河北省衡水市第十四中学高二数学12月月考试题新人教版

河北省衡水市第十四中学2013-2014学年高二数学12月月考试题新人
教版
一、选择题(本大题共12个小题，每个5分，共60分。

) 1．复数1
1
Z i =
-（i 为虚数单位）的模为( ) （A ）
12 （B
）2
（C
（D ）2 2．观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，
333333123456+++++=( )
A ．2
19 B ．220 C ．221 D ．2
22 3．若,,a b c R a c b ∈-<,且，则正确的是 （ ） A. a b c <+ B. a b c <- C. a b c >+ D. a b c >- 4．已知命题p ：对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则（ ）
A.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x ≥
B.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x ≥
C.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x >
D.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x > 5．已知{}n a 为等差数列，13518a a a ++=，24624a a a ++=，则20()a = A. 10
B. 20
C. 40
D. 80
6．若i b i i a -=-)2(，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=（ ） A ．0 B ．2 C ．
2
5
D ．5
7．设实数y x ,满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
,则y x z +=2的最大值为
（A ）13 （B ）19 （C ）24 （D ）29
8．已知命题:0318≤-≤x
p ，命题2:log 1<q x ，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分而不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．若关于x 的不等式2
420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2a <-
B ．2a >-
C ．6a >-
D ．6a <- 10．（文）.若2
()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于（ ） A. 4- B. 2- C. 0 D. 2 （理）若
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰
，则a 的值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
11．已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲线22
179
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）（A ） 4 （B ） 8 (C ） 16 （D ） 32 12． 设
的两个极值点分别是
若
（－1,0），则2a ＋b 的取值范围是
A 、（1,7）
B 、（2,7）
C 、（1,5）
D 、（2,5）
第II 卷（非选择题）
二、填空题本大题共4个小题，每个5分，共20分。

132
2
2
,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 . 14．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(,1)-∞，则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解为 . 15．已知1F 、2F 为双曲线C:2
2
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则
12||||PF PF ⋅=
；
16.若函数2
()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数
k 的取值范围______．
三、解答题
17．（本小题满分10分）设函数()|1||2|f x x x =+--. （Ⅰ）解不等式()2f x ≥；
（Ⅱ）若不等式()|2|f x a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）（1）解不等式4
11
x x ≤-- （2）求函数)2
1,0(,2192∈-+=x x x y 的最小值
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设),(log 21
2*∈-=N n a b n n 数列}{2+n n b b 的前n 项和为n T ，求证：4
3<n T .
20.（本小题满分12分）设()|3||4|f x x x =-+-．
（Ⅰ）解不等式()2f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数[5,9]x ∈，()1f x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点. (1)写出C 的方程;
(2) OA OB ⊥u u u r u u u r
，求k 的值.
22．（本小题满分12分）已知R a x ax x x f ∈-+=,ln )(2
（1）若0=a 时，求函数()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；
（3）令2
()(),g x f x x =-是否存在实数a ，当(0,](x e e ∈是自然对数的底）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．B 1
1Z i =-11,(1)(1)
2i i Z i i ++==∴==
-+. 2．C
因为332123+=，33321236++=，33332
123410+++=等式的右端依次为
2
2212,(123),(1234)++++++（），
所以333333123456+++++=2
(123456)+++++=2
21，故选C 。

3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C
对:0318≤-≤x p ，13902x x ≤≤⇒≤≤；2:log 1<q x ，02x <<。

所以,q p p q ⇒¿，由此得：,p q q p ⌝⇒⌝⌝⌝¿，所以选C .
9．A 不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解等价于2
max (42)a x x <--，
令2
()42g x x x =--，(1,4)x ∈，所以()(4)2g x g ≤=-，所以2a <-. 10．（文）A.理）A 因为，
2211
1(2)[ln ]ln 1a
a
x dx x x a a x
+=+=+-⎰
，所以
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰
可化为，2ln 4ln 2,a a +=+所以，a 的值是2.
11．D F （2p ，0），双曲线22179x y -=的右焦点为（4,0），∴2
p =4，p =8，∴抛物线方程为x y 162
=，K =
（0,4-），设),(y x A =，2222
2)4(242y x y x AE AK +-=++⇔=）（，
解得0162422=+-+x y x ，与x y 162
=联立，解得4=x ，8±=y ，∴AFK ∆的面积为32.
12．B
13.12()
222222249(111)(23)a b c a b c ++++≥++，所以222
4912a b c ++≥.
15.(1,2)-
14．4：由双曲线C:
221x y -=知，a=1，所以，由双曲线的定义及余弦定理得，
122220
121212||||2||||||2||||cos60
PF PF a F F PF PF PF PF -=⎧
⎨=+-⋅⎩，
即12222
1212||||21||||2||||2
PF PF PF PF PF PF -=⎧
⎪⎨=+-⋅⨯⎪⎩，解得，
12||||PF PF ⋅=4.
16.3[1,)2
17.（Ⅰ）3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪≥⎩
2分
当1x ≤-时，()2f x ≥不成立；
当12x -<<时，由()2f x ≥，得212x -≥，解得3
22
x ≤<； 当2x ≥时，()2f x ≥恒成立．
所以不等式()2f x ≥的解集为3{|}2
x x ≥．
6分
（Ⅱ）因为()|1||2||(1)(2)|3f x x x x x =+--≤+--=， 所以|2|3a -≥，解得5a ≥，或1a ≤-， 所以a 的取值范围是(,1][5,)-∞-+∞U ．
12分
18.（1）解：
11310)3)(1)(1(01)
1)(3(01)1(41142<≤-≥⇔⎩
⎨⎧≠≥--+⇔≥-+-⇔≤---⇔-≤-x x x x x x x x x x x x x 或此不等式
的解集为{}113|<≤-≥x x x 或
（2）252)
21(4212913)212)(21924(21924≥-⨯+-⨯+=-+-+=-+=
x x x x x x x x x x y ， 当且仅当5
1
=x 等号成立。

19.（Ⅰ）由题设知2,4111=-=a a S ， 2分
由⎩⎨⎧-=-=++11
44n n n n a S a S 两式相减，得11++-=-n n n n a a S S .
所以2
1
2,1111==-=++++n n n n n n n a a a a a a a 即
. 4分
可见，数列{}n a 是首项为2，公比为
2
1
的等比数列。

所以2
1
21212--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n n a 6分
（Ⅱ）n
n a b n n 1
)2(21log 212=--=-=
， 8分
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-=+=
+21121)2(12n n n n b b n n . 10分
2534231++⋯+++=n n n b b b b b b b b T
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
2115131412131121n n =
4
3
211121121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+n n . 12分
20.72,3()|3||4|1
,3427,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪
=-+-=<<⎨⎪-≥⎩
，2分 （Ⅰ）画出函数()f x 的图像如图，()2f x =的解
为52x =
或9
2
x =。

4分 ()2f x ∴≤的解集为5
{|2
x x ≤或9}2x ≥5分
法二（分段讨论）
（Ⅱ）[5,9]x ∈Q ，()1f x ax ∴≤-即271x ax -≤-， 9
664
2,2.93
a a x ∴≥-∴≥-= （分离参数恒成立问题） 12分
21．(1)设(,)P x y ,由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,为焦点,长半轴为2的椭圆, 2分
它的短半轴222(3)1b =
-=, 4分
故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=. 6分 (2)证明:设1122(,),(,)A x y B x y ,其坐标满足2
21,4
1.y x y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理,得22(4)230k x kx ++-= 8分
故121222
23
,44
k x x x x k k +=-
=-++. 10分 OA OB ⊥u u u r u u u r
即12120x x y y +=，而212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =+⋅+=+++，
于是22
12122
2233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++， 解得1
2
k =±
12分 （2）函数()f x 在
[]2,1上是减函数
（3）假设存在实
数a ，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3
11
()ax g x a x x
-'=-
=
8分 当0a ≤时，()0g x '<，()g x ∴在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=
当0a >且
1e a ≥时，即1
0a e
<≤，()0g x '<在(0,]e 上恒成立，()g x ∴在。