河北省邯郸市成安一中 永年二中2016-2017学年高二下学期期中联考数学(文)试题

永年二中、成安一中高二下学期期中联考（文数）试卷
一、选择题(共12小题，共60分) 1.已知集合 ， ，则 （ ） A.
B.
C.
D.
2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．如果函数()y f x =的值域为[],a b ，则(1)f x +的值域为（ ）
A ．[]1,1a b ++
B ．[]1,1a b --
C ．[],a b
D ．(),a b 4．下列函数中，其定义域和值域与函数ln x
y e =的定义域和值域相同的是（ ）
A . y x =
B . ln y x =
C ．y x
=
D ． 10x
y = 5.已知偶函数f （x ）在0，2） B.（-2，2） C.（-1，3） D.（-3，1） 6.设函数y=x 3与y=（
）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4） 7.已知f （x ）=
，则f （2）=（ ）
A.4
B.7
C.6
D.5
8．定义新运算⊕：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数
()(1)(2)f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的最大值等于（ ）
A ．-1
B ．1
C ．6
D ．12 9.函数f （x ）=cosx 与函数
，则函数
的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数f （x ）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f （x+2）
=f （x ），且当x ∈（x 1≠x 2）都有，且f （4）=0，则关于x 不等式的解集
是（ ）
A.（-∞，0）∪（4，+∞）
B.（0，2）∪（4，+∞）
C.（-∞，0）∪（0，4）
D.（0，2）∪（2，4）
12.设奇函数f （x ）在区间上是增函数，且f （-1）=-1．当x ∈时，函数f （x ）≤t 2
-2at+1，对一切a ∈恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A.-2≤t ≤2
B.t ≤-2或t ≥2
C.t ≤0或t ≥2
D.t ≤-2或t ≥2或t=0 二、填空题(共4个小题，共20分)
13．已知命题p ： n N ∀∈， 22n
n <，则p ⌝为____________________________________________．
14. 已知函数，则= ______________________ ．
15. 已知f （x ）=x 2+3xf ′（2），则1+f ′（1）= ___________________________ ． 16.已知函数
是R 上的增函数，那么实数a 的范围_________________ .
三、解答题（共6个大题，共70分） 17、（12分）已知向量1sin ,2m x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
， (
)
3cos ,cos2n x x =，函数()•f x m n =
（1）求函数()f x 的最大值及最小正周期； （2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域.
18、（12分） 如图在正三棱柱111ABC A B C -中， 4AB =， 16AA =， E ， F 分别为1BB ，
AC 的中点.
（1）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A ；
（2）求几何体1AA EBC 的体积.
19、（12分）某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
经过分析，知道产量x 和成本y 之间具有线性相关关系.
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； （Ⅱ）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为10千件时的成本．
参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆy
bx a =+，其中()()()
11
2
22
11
•ˆn
n
i i i
i
i i n
n
i i
i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==
--∑∑∑∑，
ˆˆa y bx =-.
20、（
12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2
e =，左顶点为()2,0A -
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知O 为坐标原点， ,B C 是椭圆E 上的两点，连接AB 的直线平行OC 交y 轴于点D ， 证明： ,AB AD 成等比数列.
21、（12分）已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）对任意[)1,4a ∈，且存在31,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范
围.
22、（10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2
cos 4sin 0ρθθ-=， P 点的极坐标为3,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，在平面直角坐标系中，直线l 经
过点P （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ， B 两点，求11PA PB
+的值.
永年二中、成安一中高二下学期期中联考（文数）试卷答案
一、选择题
1-5 B,A,C,C,D 6-10 A,D,C,A,D 11-12 C,D
二、填空题 13、
0n N
∃∈，
202n n ≥ ． 14、log 32 ．
15、-3 ． 16、（1，2）
三、解答题
17、(1) 1， π;(2) 1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 (1)由已知化简可得()sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
,可得最大值，利用周期公式可求()f x 的最小正周期;
(2)由图象变换得到()sin 26g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
,从而求函数的值域. 试题解析：(1) ()1
•3sin cos cos22f x m n x x x ==-
1cos22x x =
- sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭. 所以()f x 的最大值为1，最小正周期为π. (2)由(1)得()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位后得到
sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图象. 因此()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以
72,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦.
18、（1）详见解析（2）123
【解析】 （1）如图，连接1AC 交1A C 于点O ，连接OE ， OF ，在正三棱柱111
ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，所以1OA OC =. 又因为F 为AC 中点，所以1//OF CC 且11
2
OF CC =. 因为E 为1BB 中点，所以1//BE CC 且11
2
BE CC =. 所以//BE OF 且BE OF =，
所以四边形BEOF 是平行四边形，所以//BF OE .
因为AB CB =， F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以可得OE AC ⊥. 因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BF ⊥，所以可得1OE AA ⊥.
又1AA ， AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A ⋂=，所以OE ⊥平面11ACC A . 因为OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A .
（2）四棱锥122A BB C C -高为4sin6023h =︒=，底面为直角梯形，面积为
()1364182S =
+⨯=，得1111
23181233
A B
B
C C V -=⨯=，故几何体1AA EBC 的体积为113
4461232AA EBC V =
⨯⨯- 123= 19、(1) 6.41.1ˆ+=x y
（2） 15.6 【解析】 (1)由题为求线性回归方程，可按照公式分别先算出ˆb
，再算出ˆa 的线性 回归方程.
（2）由（1）得出线性回归方程为6.41.1ˆ+=x y
，已知x ＝10，代入方程可得成本. 试题解析：（Ⅰ）由表中的数据得：44
6532=+++=
x ，9412
987=+++=y
1551269583724
1
=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i
i y
x ，74653222224
1
2=+++=∑=i i x
1.11011
447494415544ˆ2
4
1
2
24
1
==⨯-⨯⨯-=
--=∑∑==i i
i i
i x x
y
x y
x b
， 6.441.19ˆˆ=⨯-=-=x b y a
， 所以所求线性回归方程为6.41.1ˆ+=x y . （Ⅱ）由（1）得，当x ＝10时，6.156.4101.1ˆ=+⨯=y
，即产量为10千件时， 成本约为15.6万元．
20、（Ⅰ）22
142
x y +=；（Ⅱ）见解析． 【解析】 （Ⅰ
）由2
c e a =
= 2a =
得c b == 故椭圆C 的方程为22
142
x y +
=. （Ⅱ）设()11,B x y ， ()22,C x y ， :OC y kx =，则():2AB y k x =+，
将()2y k x =+代入22
142
x y +
=，整理得 ()2
2
22128840k x
kx k +++-=，
21284212k x k --=+，得2
12
2412k x k -=+，
12AB +=
，
2AD =+=
(
)22
8112k AB AD k +⋅=
+．
将y kx =代入22
142
x y +
=，整理得(
)
221240k x +-= ，
得222
412x k =+， ()
()
2
222
22
41||112k OC k x k +=+=+． 故22||AB AD OC ⋅=，
所以， ,AB AD 成等比数列．
21、（1）见解析;（2）2b ≤.
【解析】试题分析：（1）对函数求导()1
'ax f x x
-=
，讨论a 和0的关系即可； （2）不等式()2f x bx ≥-恒成立，转化为1ln ax x --≥ 2bx -，记()1ln h a ax x =-- (0)x >，不等式等价于()min 2h a bx ≥-，进而得到1ln 1=x
b x x
≤-，构造函数求最值即可. 试题解析： （1）()1
'ax f x x
-=
， (0)x > 当0a ≤时， ()'0f x <在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， 当0a >时， ()'0f x ≤得10x a <≤
， ()'0f x ≥得1x a ≥，
()f x ∴在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1
,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上递增.
∴当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，在1,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增.
（2）()21ln f x bx ax x ≥-⇔--≥ 2bx -，记()1ln h a ax x =-- (0)x >， 则()h a 是递增的函数，
即不等式等价于()()min 212h a bx h bx ≥-⇔≥-，
1ln 2x x bx ∴--≥-，即1ln 1=x
b x x
≤-， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2
ln 2'x g x x
-=，令()'0g x =，得2
x e =， 可得()g x 在()
21,e 上递减，在()
23,e e 上递增，
()()(){
}3
max max 1,g x g g e =，而()12g =， ()3
3
3
131g e e e =+-，
()max 2g x ∴=，即2b ≤，实数b 的取值范围是2b ≤.
22、（1）2
4x y =，
12{
32
x t
y t ==+
（2
【解析】 （1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2
4x y =，
P 点的极坐标为： 3,2P π⎛⎫
⎪⎝⎭
，化为直角坐标为()0,3P .
直线l 的参数方程为3
{
33
x tcos
y tsin
π
π
==+
，即12{
32
x t
y ==+
（t 为参数）
（2）将l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，得2
1124
t =+， 整理得：
2
480t --=，
显然有0∆>，则1248t t =-，
12t t +=
121248PA PB t t t t ===， 1212PA PB t t t t +=+=-=
=，
所以116
PA PB PA PB PA PB ++==.。