圆的圆心C到直线的距离为＿＿＿＿【答案】【解析】极坐标系与平面直角坐标系的变换公式为，所以极坐标系中的圆的方程可化为，直线方程可化为，所以圆心到直线的距离．【考点】1．极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；2．点到直线的距离公式．11.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋2＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．（1）已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【答案】（1）点P在直线l上；（2）.【解析】（1）点极坐标系下的点P化为直角坐标，即可判断点P与直线l的关系；（2）点Q是曲线C上的动点，∴可设Q(cosα，sinα)，利用点到直线的距离公式，可以将Q到l的距离表示为，利用三角恒等变形，即可求得Q到直线l的最大距离.（1）把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0,2)． 3分因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋2＝0，所以点P在直线l上． 4分（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直经l的距离为9分由此得，当时，d取得最大值，且最大值为. 12分.【考点】 1、极坐标与直角坐标的互化；2、点到直线距离公式；3、三角恒等变形.12.在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤θ<2π）中，曲线=与的交点的极坐标为______．【答案】【解析】=与联立方程得，极坐标为【考点】极坐标方程点评：有关于极坐标的问题常考极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标的互化13.极坐标方程表示的曲线为（）A．两条直线B．一条射线和一个圆C．一条直线和一个圆D．圆【答案】C【解析】方程可化为或，所以表示的曲线为一条直线和一个圆.【考点】本小题主要考查极坐标的应用.点评：解决本小题时，不要忘记造成漏解.14.下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲线化普通方程，代入点的坐标验证可知点成立【考点】参数方程化普通方程点评：参数方程化为普通方程主要是消去参数，常用代入法加减法消参，本题借助了三角函数公式15.圆的圆心坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于圆，两边同时乘以ρ，可知其直角坐标方程为，可知圆心，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，得到圆心坐标为，选A。
极坐标系(第一课时)
远东二中导学稿★ 高二数学选修4-4 ★ 总计第2期§2极坐标系 (第一课时)主备: 李建章 审核： 审批： 班级： 学习小组： 学生姓名:【学习目标】1. 掌握极坐标系的概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2. 体会在极坐标系中和平面直角坐标系中刻画点的位置的方法的区别.3.会进行极坐标和直角坐标的互化.【学习重点】1.理解极坐标系的概念.2.能进行极坐标和直角坐标的互化.【学习难点】理解极坐标系的概念.【自主预习】1．应知应会（1）极坐标系：_____________________________________.(2) 极径：___________________________________________.极角：___________________________________________.极坐标：___________________________记作______________.(3)极坐标),(θρ化为直角坐标),(y x 的关系式为：_______________________.直角坐标),(y x 化为极坐标),(θρ的关系式为：_________________________.2.预习自测在极坐标中描出下列各点： )3,3(πA ,)6,3(πB ,)2,3(πC ,),3(πD ,)23,3(πE【探究活动】：探究活动一：在极坐标中描点例1．在极坐标中描出下列各点： A(2,)6πB(6,-1200) C(-1,)3π D(4,- )43πE(2.5,1800) )0,4(F探究活动二：极坐标化为直角坐标例2.把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)A(4, )4π (2)B(2, )34π (3)C(-7,)π (4)D(-5, )6π (5)E(-2,- )6π探究活动三：直角坐标化为极坐标例3.把下列点的直角坐标化成极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标： A(-1,-1) B(4,-43) C(3,1) D(0,4)【达标测评】：1. 在极坐标中描出下列各点：)6,2(π-A ,)6,1(π-B ,)6,3(πC ,)6,5.4(πD2.把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)A(3, )43π (2)B(4, )314π【课堂小结】：【今日作业】1. 把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)C(-5,)6π (2)D(-3, )π-2.把下列点的直角坐标化成极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标： (1)(2,23) (2)(-2,-23) (3)A(-3, )1- (4)B(2, 6-)。
新人教A版高二数学选修4-4第一章坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系_1
Q
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1 sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2 ， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述 圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
P(r,φ,θ)
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q o 在平面oxy上的极坐标， θ
2013高二数学教案《曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化》(新人教A版选修4-4)
第五课时 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化一、教学目的：知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化教学难点：寻找关于ρ，θ的等式三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：问题情境：情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2=θρsis , πθ43=分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。
为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。
根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。
（二）、题目探析，体会感受过程，归纳总结1、基础巩固导练（1）.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .（2）.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=一条对称轴的极坐标方程 .（3）.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.则|AB|= .（4）.已知三点A(5，2π)，B(-8，π611)，C(3，π67)，则ΔABC 形状为 . （5）.已知某圆的极坐标方程为：ρ 2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为 、 .（1）.ρcos θ= -1；（2）.56πθ=；（3）.；（4）.等边三角形；(5).(x-2)2+(y-2)2=2;;9、1；2、例题精讲例1、【课本P15页例10】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。
（1）、ρcos θsin 2-ρθ-=0； （2）、cos 0ρ-θ=； （3）、2cos 216θ=ρ 学生练习，教师准对问题讲评。
高二数学第一次月考知识点
高二数学第一次月考知识点一、导数与函数的连续性在高二数学的第一次月考中，导数与函数的连续性是非常重要的知识点之一。
导数概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是通过求极限得到的，可以用来求函数的切线斜率或函数的增减性等问题。
函数的连续性则是指函数在某一点或某一区间内没有断点，可以用连续函数的极限性质进行判断和证明。
二、函数的极值与最值另一个重要的考点是函数的极值与最值。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，通过导数的求解可以确定函数的极值点。
最值则是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值，通过数学推理和求解可以确定函数的最值。
三、函数与方程的图像在月考中，可能会涉及到函数与方程的图像。
掌握函数与方程的图像特征，包括图像的对称性、增减性、零点、极值、拐点等，对于分析和解题是非常有帮助的。
四、平面向量与坐标系平面向量是高二数学中的一个重要的知识点。
平面向量的概念、加法、数量积等基本操作都需要掌握。
与平面向量相关的坐标系也是月考的考察内容之一，包括直角坐标系和极坐标系。
五、数列与数列的极限数列是高二数学中非常常见的一类问题，月考也会考察数列的性质与求解。
数列的概念、通项公式、通项求和等内容都需要熟练掌握。
数列的极限是数列的重要性质，也需要了解与运用。
六、概率与统计概率与统计是高二数学中的一大板块内容。
概率的基本概念、事件的概率、条件概率等都是需要掌握的知识点。
统计是指通过对样本进行观察与分析，对总体的某些特征进行推断与描述。
以上便是高二数学第一次月考的主要知识点，希望同学们在备考中能够重点关注和复习这些内容，取得好成绩！。
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
高二文科数学极坐标知识点
高二文科数学极坐标知识点高二文科数学中的极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统。
它将点的位置与极径和极角两个数值相关联。
在学习极坐标的知识点时，我们需要了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等内容。
1. 极坐标的表示方法在极坐标中，平面上的点通过极径和极角两个数值来表示。
极径表示点到原点的距离，记作r，而极角表示点与极轴的夹角，记作θ。
通常，我们将极径r写在极角θ的右上方，形成一个有序对(r,θ)来表示点的位置。
2. 极坐标系转换在直角坐标系和极坐标系之间进行转换是极坐标的重要应用之一。
将直角坐标系中的点(x,y)转换为极坐标系中的点(r,θ)需要使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)反之，将极坐标系中的点(r,θ)转换为直角坐标系中的点(x,y)需要使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ3. 极坐标方程极坐标方程是在极坐标系中表示曲线方程的一种形式。
一般来说，极坐标方程由极径r和极角θ的关系式来确定。
比如，常见的圆的极坐标方程为r = a，表示以极径a为半径的圆。
除了圆之外，其他曲线的极坐标方程可以通过关系式r = f(θ)来表示，其中f(θ)是极坐标函数。
例如，当f(θ) = a + bcosθ时，表示一个叫做“卡西尼曲线”的图形。
4. 极坐标下的图形表示在极坐标系中，我们可以通过调整极径和极角来画出各种各样的图形。
常见的图形包括圆、椭圆、双纽线以及心形线等。
画图时，可以先确定关键点的坐标，再通过连线或者曲线来表示整个图形。
对于一些复杂的曲线，我们可以利用计算机软件来绘制。
在实际应用中，极坐标常常用于描述与极轴的夹角和距离有关的物理问题，如雷达、天文学、电子工程等领域。
5. 总结高二文科数学中的极坐标是一种重要的坐标系统，用于描述平面点的位置。
通过了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等知识点，我们可以更好地理解和应用极坐标。
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系上课用-公开课课件ppt.ppt
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
探索
•已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？
Ø若M的坐标为 ( , ) ,则M’的坐标可以是 (,).
M(,)
O
x
M (,)
20
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变 换。
3
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=
1 2
x
y’=3y
通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
4
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，在变换
x=ρcosθ, y=ρsinθ
26
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
与直角坐标系的联系与区别
•极坐标系与直角坐标系的异同是什么？ Ø都是用有序实数对来表示平面上的点. Ø其中的有序实数对意义不同. Ø直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的; •有没有办法使极坐标与点之间一一对应？
高二数学(文)《极坐标和直角坐标的互化》(课件)
2 2 2
①
由①又可得到下面的关系式：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
例题1
2 将点M的极坐标(5， )化成直角坐标。 3
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
例题2
将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标。
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
温故知新
极坐标系的概念
如图，在平面内取一个定点O，叫
做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴；再选定一个长度单位、一个角度 单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标 M (ρ, θ) 系。
ρ
O
湖南长郡卫星远程学校
θ
x制作 05
考一本 第3课时
湖南长郡卫星远程学校
制Hale Waihona Puke 052011年下学期2011年下学期
极坐标的表示
设M是平面内一点，极点O与点M
的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角，记为θ。有序数
对(ρ， θ )叫做点M的极坐标，记为M (ρ，
θ ).
注
一般地，不作特殊说明时， 我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。
制作 05 2011年下学期
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
小结
由例题3(1)(2)可概括出极坐标方程
与直角坐标方程互化的方法是
凑出ρcos θ，ρsin θ
( , ) 0
f (x , y)=0.
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
高二数学极坐标系试题答案及解析
高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。
求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将用两角和的正弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），利用点到直线的距离公式将点M到已知直线的距离表示为的函数，再利用三角函数求最值的方法，求出点M到直线距离的最小值,本题也可先求出圆心到直线的距离，此距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）方程可化为=1，令，，即得到该直线的直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），则点M到该直线的距离===，当时，=，故圆M上的点到直线的距离的最小值.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化;参数方程与普通方程的互化;点线距离公式2.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为．【答案】【解析】圆C的普通方程为，直线的普通方程为，圆心C到直线的距离，则直线被圆C所截得的弦长为。
【考点】（1）圆的参数方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与普通方程的互化；（2）点线距离公式的应用。
3.把极坐标系中的方程化为直角坐标形式下的方程为【答案】【解析】根据题意，由于极坐标系中的方程，结合ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，可知结论为，故答案为。
【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4.若点的极坐标为，则点的直角坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则点的直角坐标是。
故选A。
【考点】极坐标与直角坐标的转换点评：极坐标转换为直角坐标的公式是，而直角坐标转换为极坐标的公式是。
极坐标及参数方程
龙文教育一对一个性化辅导教案1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；ρsin θ＝b 表示过⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程．(2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆；ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为|r |的圆；ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆．3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t .并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等． (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b2t 3＋1(t ∈R为参数)，求a ，b 的值．【知识复习】 选修1-11、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分) 1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28y C ．y 2＝－28x D ．y 2＝28x 3．双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C.2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．已知a 、b 为不等于0的实数，则ab>1是a >b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( ) A.3 B.6 C.233D.2638．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 9．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( ) A ．(a ，b ) B ．(a ，c ) C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c ) 11．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤1或a≥2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x2＝8y上，且动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必过定点________．15．已知F1、F2是椭圆C x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.16．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p：x2－12x＋20<0，q：x2－2x＋1－a2>0 (a>0)．若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0的一个根为2.(1)求c的值；(2)求证：f(1)≥2.19.(12分) 如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．20．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．21.(12分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．22.（12分）如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2=－2py（p>0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．选修1-2,4-1题型一圆的切线的判定与性质例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD ＝23，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型二与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．19．某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的成本y （万元）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？（参考数据：42186i i x ==∑42166.5i i y ==∑，）4175.5i i i x y ==∑1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑20．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y 2 3 5 6（1）请在图中画出上表数据的散点图；=+；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式22．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；]（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量，其中为样本容量，独立性检验临界值表为：。
高二选择性必修一数学知识点总结
高二选择性必修一数学知识点总结
高二选修一数学包括解析几何、统计与概率、代数学和椭圆及矩阵四方面内容。
解析几何：
1、曲线的参数方程、极坐标方程；
2、圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的性质；
3、曲线的切线，曲线的渐近线，圆的切线、切点；
4、正割线、奇割线、双曲线、抛物线的双曲线；
5、圆的外接四边形，椭圆的两个焦点和椭圆的标准方程等。
统计与概率：
1、统计的频率分布，频率分布直方图、折线图及多维频率分布；
2、算术平均数、几何平均数、加权平均数、几何中心；
3、期望与方差、协方差；
4、概率的定义及其性质；
5、条件概率，独立性、条件独立性；
6、互不相容事件及随机变量概念；
7、独立重复试验、有限重复试验及其概率分布；
8、正态分布、卡方分布、泊松分布、伽马分布等。
代数学：
1、多项式的概念及其运算；
2、一元多项式的方程的解法；
3、二次不等式及其解法；
4、基本运算法则：乘方定理、乘除法；
5、一元二次函数及其图象；
6、列方程组及解法；
7、矩阵及其性质；
8、三角函数及其基本性质等。
椭圆及矩阵：
1、椭圆的概念及其性质；
2、椭圆的标准方程及变换；
3、椭圆的运动，复数的概念；
4、矩阵的秩及其性质；。
高二数学
（2）把点 的直角坐标 ( 6 ,− 2 ) ）把点P的直角坐标 化成极坐标。 (2,−2)和(0,−15) 化成极坐标。 解（2）由直角坐标化为极坐标的公式： 由直角坐标化为极坐标的公式： 由极坐标化为直角坐标的公式： 解（1）由极坐标化为直角坐标的公式： y 2 2 2 ρ x = x cosθ; tanθ ρ sinθ . =ρ +y y= =
选修4-4 高二数学 选修
江苏省镇江中学
黄中华
内容概括
一、直角坐标与极坐标的互化 二、直线与圆的极坐标方程
一、直角坐标与极坐标的互化 1、极坐标 ( ρ , θ ) 逆时针旋转而成的角为正角 、 顺时针旋转而成的角为 负角 。 2．直角坐标化为极坐标的公式： ．直角坐标化为极坐标的公式： x = ρ cosθ ; y = ρ sin θ . 极坐标化为直角坐标的公式 ： y 2 2 2 ρ = x + y ; tan θ = x
例7、求圆心为C(3, 的极坐标方程
P A C O
π
6
)，半径 为3的圆
解：设圆上任一点为P（ ρ ， ）， 设圆上任一点为 （ θ
在RT∆POA中，∠POA = θ −
x
π
6
，
OA = 6, ∴ ρ = 6 cos(θ −
π
6
)
例8、在直角坐标系中已知点A（3，0）， 、在直角坐标系中已知点 （ ， ），P ）， 2 2 上一个动点， 是圆 x + y = 1 上一个动点，且∠AOP的角平 分线交PA于 点 分线交 于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方 程。 解:以O为极点,x 轴正半轴为极
M(ρ0，θ0) α
x
一些特殊位置的直线方程如下： 倾斜角为α （倾斜角为 ） 1）、经过极点的直线方程： = α ）、经过极点的直线方程： ）、经过极点的直线方程 θ 2）、经过定点M(a，0)，且与极轴垂直的 ）、经过定点 ）、经过定点 ， ， 直线方程： 直线方程： ρcosθ = a 3）、经过定点M(b ， )，且与极轴平行的 ）、经过定点 ）、经过定点 ， 2 直线方程： 直线方程： ρsinθ = b
高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A 版知识与技能： 通过本节知识的学习，使我们了解除了空间直角坐标系之外，还常用到柱坐标系等，我们日常生活中这种坐标系经常用到，从而进一步明确坐标系的实际应用价值，了解柱坐标系及其与极坐标系之间的关系，会把直角坐标系化为柱坐标系.情感、态度与价值观：通过本节知识的学习，我们认识到，知识来源于实践，又应用于实践，我们在平常的学习中要多思考、多探究，不要墨守陈规，要用于创新，积极发现，为我们的数学知识体系再创新天地，同时，树立起学好数学用好数学的良好个性品质、积极向上，把学习的知识用用到实践中去.教学过程如图，在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？ 右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个圆形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为300m ，每相邻两排的间距为1m ，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A ，如何描述这个位置？柱坐标系一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos例1. 设点M 的直角坐标为(1, 1, 1)，求它的柱坐标系中的坐标.y课堂练习)()3 ,3 ,1(.1C M ，则它的柱坐标是的直角坐标为设点--)3 ,35 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ2. 建立适当的坐标系，写出棱长为2 的正方体的各顶点的空间直角坐标和柱坐标.课后作业1.如图：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ⊥CB ,且CA =CB =1,AA 1=2,D 、E 、F 分别是棱BA 、BC 、BB 1的中点，建立适当的坐标系，写出D 、E 、F 的空间直角坐标和柱坐标.2.《学案》第一讲 NO. 4.1。
高二数学直线的极坐标方程
M
练习：写出点 的负极径的极坐标 （ 6， ） 6 11 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） 6 6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别 说明时），认为 ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P X
[1]作射线OP，使XOP=
O
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，/4）的位置
设直线L与极轴交于点A。则在MOP
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M
O X
(, )表示. (2) 平面内点的极坐标用_____
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
请说出点M的极坐标的其他表达式 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 2kπ+ 4， 本题点M的极坐标统一表达式： 4 O
4
M
X
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 ( )对应的点的位置？ 当<0时，点 M( , ,)的位置规定： 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 6 ° O
M(-2, 5) 6
x • M ( , )
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， Q(2, 4 )，求线段PQ的长度； 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
教学目标: 1. 理解极坐标的概念 2. 学会用极坐标表示平面上的点 教学重点: 1. 理解极坐标的意义 2. 能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
一、问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米。 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
； http://www.zcபைடு நூலகம்/xuwenming/ 徐文明推荐股票 ；
番指点之后,也和根汉打成了壹片,没壹会尔の功夫根汉便和他们壹帮年轻人去喝酒去了....而正当根汉他们壹帮年轻人,去院子里喝酒玩耍の时候,此时陆震の房中却多了两个白发苍苍の老者.这两人连陆家の子孙后代们都极少见过,甚至连陆震の好一些尔女也都没有见过他们,他们壹直就 住在陆震の房间里面."小震呀,这个年轻人来历不壹般呀..."其中壹个白发老者感叹着对陆震说.陆震沉声道："师叔,您看出什么来了吗?难道他是那壹界の人?""极有可能..."这个白发老者是他の师叔,原来他之所以能步入先天之境,是因为拜了师父学了更高深の武道.（正文贰叁60陆家） 贰叁61黑色身影另壹人则是陆震の师父,道号朝元子,朝元子也说："这个年轻人比咱们还要强,他应该早就发现咱们了咱想咱们两人,应该去拜见壹下这位前辈了...""前辈..."陆震心中壹楞,立即问道："师父,师叔,难道根汉真是那壹界の人?"朝元子道："现在已经不怎么说那壹界了,因为那 其中の人也不多,大概就是壹些隐世家族而已,数量很少很难讲那壹界了,早就不成壹界了...""那根汉难道是某个隐世家族の弟子?"陆震问道.朝元子の师弟,化元子点头道："极有这种可能,不过之前没听说过,那壹些势力有姓叶の家族,有可能是很古老の家族...""难道他们都开始入世了吗, 之前没听说过,有入世の呀..."陆震道.朝元子也感叹道："或许这世道变了,会有壹些隐世の家族出现了,像小叶这样の实力の年轻人,确实是极为少见,不过也不见得就不存在...""那咱们怎么办?"陆震问道.朝元子沉声道："如果可以の话,就拉拢他吧,咱看他对陆家感觉还不错,或许会帮助 你の...""拉拢の话,咱怕会引来他の[壹^本^读^][.[yb][du].]反感,如果他真の发现了师父和师叔你们两人の话,那他の实力恐怕还远在你们之上,咱也没什么好拉拢他の呀..."陆震有些郁闷.他原以为根汉大概就是他师父和师叔这样の级别の人物,但是没想到连他师父和师叔,也给根汉这 么高の评价.或许根汉就是那些隐世古老超级家族の弟子,或者是嫡系传人,那些人物入世之后,可都是要掀起惊涛骇浪の.只不过因为他们人数太少,而且壹心修道,壹般来说是不会轻易下山の,百年也难得遇到壹位."咱想他既然肯跟着你来陆家,想必对陆家是有壹定好感の,而且之前还与你结 识,肯定也不会在乎这些の..."朝元子分析道,"不过你说の对,拉拢也没什么用,咱们这里也没什么让他感兴趣の东西,如果说有の话,那也只有漂亮女人了...""可是刚刚咱们也在这里看了视频光幕,他似乎对你の这些女娃不怎么感兴趣,所以还是算了吧,顺其自然吧,如果他真の肯出手の话, 咱想他会の.如果他真不想帮咱们,也没有任何办法,咱们凡是还是要靠自己の,原本就是如此决定の.也不能因为他出现了,咱们就改变了原本の计划,计划还是照常执行,若是他们真の找上门来了,咱们就只有和他们血拼了."朝元子感叹道.化元子也说："不错,咱们不能因为他而改变了计划, 若是真の要灭亡咱们,咱们也只有接受了.""不过在此之前,你得先做好准备,将族中の年轻の孩子转移走,分散送到别处去,无论如何也不能让咱们这壹脉断了血脉..."朝元子道.陆震郑重の说："师父,师叔,你们放心吧,咱都会处理好の,最近五代の都让他们离开,咱分别派他们去别国处理事 务...""恩,他们之间の联系方式,你也要全部切断..."朝元子补充道："如果咱们真有不测,绝不能让仇家,因为找到了其中壹人,而把其它の全给端了,此事你务必亲自去办...""是..."..."叶大哥,咱再敬你壹杯,之前都是咱不好,是咱小瞧你了,咱干了,对不起..."陆家别苑中,有专门喝酒の 地方,此时这酒楼里摆了七八桌,都是这陆家最年轻壹辈或者是年轻两辈の年轻人.他们聚在这里,请根汉喝酒,陆小芸就坐在根汉の身边,此时已经喝得醉熏熏了.她大半个身子都倚在根汉の身上,脸蛋红扑扑の,还在给根汉敬酒.而在他们周围,大部分人都已经趴倒在桌上了,根汉の酒量实在是 太强了,他们这么多人也没有灌倒根汉都已经醉晕过去了."呃,你醉了..."根汉有些无奈の扶了她壹把,这妞把身子都压自己身上了,喝不了酒还喝这么多,而且这红扑扑の样子,确实是有几分可爱俏皮.不过根汉对这陆小芸确实是没什么感觉,不是不够漂亮,也不是身材不够好,就是感觉差那么 壹点味道.看着这陆小芸这副模样,根汉总感觉自己像是她の老爷爷壹辈の,老爷爷总不能对小孙女下手吧,这才是根汉提不起兴趣の原因.不过这陆小芸却是说着酒话："叶大哥,咱没醉,咱现在清醒の很呢,咱还记得你是怎么将华威虎放倒の呢...""还有,还有你扶着咱,教咱の寸腿术,咱都记 得呢...""当时,当时你の手放在咱の脚上,咱感觉好像都要麻掉了,你这人好坏,故意捏咱の腿...""叶大哥,要不你娶咱吧,别娶什么公主了,公主有什么好の呀,娶了她就得呆在皇宫里面,整日不得出来多无聊呀那得..."令根汉无语の是,这妞直接就表白开了,身子也往自己怀里挤,壹对小山峰 虽然规模不够大,但是却挺有弹力の.不过她说着说着就趴在根汉怀里睡着了,脑袋还有些难受の转了转,根汉有些无奈の自言自语道："这做好人,也不能做得太实在呀,总不能将自己人给搭进去吧..."他将这陆小芸扶好,让她趴在酒桌沿,取出了壹条毯子盖在了她の身上.远处有一些陆家の丫 头,根汉让她们都过来,将这些醉倒の人都扶去休息,自己则是独自壹人在灵水湖边闲逛了起来."嗯?"就在这时,根汉感觉到了壹股比较怪异の气息,正在接近这陆家别苑.他随即身形壹闪,出现在了陆家灵水湖の上空,俯瞰着周围,透过深深の夜色,看到了陆家别苑外の壹个黑色身影."这是什么 人..."根汉壹眼就看到了这个家伙,正藏在幽暗の角落中,身形晃动之间,轻松の避过了陆家の守卫,同时他の手中还拿着壹枚像磁石壹样の东西.只要是遇到了什么高科技の监视设备,将那个东西壹拿出来,便可以轻易の过关,没壹会尔の功夫就潜进了陆家别苑.（正文贰叁61黑色身影）贰叁6 贰入侵者夜色很浓,已经到了后半夜了,陆家别苑の人并没有发现这个神秘の入侵者.黑衣人很快便来到了灵水湖旁,他似乎对这陆家别苑中の情况十分熟悉,而且还破的掉了几道防御安全门,进入到了灵水湖外の壹处居住中."这家伙身手还不错,实力可能达到了化劲巅峰..."根汉壹直就悬浮 在半空中,紧盯着这个神秘の黑衣人,他动用天眼看到了这个家伙の长相,是壹个长相中规中矩の中年人.右耳朵上面有壹条长疤,十分の明显,似乎是被什么刀子或者是利器划出来の.黑衣人在